证明角相等的方法黄冈中学

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1、证明两角相等的方法黄冈中学 初三数学备课组【重点解读】证明两角相等是中考命题中常见的一种题型， 此类证明看似简单， 但方法不当也会带来 麻烦， 特别是在中考有限的两个小时中。 恰当选用正确的方法，可取得事半功倍的效果。在 教学中总结了一些定理（或常见结论）以及几种处理方法，仅供参考。【相关定理或常见结论】1、相交线、平行线：（1）对顶角相等；（2）等角的余角（或补角）相等；（3）两直线平行，同位角相等、内错角相等；（4）凡直角都相等；（5）角的平分线分得的两个角相等 .2、三角形（1）等腰三角形的两个底角相等；（2）等腰三角形底边上的高（或中线）平分顶角（三线合一）；（3）三角形外角和定理：三

2、角形外角等于和它不相邻的内角之和（4）全等三角形的对应角相等；（5）相似三角形的对应角相等 .3、四边形（1）平行四边形的对角相等；（2）菱形的每一条对角线平分一组对角；（3）等腰梯形在同一底上的两个角相等 .4、圆（1）在同圆或等圆中，若有两条弧相等或有两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等；2）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等. ，圆心角相等（3 ）圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半（4）圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；并且每一个外角都等于它的内对角（5 ）三角形的内心的性质：三角形的内心与角顶点的连线平分这个角（6 ）正多边形的性质

3、：正多边形的外角等于它的中心角（7）从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角；5、 利用等量代换、等式性质证明两角相等6、利用三角函数计算出角的度数相等【典题精析】（一）利用全等相关知识证明角相等例1已知：如图，CD丄AB于点D , BE丄AC于点E , BE与CD交于点0，且BD CE 求证：A0平分 BAC 分析：要证 A0平分 BAC，因为CD丄AB于点D , BE丄AC于点E，所以只要证明OD=OE若能证明若能证厶 OBDA OCE即可，因为可证/ ODB=/ OEC=90 , / BOD=/ COE 而 BD=CE 故问题得到解决.证明： CD丄AB于点D ,

4、 BE丄AC于点E/ ODB2 OEC=90在 。和厶OC冲/ ODB2 OEC-/ BOD2 COEBD=CE OBDA OCE OD=OE/ CD丄AB于点D , BE丄AC于点E AO 平分 BAC F说明：本例的证明运用了对顶角相等，角的平分线性质的逆定理例2如图，在梯形 ABCD中, AD/ BC E是梯形内一点，EDLAD, BE=DC/ ECB=45 求证：/ EBC=Z EDC分析：要证明/ EBC=Z EDC容易想到证全等，而图中没有全等的三角形，如果能构造出两个全等的三角形即可。延长DE与BC交于点于点F,这样就很容易证 BEFA DCF从而问题得到解决。证明：延长DE与B

5、C交于点于点FAD/ BC, EDL AD DFL BC/ BFE=Z DFC=90/ ECB=45/ ECB=/ CEB=45) CF=EF在 Rt BEF和 Rt DCF中EF=CF, BE=DC Rt BEF Rt DCF/ EBC=Z EDC说明：本例运用全等三角形的对应角相等，来证明两角相等例3如图，已知四边形 ABCD是等腰梯形，CD/ BA四边形AEBC是平行四边形.求证：/ABD=Z ABE分析：要证/ ABD=Z ABE若能证 ABDA ABE艮卩可.因为可证 BE:=AC= BD AE= BC= AD而AB为公共边，故问题得到解决.证明：四边形 ABCDI等腰梯形， AD=

6、 BC AC= BD.四边形AEBC1平行四边形， BC= AE AC= BE瓦 AD= AE BD= BE又 AB= ABABDA ABE/ ABD=Z ABE说明：本例通过运用等腰梯形的性质来证明三角形全等从而证明两角相等.总结：这类题主要考查全等三角形、特殊四边形的性质，在中考中也是常考的题型，在证明过程中，特别要抓住一些基本图形，同时还要注意常用辅助线的作法。（二）利用平行、三角形的内角和、外角关系证明角之间的关系 例4 .已知： ABC中，AD是高，CE是中线，DC=BE DGL CE G是垂足,求证：G是CE的中点；/ B=2/ BCE.分析：已知中多垂直和中线条件，可联想直角三角

7、形斜边上的中线性质；要证明G是CE的中点，结合已知条件 DG! CE符合等腰三角形三线合一中的两个条件，故连结DE证明 DCE是等腰三角形，由 DGL CE可得G是CE的中点.由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，BE=DE / B转化为/ EDB.证明：连结DE/ ADB=90 , E 是 AB的中点， DE=AE=BE（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）， 又 DC=BE DC=DE又 DGL CE G是CE中点（等腰三角形底边上的高平分底边） DE=DC./ DCE2 DEC（等边对等角）,/ EDB=Z DEC+Z DCE=2/ BCE （三角形的外角等于两不相邻内角的和）又 D

8、E=BEZ B=Z EDB :丄 B=2Z BCE直角三角形、等腰三角形等特殊三角形，其特殊性质有：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；等腰三角形三线合一的性质通常有以下变形形式：已知等腰和高、已知顶角平分线和高、已知等腰和底边中线特殊三角形与线段和角的相等、线段和角的倍半关系有着 密切关系例5如图，直线AC / BD，连结AB，直线AC, BD及线段AB把平面分成、四个部分，规定：线上各点不属于任何部分当动点P落在某个部分时，连结 PA, PB ,构成 PAC， APB， PBD三个角.(提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是O角.)(1)当动点P洛在第部分时，求证：APBPACPB

9、D ;(2)当动点P落在第部分时，APBPACPBD是否成立(直接回答成立或不成立)(3)当动点P在第部分时，全面探究PAC ,APB ,PBD之间的关系，并写出动分析：本题主要考查平行线的性质及三角形内角和定理和外角性质ACD图3(1)解法一：如图1延长BP交直线AC于点E/ AC / BD , / PEA = / PBD ./ / APB = / PAE + / PEA , / APB = / PAC + / PBD .解法二：如图2过点P作FP/ AC , / PAC = / APF ./ AC/ BD , FP/ BD . / FPB =/ PBD . / APB =/APF + /

10、FPB = / PAC + / PBD .解法三：如图3,AC/ BD , / CAB +/ABD = 180 即 / PAC +Z PAB +Z PBA +Z PBD = 180 .又/ APB +Z PBA +Z PAB = 180 , / APB =Z PAC +Z PBD .(2) 不成立.(3) (a)当动点P在射线BA的右侧时，结论是吵E在证明角之间的关系时，题中没有三角形，常通过作辅助线构造三角形。外角性质及其应用，在求 把所求的角集中在同一个三角常考虑利用三角形的内角/ PBD=/ PAC+Z APB .(b) 当动点P在射线BA上，结论是/ PBD =Z PAC +Z APB

11、 .或/ PAC =Z PBD +Z APB 或 Z APB = 0 ,Z PAC =Z PBD (任写一个即可).(c) 当动点P在射线BA的左侧时，结论是Z PAC =Z APB +Z PBD .选择(a)证明：如图4,连接PA 连接PB交AC于M/ AC/ BD , Z PMC =Z PBD .又 tZ PMC =Z PAM +Z APM , Z PBD =Z PAC +Z APB .选择(b)证明：如图5/ 点 P在射线 BA上，/ APB = 0 ./ AC / BD ,/ PBD =Z PAC . Z PBD =Z PAC +Z APB或 Z PAC =Z PBD+Z APB或Z

12、APB = 0 ,Z PAC =Z PBD.选择(c)证明：如图6,连接PA连接PB交AC于F/ AC / BD ,/ PFA =Z PBD ./ Z PAC =Z APF +Z PFA , Z PAC =Z APB +Z PBD总结：这类题主要考查平行线的性质，三角形的内角和, 解角的度数时，一般运用三角形的角及外角的关系， 形中，然后利用内角和求角度， 和定理和外角性质，若(三) 禾U用四边形的相关知识证明角的有关问题例6已知：如图，在 ABC中，AB= AC, E是AB的中点，以点 E为圆心，EB为半径画弧,交BC于点D,连结ED并延长ED到点F,使，连结FC.求证：Z F=Z A.分析

13、：要证明/ F=Z A,由图知只要证明四边形 AEFC是平行四边形即可。证明：/ AB=AC/ ABC=/ ACB/ EB=ED/ EBD=/ EDB/ EDB玄 ACB EF/ ACE是AB的中点 AE=EB/ DF= DE EB=ED AE=EB= DF= DE AE+EB= DF+DE即 AB=EF/ AB=AC EF=AC又 EF/ AC四边形AEFC是平行四边形 / F=Z A说明：本例的证明用到了等腰三角形的两底角相等，平行四边形的对角相等。(四) 禾U用圆的相关知识 例7如图，已知 BC是直径，AB AG , AD丄BC.求证：(1)Z EAF=Z AFE分析：由BC是直径，得到

14、/BAC是直角，再利用 ABAG ,(2) BE=AE=EF得到/ ABE玄BAE 再证/ EAF=Z FA吕证明：(1)v BC是直径/ BAC=9(f/ ABE+Z EFA=90o，/ BAE+ EAF=90/ AB AG Z ABEZ BAE Z EAFZ AFE(2) 略说明：本例的证明用到了等弧所对的圆周角相等，等角的余角相等 例8已知：如图，AD为锐角 ABC外接圆的直径， AE BC于E,交O O于F。求证：Z 1 = Z 2分析：Z 1和Z 2分别是BD和CF所对的两个圆周角，故只需证CBD =CF，但不易证明，由于Z 2+Z C=90 ,联想到把Z 1放到直 角三角形中，连结

15、 BD,可得Z ABD=90，从而问题得证。证明：连结BD/ AD为直径 Z ABD=90 Z 1 + Z D=90/ AE丄 BC于 E Z 2+Z C=90Z C=Z D Z 1 = Z 2总结：此题关键是见直径构造 90 的圆周角已知：如图，AB为O O的直径，AC为弦，CD丄AB求证：(1) AE= AD- AB;(2)Z ACF=Z AED若AE= AC, BE交O O于点F,连结EF、DE分析：(1)因为AE=AC要证aE= AD- Ab实际上证=AD - AB,可转化成比例式，放入三角形中用相似三角形来证明。(2)欲证/ ACM/AED又知/ ACM/ABE则只需证/ AEDN

16、ABE由(1)得 AD0A AEB对应角相等得证证明：(1)连结BC./ AB是O O 的直径，/ ACB= 90又 CDL AB于 D, / ADC= 90而/ CAB=/ DACCABA DACACAD些， AC = AD. AB.AC又 AE= AC, aE = AD- AB.(2)由(1), AE= AD- AbAEADABAE在厶 AEDDA ABE中，/ EAB=/ DAE EABA DAE / ABE=/ AED而/ ABE=/ ACF, / ACFZ AED总结：圆周角定理可提供等角、 直角等结论，进而可用于相似三角形判定，从而可得比例式,求线段长等结论，解决此类问题是灵活选用

17、圆周角定理和相似等内容，并适时添加辅助线。(五) 利用三角函数求两角之间的关系例10 已知抛物线y ax2 bx c的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C (0, 3),过点C作x轴的平行线与抛物线交于点D,抛物线的顶点为 M直线 y= x+5经过D M两点.(1 )求此抛物线的解析式；(2)连接AM AC BC,试比较/ MAB和/ ACB的大小，并说明你的理由.解：(1 )T CD/ x 轴且点 C (0, 3),设点D的坐标为(x , 3).直线y= x+5经过D点，二 3= x+5 . x= 2.即点 D( 2, 3)根据抛物线的对称性，设顶点的坐标为M ( 1

18、, y),又t直线y= x+5经过M点， y = 1+5, y =4 .即 M ( 1, 4). 设抛物线的解析式为y a(x 1)4 .点C (0, 3)在抛物线上， a= 1.即抛物线的解析式为yx2 2x 3 .(2 )作BP丄AC于点P, MNL AB于点N.说明：由(1)中抛物线yx2 2x 3可得点 A ( 3, 0) , B (1, 0), AB=4, A0=C0=3 AC=3.2 ./ PAB= 45./ ABP=45 , PA=PB=2 2 . PC=AC- PA=. 2 .PB在 Rt BPC中, tan / BCP= =2.PC在 Rt ANM中, t M(-1 , 4)

19、, MN=4 AN=2tan / NAM=MN =2.AN/ BCP=Z NAM即/ ACB=Z MAB本例第二问判断/ ACB和/ MAB的大小关系是通过构造直角三角形，通过计算这两个角的三角函数值来解决问题的。在解决这类问题时如果不能用全等等方法来寻找思路时，不妨从直角三角形入手，分别计算所求角的三角函数值，从而使问题得到解决同时还要注意通过一些特殊的点，可能构成特殊的三角形。【智能巧练】1如图， ABC中，/ B的平分线与/ ACB的外角平分线相交于点 D,则/ D与2.已知，如图，在ABC 中，AC=AD ABo求证：/ ACD= ABG3.如图，已知：平行四边形 ABCD中,E是CA

20、延长线上的点,F是AC延长线上的点，且 AE=CF求证：/ E=Z F;be=df4.如图， ABC中，高BDCE交于点F,且 CG=AB BF=AC 连接AF,求证：AGL AF5. Rt ABC中，/ A=90,AB=AC D 为 BC上任意一点，DFL AB,DEI AC,垂足分别为F、E, M为BC中点，试判断厶MEF是什么形状的三角形，并说明之延长DA交厶ABC6.已知：如图， 人。是厶ABC外角/ EAC的平分线，交 BC的延长线于点 D.的外接圆于点F.求证：/ FBC=/ fcb若 FA 2 3, AD 4、3，求 FB 的长.7梯形ABCD中 AB在以上前提下，试将下列设定中

21、的两个作为题设，另一个作为结论组成一个正确的命题，并证明这个命题.AD=BC MNL BC AM=DM& 如图，已知直线 AB过圆心 0,交O O于A、B,直线 AF交O O于F （不与B重合），直线I交O 0于C D,交AB于E,且与AF垂直，垂足为 G,连结AC AD.求证：/ BAD=Z CAG AC- AD= AE- AF.在问题中，直线I向下平行移动，与O 0相切，其他条件不变. 请你画出变化后的图形，并对照图，标记字母； 问题中的两个结论是否仍成立如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.I图9.如图，O0的内接 ABC的外角/ ACE的平分线交O 0于点D, DF丄AC,垂足

22、为F, DEL BC,垂足为E,给出下列4个结论：CE=CF / ACB=/ EDF; DE是O 0的切线； AD = BD ;其中一定成立的是（A. B. C. D .10.已知，如图，在四边形 ABCD中，AB=DC E、F分别为BG AD的中点，BA、CD的延长线 分别与EF的延长线交于 H G.求证：/ BHE=/ CGE11.已知：AB是OO的直径，弦 CDL AB于M点E是ACB上一动点如图1,若DE交AB于N,交AC于 F,且DE=AC连结AD CE求证：/ CED/ ADE DN 2=NF - NE 如图2,若DE与AC的延长线交于F,且DE=AC那么DN2=NF- NE的结论

23、是否成立若成立请证明，若不成立请说明理由D【答案点击】1. 1 : 2;2证明 ACDA ABC3证明 ABEA CDF或连结 ED FB,证明平行四边形EBFD4证明 CAGA BFA,./ G=/ BAF,v/ G+/ GAE=90 , a/BAF+/GAE=90 ,a AG丄AF;5.A MEF是等腰 Rt，连结 AM,证厶 AMEA BMF 6、t/ DAC2 FBC / EAD=/ FAB=Z FCB v/ DAC=/ EAD /-Z FBC=Z FCB 证明 FBMAFDB得FB=6 7、题设结论证明略8、略，连结 DF,可证得 AC0 AFD结论仍成立9、分析 可证得厶CDFA

24、CDE得CE=CF成立；Z ACB和Z EDF（无直接关系，找相关的角）：Z ACB与/ ACE邻角互补，/ EDF也和Z ACE 互补（四边形的内角和 360 ）,同角的补角相等，即Z ACBZ EDF;AD所对的圆周角为Z DCA BD所对的圆周角为Z DAB vZ DAB=Z DCE（四边形的外角 等于不相邻的内角），又Z DCAZ DCE，/Z DCAZ DCEAD=BD，故选 D.一般的，证明线段相等或角相等， 可根据条件寻找三角形， 证三角形全等；无三角形全等时，可找与之相关连的线段或角，探索等量关系；证明弧相等，可以转化为证明弧所对的圆周角或圆心角相等，即转化为证明角相等的问题1

25、0、提示：连结BD取BD的中点 M 连结FM EM只需证FM=EM即可证得Z BHEZ CGE.11、证明：v DE=ACDE AC , AE CDZ CED=Z ADE连结CN CN=DN Z NCF=Z ADE（圆的轴对称性质）vZ CED=Z ADE Z CNFZ ENCNCEA NFC匹匪,NC2 NE NFNF NC/ DN2 =NF- NE【自主检测】1.已知如左图，在 ABC中，Z BAC=90 , AB=AC,M为AC的中点，AD丄BM求证：/ AMB=/ DMCACD2. 如右图在厶 ABC中，EF AB, CDL AB, G在AC边上并且/ GDCM EFB 求证：/ AG

26、DM ACB3、如图，在 ABC中，/ B=90,点 G E在 BC边上，且 AB=BG=GE=GC 求证:/ AGB2 AEB+Z ACBAD4、 如图， ABC內接于圆，D是弧BC的中点，AD交BC于E,求证：/ ABDZ AEC5、 已知：AB是O O的直径，C是O O上一点，连接 AC过点C作直线 CDL AB于点D, E是AB上一点，直线 CE与O 0交于点F,连结AF,与直线 CD交于点G.求证：/ ACDZ F.CAFB答案:1、过点C作CFL AC交AD的延长线于F.证明： ABMA ACF,再证 MCDA FCD2、 分析：CD/ EF/ EF AB, CDL AB / CD

27、/ EF / DCB=/ EFB / / GDCN EFB / DCB=/ GDC GD/ CB，. / AGD=/ ACB3、分析 先证明 AGEA CGA再利用外角性质4、分析 要证明两个角相等，可放入两三角形厶 ABD AEC证三角形相似，条件有两个：/ D=Z C,Z BAD=/ CAD （等弧所对的圆周角相等）证明： D是弧BC的中点，/ BADh CAD/ D=Z C,ABD AEC/ ABD=/ CEA5、分析 要证明/ ACD=/ F,可通过角之间的转化，已知中AB是O O的直径是关键的条件，连结BC,得/ ACB=90，/ ACD2 B （直角三角形母子三角形中的对应角相等），/ F=Z B,（同弧所对的圆周角相等）.证明：连结 BC / AB是O O的直径，/ ACB=90 （直径所对的圆周角为直角），即/ ACDf DCB=90 CD丄AB/ DCB+Z B=90,aZ ACD2 B （同角的余角相等）/ F=Z B,./ ACD2 F （等量代换）.实成比例证明角相等时, 如果没有三角形全等, 我们常找与它们都相关或都有联系的角作为桥梁,现角之间的转化, 从而证明它们的等量关系 . 直角三角形的母子三角形中相等的角、 的线段要熟悉