专升本第三章中值定理及导数的应用

《专升本第三章中值定理及导数的应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专升本第三章中值定理及导数的应用（39页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、第三章第三章 中值定理及导数的应用中值定理及导数的应用3.1 3.1 中值定理中值定理3.2 3.2 罗必塔法则罗必塔法则3.3 3.3 函数的单调性函数的单调性3.4 3.4 函数的极值函数的极值3.5 3.5 函数的最值函数的最值3.6 3.6 函数的凹凸性及拐点，函数的图像函数的凹凸性及拐点，函数的图像一、主要内容一、主要内容 中值定理中值定理 1.1.罗尔定理罗尔定理: : P63P63 ( )f x满足条件满足条件: : . 0)(,),().()(3;),(2,10.0.0. fbabfafbaba使使得得存存在在一一点点内内至至少少在在内内可可导导在在上上连连续续；在在如果函数如

2、果函数2.2.拉格朗日定理：拉格朗日定理：P64P64 )(xf满足条件满足条件: : abafbffbababa )()()(),(),(2,100 ，使使得得：在在一一点点内内至至少少存存在在内内可可导导；在在上上连连续续，在在如果函数如果函数例题：例题：P66 P66 例例1 1，2 2( )( )( )f bf afba罗必塔法则：罗必塔法则：P67,68P67,68 则）（或,)()(lim)()(lim)()(Axgxfxgxfaxax）（或（或 Axgxfxgxfxgxfaxaxax)()(lim)()(lim)()(lim)()()(1.1.认真掌握课本认真掌握课本P68-69

3、P68-69的例题的例题2.2.独立完成独立完成P70 P70 的习题（用罗必塔法则求极限）的习题（用罗必塔法则求极限）解解 这这是是未未定定型型，通通过过“通通分分”将将其其化化为为 00未未定定型型 xxxxxxxxxxln) 1() 1(lnlimln11lim11xxxxxxx1ln1ln1lim1 xxxxln11lnlim121111lim21xxxx . . （2）0,lnlimaxxax解：01lim1limlnlim1axxxaxaxaxxxx2seclimtanlim20000 xeexeexxxxxxxeexxxtanlim0（1）解：例求下列极限（3）)111(lim0

4、 xxex解：) 1(1lim)111(lim00 xxxxxexxeex xxxxxxxxxxeeeexeee00lim11lim00002121lim0 xx（4）xxx1)(lnlim未定式）0(解法1：(对数法）设xxy1)(lnxxxyxlnln)ln(lnln1xxyxxlnlnlimlnlim 0ln1lim1ln1limxxxxxx所以1)(lnlimlim1xxxxy解法2：(指数法）xxxxxexlnln)(1lim)(lnlim0 10ln1limlnlnlimeeexxxxxx导数的应用导数的应用 1. 1. 切线方程和法线方程：切线方程和法线方程： 2. 2. 曲线的

5、单调性曲线的单调性: P71 : P71 定理定理1 1 定理定理 2 2 设函数设函数)(xf在在,ba上连续，在上连续，在),(ba内内可导，则有可导，则有 （1 1）如如果果在在),(ba内内0)( xf，则则函函数数)(xf在在,ba上上单单调调增增加加； （2 2）如如果果在在),(ba内内0)( xf，则则函函数数)(xf在在 ,ba上上单单调调减减少少 求单调区间的求单调区间的4 4个步骤个步骤：( )fx( )fx（1 1）确定函数的定义域，求出导数）确定函数的定义域，求出导数（2 2）求出导数等于）求出导数等于0 0（驻点）和导数不存在的点（驻点）和导数不存在的点（3 3）根

6、据（）根据（2 2）中的点将定义域分成若干个区间，并确定）中的点将定义域分成若干个区间，并确定在每个区间的符号在每个区间的符号（4 4）判断：）判断：( )0( )0fxfx当时，单调增加当时，单调减少注：单调区间无所谓开、闭区间，一般为开区间注：单调区间无所谓开、闭区间，一般为开区间掌握掌握P71 例题例题1-4证明：（采用函数的单调性证明） 例3. 证明:)0(,1)1ln(122xxxxx证明: 设 )0(,1)1ln(1)(22xxxxxxf2222122)1()1()1ln()(xxxxxxxxxxf22221)1()11 ()1ln(xxxxxxxxx222221)1(1)1()1

7、ln(xxxxxxxxxx0, 0)1ln(2xxx所以0,)(xxf01)1ln(1 )0()(022xxxxxfxf从而因此)0(,1)1ln(122xxxxx解：设xxxxfarctan)1ln()1 ()(0 x21111)1ln()(xxxxxf)0(, 01)1ln(22xxxx所以0,)(xxf从而0, 0arctan)1ln()1()0()(0 xxxxfxfx因此0,1arctan)1ln(xxxx 3.3.函数的极值函数的极值 极值的定义极值的定义：P72P72 定定义义 设设函函数数)(xf在在 0 x的的某某邻邻域域内内有有定定义义, ,且且对对此此邻邻域域内内任任一一

8、点点)(0 xxx, ,均均有有)()(0 xfxf, ,则则称称)(0 xf是是函函数数)(xf的的一一个个极极大大值值; ;同同样样, ,如如果果对对此此邻邻域域内内任任一一点点)(0 xxx, ,均均有有)()(0 xfxf, ,则则称称)(0 xf是是函函数数)(xf的的一一个个极极小小值值函函数数的的极极大大值值与与极极小小值值统统称称为为函函数数的的极极值值使使函函数数取取得得极极值值的的点点 0 x, ,称称为为极极值值点点 极值存在的必要条件：极值存在的必要条件：P72 P72 定理定理2 2 （3）极值点的取值范围：驻点或不可导点。）极值点的取值范围：驻点或不可导点。定理定理

9、 1 1 ( (极值的必要条件极值的必要条件) ) 设设)(0 xf在点在点0 x处具有导数处具有导数, , 且在点且在点0 x取得极值取得极值 , ,那么那么0)(0 xf 极值存在的充分条件：极值存在的充分条件： 定理定理1 1( (极值的第一充分条件）：极值的第一充分条件）： P73 P73 定理定理3 30000000001 . ( )()2 .()0()3 .( )f xxf xfxfxxfxx在 处可导；是极值；或不存在；是极值点。过 时变号。定理定理2 2：( (极值的第二充分条件）极值的第二充分条件） P74P74定理定理4 40000000()1()2()0(f xfxxfx

10、fx是极值；存在；是极值点。，)0（4 4）求极值的）求极值的4 4个步骤：个步骤：P73P73( )fx( )fx（1 1）确定函数的定义域，求出导数）确定函数的定义域，求出导数（2 2）求出导数等于）求出导数等于0 0（驻点）和导数不存在的点（驻点）和导数不存在的点（3 3）根据（）根据（2 2）中的点将定义域分成若干个区间，并确定）中的点将定义域分成若干个区间，并确定在每个区间的符号在每个区间的符号（4 4）判断（）判断（2 2）中的点是否是极值点，是极大值还是）中的点是否是极值点，是极大值还是 极小值极小值理解教材理解教材 P71-74 的例题的例题5至例题至例题7例例 求函数求函数x

11、xxf1)( 的单调增减区间的单调增减区间 和极值。和极值。 4. 4. 函数的最大值和最小值函数的最大值和最小值 (1)(1)闭区间上连续函数的最值的求法：只要算出所有驻闭区间上连续函数的最值的求法：只要算出所有驻点和不可导点以及端点处的函数值，再来比较这些值的点和不可导点以及端点处的函数值，再来比较这些值的大小，即能求出函数的最值大小，即能求出函数的最值。 ( (2) 2) 当函数在一个区间内可导且只有一个驻点，并且这个当函数在一个区间内可导且只有一个驻点，并且这个驻点是函数的极值点，那么这个驻点就是函数的最值点。驻点是函数的极值点，那么这个驻点就是函数的最值点。(3)(3)在实际问题中，

12、往往根据问题的性质就可以判定函数在实际问题中，往往根据问题的性质就可以判定函数确有最大值或最小值，而且必在的定义域区间取得，确有最大值或最小值，而且必在的定义域区间取得，此时，如果函数在定义域区间内只有一个驻点，那么往此时，如果函数在定义域区间内只有一个驻点，那么往往不经讨论就能断定是最大值或最小值。往不经讨论就能断定是最大值或最小值。 理解理解P75-76 P75-76 的例题的例题8-118-11 例例 3 3 求求函函数数xxxxf1232)(23在在4 , 3上上的的最最大大值值和和最最小小值值 解解 因因为为 在在xxxxf1232)(23在在4 , 3上上连连续续，所所以以在在该该

13、区区间间上上存存在在着着最最大大值值和和最最小小值值 又因为又因为) 1)(2(61266)(2xxxxxf, , 令令0)( xf, ,得驻点得驻点21x, ,12x, ,由于由于 20)2(f, ,7) 1 (f, ,9) 3(f, ,128)4(f 比较各值可得函数比较各值可得函数)(xf的最大值为的最大值为128)4(f, ,最小值最小值为为7) 1 (f 对于实际问题的最值， 往往根据问题的性质就可断对于实际问题的最值， 往往根据问题的性质就可断定函数定函数)(xf在定义区间的内部确有最大值或最小值在定义区间的内部确有最大值或最小值 理论上可以证明： 若实际问题断定理论上可以证明：

14、若实际问题断定)(xf在其定义区间内在其定义区间内部（不是端点处）存在最大值（或最小值） ，且部（不是端点处）存在最大值（或最小值） ，且0)( xf在定义区间内只有一个根在定义区间内只有一个根0 x, ,那么，可断定那么，可断定)(xf在点在点 0 x取得相应的最大值（最小值） 取得相应的最大值（最小值） 解解 设两边各折起设两边各折起 x, ,则横截面积为则横截面积为 )(2)(xaxxS )0(ax x2a-2xx这样，问题归结为：当这样，问题归结为：当 x为何值时，为何值时，)(xS取得最大值取得最大值 由于由于xaxS42)(, ,所以令所以令0)( xS, ,得得)(xS的的惟惟一

15、驻点一驻点2ax 又因为铁皮两边折的过大或过小，其横截面积都又因为铁皮两边折的过大或过小，其横截面积都会变小，因此，该实际问题存在着最大截面积会变小，因此，该实际问题存在着最大截面积 所以，所以，)(xS的最大值在的最大值在2ax 处取得，即当处取得，即当2ax 时，水槽的流量最大时，水槽的流量最大 例例 5 5 铁铁路路线线上上AB的的距距离离为为 1 10 00 0 k km m, ,工工厂厂C距距A处处为为 2 20 0 k km m, ,AC垂垂直直于于AB, ,要要在在AB线线上上选选定定一一点点 D向向工工厂厂修修筑筑一一条条公公路路，已已知知铁铁路路与与公公路路每每 k km m

16、 货货运运费费之之比比为为3 3：5 5, ,问问D选选在在何何处处，才才能能使使从从B到到 C的的运运费费最最少少? ? 解解 设设 xAD (km),(km),则则 xDB100, ,2220 xCD 由由于于铁铁路路每每 k km m 货货物物运运费费与与公公路路每每 k km m 货货物物运运费费之之比比为为3 3：5 5，因因此此，不不妨妨设设铁铁路路上上每每k km m 运运费费为为k3, ,则则公公路路上上每每 k km m运运费费为为k5, ,并并设设从从 B 到到 C 点点需需要要的的总总运运费费为为 y, ,则则 )100(320522xkxky 0( x )100. .

17、由此可见，由此可见，x过大或过小，总运费过大或过小，总运费 y均不会变小，均不会变小，故有一个合适的故有一个合适的 x使总运费使总运费 y达到最小值达到最小值 C BAD 又又因因为为 340052xxky 例欲围一个面积为例欲围一个面积为150150m m2 2的矩形场地。正面所用材料的矩形场地。正面所用材料造价为造价为6 6元元/ /m m，其余三面所用材料的造价为其余三面所用材料的造价为3 3元元/ /m m，求求场地的长、宽各为多少米时，所用材料费最少？场地的长、宽各为多少米时，所用材料费最少？解：设：场地的正面长为解：设：场地的正面长为x x米米 5 5曲线的凹向及拐点：曲线的凹向及

18、拐点：P78P78 (3)的拐点。为称时变号。过，)()(,)(.20)(.1000000 xfxfxxxfxf 求函数凹凸区间与拐点的求函数凹凸区间与拐点的4个步骤：个步骤：P80( )fx( )0( )0fxfx当时，凹当时，凸（1 1）确定函数的定义域，求出导数）确定函数的定义域，求出导数（2 2）求出二阶导数等于）求出二阶导数等于0 0和二阶导数不存在的点和二阶导数不存在的点（3 3）根据（）根据（2 2）中的点将定义域分成若干个区间，并确定）中的点将定义域分成若干个区间，并确定在每个区间的符号在每个区间的符号（4 4）判断）判断：注：凹凸区间无所谓开、闭区间，一般为开区间注：凹凸区间无所谓开、闭区间，一般为开区间( )( )fxfx和 掌握掌握P79-80的例题的例题1-56. 6. 曲线的渐近线：曲线的渐近线： 水平渐近线水平渐近线 的水平渐近线。是或若)()(lim)(limxfAyAxfAxfxx 铅直渐近线：铅直渐近线： 的铅直渐近线。是或若)()(lim)(limxfCxxfxfCxCx