最小二乘法曲线拟合

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1、曲线拟合(curve-fitting ):工程实践中，用测量到的一些离散的数 据(x，yj,i =01,2,.m求一个近似的函数护(x)来拟合这组数据，要求所得的拟合 曲线能最好的反映数据的基本趋势(即使(x)最好地逼近f x，而不必满足插值原则。因此没必要取(Xi) = yi，只要使、：i二(Xi)-yi尽可能地小)。原理：给定数据点( Xi，y)i =0,1,2，m。求近似曲线(x) o并且使得近似曲线与 f x的偏差最 小。近似曲线在该点处的偏差叽=(xj -引，i=1,2,.,m o常见的曲线拟合方法：1. 使偏差绝对值之和最小就工(兀)一刃 卩 t=li=l2. 使偏差绝对值最大的最

2、小A i3. 使偏差平方和最小朋JWe *=11=1最小二乘法：按偏差平方和最小的原则选取拟合曲线，并且采取二项式方程为拟合曲线的方法，称为最小二乘法。推导过程：1. 设拟合多项式为：(x)二 a0 a1x akxk2. 各点到这条曲线的距离之和，即偏差平方和如下:1=13. 问题转化为求待定系数 a0ak对等式右边求ai偏导数，因而我们得到了:2 刀卜 (no + oJ a +)| = Oi=i2 刀卜(他 + oj .V + _ * ox x = 0j=l4、把这些等式化简并表示成矩阵的形式，就可以得到下面的矩阵:5.将这个范德蒙得矩阵化简后可得到6.也就是说 X*A=Y，那么 A = (

3、X'*X)-1*X'*Y，便得到了系数矩阵 A,同时，我们也就得到了拟合曲线。MATLAB实现：MATLAB!供了 polyfit ()函数命令进行最小二乘曲线拟合。调用格式：p=polyfit(x,y, n)p,s= polyfit(x,y, n)p,s,mu=polyfit(x,y, n)x,y为数据点，n为多项式阶数，返回p为幕次从高到低的多项式系数向量 p。x 必须是单调的。矩阵s包括R (对x进行QR分解的三角元素)、df(自由度)、 normr(残差)用于生成预测值的误差估计。p,s,mu=polyfit(x,y,n)在拟合过程中，首先对x进行数据标准化处理，以在拟

4、合中消除量纲等影响，mu包含标准化处理过程中使用的 x的均值和标准差。polyval()为多项式曲线求值函数，调用格式：y=polyval(p,x)y,DELTA=polyval(p,x,s)y=polyval(p,x)为返回对应自变量x在给定系数P的多项式的值。y,DELTA=polyval(p,x,s) 使用polyfit函数的选项输出 s得出误差估计 丫DELTA它假设polyfit函数数据输入的误差是独立正态的，并且方差为常数。则丫 DELTA将至少包含50%勺预测值。如下给定数据的拟合曲线：x=0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0,y=1.75,2.45,3.81,4.80

5、,7.00,8.60。解：MATLA程序如下：x=0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0;y=1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60;p=polyfit(x,y,2)x1=0.5:0.05:3.0;y1=polyval(p,x1);plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b')运行结果如图1计算结果为：p =0.5614 0.8287 1.1560即所得多项式为 y=0.5614xA2+0.08287x+1.15560875432111 1-T-一一一士1 rrrFr.511.522.536图1最小二乘法曲线拟合示例对比检验拟合的

6、有效性：例：在0, n 区间上对正弦函数进行拟合，然后在0,2 n 区间画出图形，比较 拟合区间和非拟合区间的图形，考察拟合的有效性。在MATLAB输入如下代码：clearx=0:0.1:pi;y=si n( x);p,mu=polyfit(x,y,9)x1=0:0.1:2*pi;y1=sin(x1);%实际曲线y2=polyval(p,x1);% 根据由区间0到pi上进行拟合得到的多项式计算0到2pi上的函数值，%需要注意的是polyval ()返回的函数值在pi到2pi上并没有进行拟合plot(x1,y2,'k*',x1,y1,'k-')运行结果：p =0.

7、00000.0000-0.00030.00020.00800.0002-0.1668 0.0000 1.0000 0.0000mu =R: 10x10 double df: 22normr: 1.6178e-07100.80.60.40.2-0.2-0.4-0.6-0.8MATLAB的最优化工具箱还提供了Isqcurvefit ()函数命令进行最小二乘曲线拟 合(Solvenonlinearcurve-fitting(data-fitting)problems inleast-squares sen se) 。调用格式：x = lsqcurvefit(fu n, x0,xdata,ydata)

8、x = lsqcurvefit(fu n, x0,xdata,ydata,lb,ub)x = lsqcurvefit(fu n, x0,xdata,ydata,lb,ub,opti ons)x = lsqcurvefit(problem)x,res norm = lsqcurvefit(.)x,res no rm,residual = lsqcurvefit(.)x,res no rm,residual,exitflag = lsqcurvefit(.)x,res no rm,residual,exitflag,output = lsqcurvefit(.)x,res no rm,residu

9、al,exitflag,output,lambda = lsqcurvefit(.)x,res no rm,residual,exitflag,output,lambda,jacobia n=x0为初始解向量；xdata , ydata为满足关系 ydata=F(x, xdata) 的数据； lb、ub为解向量的下界和上界，若没有指定界，则lb= , ub=;optio ns为指定的优化参数;fun 为拟合函数，其定义方式为:x = lsqcurvefit(myfun,xO,xdata,ydata)其中 myfun 已定义为 function F = myfun(x,xdata)F =%计算x

10、处拟合函数值fun的用法与前面相同；res no rm=sum (fu n(x,xdata)-ydata)42)，即在 x 处残差的平方和；residual=fun(x,xdata)-ydata ，即在 x 处的残差；exitflag为终止迭代的条件；output为输出的优化信息；lambda 为解 x处的 Lagrange 乘子；jacobian为解x处拟合函数fun的jacobian矩阵。例：lsqcurvefit()优化程序Data =.0.00005.89550.10003.56390.20002.51730.30001.97900.40001.89900.50001.39380.60

11、001.13590.70001.00960.80001.03430.90000.84351.00000.68561.10000.61001.20000.53921.30000.39461.40000.39031.50000.54741.60000.34591.70000.13701.80000.22111.90000.17042.00000.2636；t = Data(:,1)；y = Data(:,2)；% axis(0 2 -0.5 6)plot(t,y,'ro')title('Data poi nts')%We would like to fit the

12、fun ction y = c(1)*exp(-lam(1)*t) + c(2)*exp(-lam(2)*t) to the data%The Isqcurvefit function solves this type of problem easily.%To begi n, defi ne the parameters in terms of one variable x:%x(1) = c(1)%x(2) = lam(1)%x(3) = c(2)%x(4) = lam(2)%The n defi ne the curve as a function of the parameters x

13、 and the data t:F = (x,xdata)x(1)*exp(-x(2)*xdata) + x(3)*exp(-x(4)*xdata); x0 = 1 1 1 0;x,res no rm,exitflag,output = lsqcurvefit(F,x0,t,y)hold onplot(t,F(x,t)hold offFsumsquares = (x)sum(F(x,t) - y).A2);opts = optimset('LargeScale','off);xun c,ressquared,eflag,outputu=.fminun c(Fsumsqu

14、ares,x0,opts)fprin tf('There were %d iterati ons using fminun c,'.'and %d using lsqcurvefit.n', .outputu.iterati on s,output.iterati ons)fprin tf('There were %d function evaluati ons using fminun c,'.'and %d using lsqcurvefit.', .outputu.fu ncCoun t,output.fu ncCo unt

15、)type fitvectorx02 = 1 0;F2 = (x,t) fitvector(x,t,y);x2,res norm2,exitflag2,outpu t2 = lsqcurvefit(F2,x02,t,y)fprin tf('There were %d function evaluati ons using the 2-d '. 'formulatio n, and %d using the 4-d formulati on.',. output2.fu ncCoun t,output.fu ncCo unt)xObad = 5 1 1 0;xba

16、d,res no rmbad,exitflagbad,outputbad=.lsqcurvefit(F,x0bad,t,y)hold onplot(t,F(xbad,t),'g')legend('Data','Global fit','Bad local fit','Location','NE')hold offfprintf('The residual norm at the good ending point is %f,' .'and the residual norm

17、 at the bad ending point is %f.', .resn orm,res normbad)displayE ndOfDemoMessage(mfile name)拟合效果如下：Data pointsDataGlobal fitBad local fit -00.20.40.60.811.21.41.61.82直线的最小二乘拟合:y = a+bx式中有两个待定参数，a代表截距，b代表斜率。对于等精度测量所得到的 N组数据（xi，yi），i = 1, 2,N, xi值被认为是准确的，所有的误差只联 系着yi。下面利用最小二乘法把观测数据拟合为直线。用最小二乘法估计参数

18、时，要求观测值yi的偏差的加权平方和为最小。对 于等精度观测值的直线拟合来说，可使下式的值最小：工兀-(。+肚)?=1上式分别对a b求偏导得："处）了二-2 £ （兀- a -姐）二 0,£兀-（a +如）=f=l=-2 丫 ”- （a + by ）兀=0 * 址1整理后得到方程组:aJV + b"解上述方程组便可求得直线参数 a和b的最佳估计值。a g>)(DJ-(0)(0必)"川引-(力订1、可看成是一阶多项式拟合，跟前面曲线拟合方法一样2、 利用linefit()函数进行最小二乘的直线拟合 使用：clearx=0.5 1 1.5 2 2.5 3;y= 1.75 2.45 3.81 4.8 8 8.6; k,b=linefit(x,y) %得到斜率k和常数by仁polyval(k,b,x);plot(x,y1, ' k-' ,x,y, ' k*')MATLA一元到多元线性回归方程的计算和检验 _百度文库iX2LPEZYJM2790sHg2d52R4VYoywJWBi1S44Wy0-mMlymAKiLNQY6z2hpHCm-fgyv0PWwK（研究生 数理统计）多元线性回归及显著性检验 Matlab程序（完美版）_百度文库