教案排列、组合、二项式定理

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1、第六讲：排列、组合、二项式定理第六讲：排列、组合、二项式定理一、知识回顾(I)排列、组合问题几大解题方法：直接法；排除法；捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们局部”的排列.它主要用于解决元素相邻问题”；插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决元素不相邻问题”.占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用先特殊后一般”的解题原则.调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n个元

2、素进行全排列有An种，m(mn)个元素的全排列有Am种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n个元素排成一列，其中m个元素次序一定，共有名种排列方法.Am(n)排列组合常见解题策略：特殊元素优先安排策略；合理分类与准确分步策略；排列、组合混合问题先选后排的策略(处理排列组合综合性问题一般是先选元素，后排列)；正难则反，等价转化策略；相邻问题插空处理策略；不相邻问题插空处理策略；定序问题除法处理策略；分排问题直排处理的策略；小集团”排列问题中先整体后局部的策略；构造模型的策略.9、二项式定理：对于nN,(ab)nC0anb0C；an1bC；an

3、rbrC：a0bn,这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做(ab)n的展开式.注:展开式具有以下特点：项数：共有n1项；伏次为组合C0cle2CrCn-XjSJCCn，Cn，Cn，Cn，Cn；且每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降品排列，b的升募排列展开.二项展开式的通项：(abn的展开式第r+1为_rnrr_Tr1Cnanrbr(0rn,rZ).二项式系数的性质.二项展开式中的Cn(r0,12，n)叫做二项式系数在二项展开式中与首未两项等距离”的两项的二项式系数相等；0nnn11即CnCn,CnCn,CnCn.犍开工烟中I日坝坝工绿数最大且当k=时，二项式系数是逐渐减

4、小的.n(I)当n是偶数时，中间项是第5i项，它的二项式系数“最大；()当n是奇数时，中间项为两项，即第？项和第？i项，它们的二项式系数Q我最大.系数和：所有二项式系数的和：C0C：cn2n；奇数项二项式系数的和=偶数项而是系数的0c2c4c1c3nn1cmmcmCmml：CnCnCnCnCn2.27CmCm1Cm2CmnCmn1二项式定理的应用：解决有关近似计算、整除问题，运用二项展开式定理并且结合放缩法证明与指数有关的不等式。二、基础训练：1、3个班分别从5个景点中选择1处游览，不同的选法种数是(A)(A)53(B)35(C)A5(D)C52、6个人排成一排，甲、乙、丙必须站在一起的排列种

5、数为(D).(A)a6(B)3A3(C)A3A3(D)A3A43、 设(1+x)3+(1+x)4+(1+x)10=a+a1x+a2x2+a1ox10则a3=(B)(A)C31(B)C(C)2C3o(D)C4o4、在(1x3)(1x)10的展开式中，x5的系数是(D)(A)-297(B)-252(C)297(D)2075、对于小于55的自然数，积(55-n)(56-n)(68-n)(69-n)等于(B)(A)A 69 n(D)A69 n(B)A 69 n(C)A 55 n6、若(1-2x)9=a0+aix+a2x2+a8x8+a9x9)贝Uai+a2+a8的值为510.7.A、B两地在同一纬线上

6、，这两地间的纬线长为Rcos,(R是地球半径，是两地的纬度数)，则这两地间的球面距离为(C)A.RB.RcosC.R2RD.RR三、典型例题：例1、五个人站成一排，求在下列条件下的不同排法种数：(1)甲必须在排头；(2)甲必须在排头，并且乙在排尾；(3)甲、乙必须在两端；(4)甲不在排头，并且乙不在排尾；(5)甲、乙不在两端；(6)甲在乙前；(7)甲在乙前，并且乙在丙前；(8)甲、乙相邻；(9)甲、乙相邻，但是与丙不相邻；(10)甲、乙、丙不全相邻解析：(1)特殊元素是甲，特殊位置是排头；首先排“排头”有a1种，再排其它4个位置有a4种，所以共有：a1XA4=24种(2)甲必须在排头，并且乙在

7、排尾的排法种数：a；Xa；Xa3=6种(3)首先排两端有A2种，再排中间有A2种，6第六讲：排列、组合、二项式定理所以甲、乙必须在两端排法种数为：a：Xa：=12种（4）甲不在排头，并且乙不在排尾排法种数为：A552A4+A3=78种（ 5）因为两端位置符合条件的排法有A32种，中间位置符合条件的排法有A33种，所以甲、乙不在两端排法种数为a；a3=36种（ 6）因为甲、乙共有2！种顺序，所以甲在乙前排法种数为：a；+2!=60种（ 7）因为甲、乙、丙共有3！种顺序，所以甲在乙前，并且乙在丙前排法种数为：a；+3!=20种（ 8） 把甲、乙看成一个人来排有A44种，而甲、乙也存在顺序变化，所以

8、甲、乙相邻排法种数为a：Xa2=48种（ 9） 首先排甲、乙、丙外的两个有A22，从而产生3个空，把甲、乙看成一个人与丙插入这3个空中的两个有A32，而甲、乙也存在顺序变化，所以甲、乙相邻，但是与丙不相邻排法种数为a2Xa2Xa2=24种（10）因为甲、乙、丙相邻有a；XA；,所以甲、乙、丙不全相邻排法种数为a5A；xa3=84种变式1、某栋楼从二楼到三楼共10级，上楼只许一步上一级或两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则不同的上楼方法有（）A45种B36种C28种D25种解：C.8步走10级，则其中有两步走两级，有6步走一级.一步走两级记为a,一步走一级记为b,所求转化为2个a和6个b排成一

9、排，有多少种排法故上楼的方法有C2=28种；或用插排法.变式2、某校从8名教师中选派4名教师同时去4个远地区支教（每地1人），其中甲和乙不同去，甲和丙只能事去或同不去，则不同的选派方案有多少种？解：分类：第一为甲丙都去，第二类不去共有c2A4A4皿种变式3、将5名大学生毕业生分配到某公司所属的三个部门中去，要求每个部门至少分配一人，则不同的分配方案共有种.解：C33Ac53C2C2150变式4、如图是由12个小正方形组成的A34产平巴格一质点沿网格线从点A到点B的不同路径之中，最短路径有解：总揽全局：把质点沿网格线从点A到点b的最短路径分为七步，其中四步向右，三步向上，不同走法的区别在于哪三步

10、向上，因此，本题的结论是：C335.变式5、身高互不相同的7名运动员站成一排，（1）其中甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列的排法有多少种？（2）其中甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列且互不相邻的排法有多少种？解：（1）（法一）：设想有7个位置，先将其他4人排好，有A4种排法；再将甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排在剩下的3个位置上，只有1种排法，根据分步计数原理）一共有A840种方法。(法二)：设想有7个位置，先将甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排在其中的3个位置上，有C73种排法；将其他4人排在剩下的4个位置上，有a4种排法；根据分步计数原理)一共有C3A4840种方法.(2)(插空法)先将其余

11、4个同学进行全排列一共有A4种方法，再将甲、乙、丙三名同学插入5个空位置中(但无需要进行排列)有C3种方法,根据分步计数原理，一共有A4C3240种方法.例2、(1)(06湖南理11)若(ax1)5的展开式中X3的系数是一80,则实数a的值是.(2) (06湖北文8)在由会)24的展开式中，x的募“X,指数是整数的有项.(3) (1+x)+(1+x)2+(1+x)3+(1+x)6展开式中x2项的系数为.解：(1) 2例 3、若(1 2x)：ao(2) 5 项(3) 352ax ax2004. a2004x, x&) + ( a0 及)+(a0 a2004 )解：对于式子:20042(1 2x)

12、 a0axa?x2004a2004 x, x R,12令x=0)便得到：a0=1令 x=1,得至I a a1 a2a2004=1又原式:(a。a1) + ( a。 a?) + a a0a2004 )= 2004% (& a2a2004 )2003a0 (a0aa2a2004 )，原式：(a0a1)+(aa2)+(aa2004)=2004注意：“二项式系数”同二项式展开式中“项的系数”的区别与联系变式5、若2x/3a0alxa2x2a3x3,贝Ua0&2ala32的值是()A.iB1C.0D2解：A例4、已知二项式出马；(nGN)的展开式中第5项的x7系数与第3项的系数的比是10:1(1)求展开

13、式中各项的系数和(2)求展开式中系数最大的项以及二项式系数最大的项解：(1),第5项的系数与第3项的系数的比是10:14,Cn（2）*2Cn（2）令x=1得到展开式中各项的系数和为(1-2)8=1(2)展开式中第r项，第r+1项，第r+2项的系数绝对值分别为C812nr,c82r,C812r1,若第r+1项的系数绝对值最大，则必须满足:C812nVc82r并且c812r10c82;解得5r6;所以系数最大的项为丁7=17924；二项式系数最大的项x为丁5=11202x例5、(2005年北京)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点D是AB的中占I八、(

14、1)求证：ACXBC1；(2)求证：AC1/平面CDB1；(3)求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值.第六讲：排列、组合、二项式定理BBA:(1D直三棱柱ABCAiBiCi,底面三边长AC=3,BC=4,AB=5.，ACLBC,且BCi在平面ABC内的射影为BC,/.ACXBCi；(2)设CBi与CiB的交点为E,连结DE,7D是AB的中点，E是BCi的中点，.DE/ACiDE平面CDBi,ACi平面CDBi,，ACi/平面CDBi;(3).DE/ACi,.CED为ACi与BiC所成的角，在CED中,ED=1ACi=VCDfABK，CE=CBi=2凡.cos/CED=22后慨5，异面直线AC

15、i与BiC所成角的余弦值为21.四、巩固练习：5i、i2的展开式中x2的系数为(C)A.i0B.5C.5D.i2、一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看.现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排i人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排i人，则不同的安排方案共有(B)A24种B.36种C.48种D.72种3、在(x1)(x2)(x3)(x4)(x5)的展开式中，含x4的项的系数是(A)(A)-15(B)85(C)-120(D)27454、x24的展开式中常数项为10;各项系数之x和为2.(用数字作答)5、由0,1,2,3,4,5这六个数字。(

16、1)能组成多少个无重复数字的四位数？(2)能组成多少个无重复数字的四位偶数？(3)能组成多少个无重复数字且被25个整除的四位数？(4)组成无重复数字的四位数中比4032大的数有多少个？解：(1)A15A35300(2) A35a12A14A24156(3) A13A13A2421(4) A35A14A24A1311126、已知(x五)n的展开式中前三项的系数成等差数列.(1)求n的值；(2)求展开式中系数最大的项.解：(1)由题设)得Cn4C223C即n29n80,解得n=8,n=1(舍去).(2)设第r + 1的系数最大，则2r1 pr 1277 c 8 ,27c8丁。8 .即8r2(r1)

17、解得=2或=3所.2r91以系数最大的项为T37x5,T47x17、如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AB上移动.(1)证明：D1ELA1D;(2)当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；(3)AE等于何值时，二面角D1-EC-D的大小为7.邓：/CA、一1BA1）正明B ,DF二力C,AEL平面AA1DD1,A1DXAD1,A1DXD1E.(2)设点E到面ACD1的距离为h,在ACD1中，AC卜1 = 3 ?而 S ADC=CD1=芯）AD1=行）sAD1c=2收1AEBC=1.AD1CVD1ABC=1SABCDD1=1S33，2X1=5，.h=3（3）过D作DHCE于H,连D1H、DE,则D1HCE?/DHD1为二面角D1ECD的平面角.设AE=x,贝UBE=2x在RtZD1DH中，./DHD1=，DH=1.在RtAADE中，DE一穴，.在RtADHE中，EH=x，在RtADHC中，CH=J3,CE=Vxn,则x+=Jx24x5,解得x=2w.即当x=2抑时，二面角为DiECD的大小为z.15