★090712椭圆的几何性质

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1、椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质（4 4）椭圆的标准方程椭圆的标准方程定义定义图形图形方程方程焦点焦点a、b、c之之间的关间的关系系 0 12222 babyax 0 12222 baaybxF1F2 PyxOyxO PF1F2|PF1|+|PF2|=2a (2a|F1F2|)( c,0)、(c,0)(0, c)、(0,c) a2=b2+c2 (a最大最大)分母分母哪个哪个大，焦点大，焦点就在哪一根就在哪一根坐标轴上坐标轴上 巩固练习巩固练习22112516M_.xyPOOP、已知 在椭圆上运动， 为坐标原点，则的中点的轨迹方程为1425422yx222、如图，点A在圆B:(x-2) +y

2、 =36上运动,点C(-2,0),D为线段AC的中点,过点D作线段AC的垂线交线段AB于点E,求点E的轨迹.xOBEA(2,0)yC(-2,0)D15922yx222、如图，点A在圆B:(x-2) +y =36上运动,点C(-2,0),D为线段AC的中点,过点D作线段AC的垂线交线段AB于点E,求点E的轨迹.n n) )mm0 0, ,n n0 0, ,1 1( (mmn ny ymmx x2 22 2（1 1）（2 2）椭圆的一般方程:n n) )mm0 0, ,n n0 0, ,1 1( (mmn ny ymmx x2 22 2F2yx0PF1设设P P是椭圆是椭圆 (ab0)(ab0)上

3、任一点上任一点F F1 1,F,F2 2为椭圆的焦点为椭圆的焦点, ,求求PFPF1 1F F2 2的周长的周长. .1 1b by ya ax x2 22 22 22 2焦点三角形的周长焦点三角形的周长=2a+2c焦点三角形的周长焦点三角形的周长例例. .设设P P是椭圆是椭圆 上任一点上任一点.F.F1 1, ,F F2 2为椭圆的焦点为椭圆的焦点,F,F1 1PFPF2 2=,=,求求PFPF1 1F F2 2的面积的面积. .1 1b by ya ax x2 22 22 22 2焦点三角形的面积焦点三角形的面积F2yx0PF1. .2 2t ta an nb bS S2 2F FP P

4、F F2 21 1|PF1|+|PF2|=2a|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos=4c2|PF1|PF2|=c co os s1 12 2b b2 2分析分析:变式：变式：设设F F1 1、F F2 2为椭圆为椭圆 的两焦点，的两焦点，P P为这椭圆上一点，求为这椭圆上一点，求16410022yx的最大值.的最大值.| |PF|PF| |PF|PF2 21 1|PF1|PF2|=c co os s1 11 12 28 8x xy yo oP P1F2F 椭圆的椭圆的第二定义第二定义: 平面内到一个定点平面内到一个定点(c,0)的距离的距离和它到一条定直线和它到一条定直线(x

5、=a2/c)的距离的的距离的比是一个比是一个常数常数 e（0e1），那么这），那么这个点的轨迹叫做椭圆个点的轨迹叫做椭圆.MF1xdyF22 2e e1 1a ab ba ac ce e 例例 已知椭圆已知椭圆 的焦点的焦点坐标是坐标是 是椭圆上的任一点，是椭圆上的任一点，求证：求证： , , , , 其中其中e e是离心率是离心率. .1 1b by ya ax x2 22 22 22 2) 0(bac c, ,0 0) )( (F F1 1( (c c, ,0 0) )F F2 22 22 2b ba ac c) )y y, ,P(xP(x0 00 00 01 1exexa a| |PF|

6、PF0 02 2exexa a| |PFPF|例例 已知椭圆已知椭圆 ，F1、F2是它是它的两个焦点，若的两个焦点，若P是椭圆上任意一点，是椭圆上任意一点， 则则|PF1|2 + |PF2|2 的最小值是的最小值是 .最大值最大值是是 .1 1y y4 4x x2 22 2814准线方程准线方程焦半径公式焦半径公式12222byaxcax2)0( ba01|exaPF02|exaPFxyOP(x0,y0)F1F2最大？最大？最小？最小？c cacaca a2 2c cb b2 2准线方程准线方程焦半径公式焦半径公式12222bxaycay2)0( ba01|eyaPF02|eyaPFxyOP(

7、x0,y0)F1F2最大？最大？最小？最小？_;_160200. 2_;_810. 1取取值值范范围围是是点点到到椭椭圆圆焦焦点点的的距距离离的的，则则椭椭圆圆上上的的，短短轴轴长长为为椭椭圆圆的的长长轴轴长长为为值值范范围围是是到到椭椭圆圆中中心心的的距距离离的的取取，则则椭椭圆圆上上的的点点，短短轴轴长长为为椭椭圆圆的的长长轴轴长长为为练练习习：_ _ _; ;离离心心率率为为_ _ _ _ _ _ _的的2 25 5| |8 84 4y y3 3x x| |2 2) )( (y y2 2) )( (x x4 4. .椭椭圆圆_ _ _ _ _。_ _离离心心率率为为_ _ _ _ _ _

8、长长轴轴长长为为_ _ _ _ _ _ _4 4的的y y1 1) )( (x xy y1 1) )( (x x3 3. .椭椭圆圆2 22 22 22 22 22 254 ，16040，512 21 14例例1.若椭圆若椭圆1522 myx的准线方程是的准线方程是225 x求实数求实数m的取值，并写出此椭圆的焦点坐标的取值，并写出此椭圆的焦点坐标与离心率的大小与离心率的大小分析：分析：0mr00=0几何法：几何法：代数法：代数法：复习巩固复习巩固 d dd dd dd=rd0直线与椭圆相交直线与椭圆相交直线与椭圆相切直线与椭圆相切=0直线与椭圆相离直线与椭圆相离0相相 交交相相 切切相相 离

9、离1、直线与圆相交的弦长、直线与圆相交的弦长A（x1,y1） 直线与二次曲线相交弦长的求法直线与二次曲线相交弦长的求法dr2l2、直线与椭圆相交的弦长、直线与椭圆相交的弦长利用弦长公式利用弦长公式:21221241|xxxxkAB）（212212411yyyyk）（其中其中k 是弦的是弦的斜率斜率，(x1, y1) 、(x2, y2)是弦的是弦的端点坐标端点坐标.B（x2,y2）新课讲解新课讲解 方法方法1：求出求出A、B坐标，利用两点间距离公式；坐标，利用两点间距离公式；方法方法2：A（x1,y1）B（x2,y2）设而不求设而不求y=kx+b问题一：判断位置关系问题例1 已知直线L: y=m

10、x+1, 椭圆 C：105222 yx（1）判断直线与椭圆的位置关系。（2）当m=1时，请求出当m=1时，请求出L被C截得的弦长。., 040200)52(20100, 0510)52(,10521:) 1 (2222222相交与得消由解CLmmmmxxmyyxmxyoyx),(11yxA),(22yxB2122122124)(11xxxxkxxkd7 730304 4问题二：问题二：中点弦问题中点弦问题例例2 已知椭圆已知椭圆 C： 。1 12 2y y4 4x x2 22 2(1)求过求过P ,且被且被P平分的弦所在直平分的弦所在直线方程；线方程；)1 , 1 (yxo)1 , 1 (Py

11、x0)1 , 1 (P),(11yxA),(22yxB)则由)则由y y, ,B(xB(x), ),y y, ,点分别为A(x点分别为A(x设弦的两端设弦的两端1),1),k(xk(x1 1设直线为y设直线为y: :(1)解1(1)解12 22 21 11 1消y整理得,消y整理得,1 12 2y y4 4x x1) 1)k(xk(x1 1y y2 22 20 04 4k)k)2(12(1k)xk)x4k(14k(1)x)x2k2k(1 (12 22 22 22 22k2k1 1k)k)4k(14k(11, 1,2 2x xx x2 22 21 1, ,2 21 1k kyx0)1 , 1 (

12、P),(11yxA),(22yxB验证验证k0 0时,时,2 21 1k k0即为所求.0即为所求.3 32y2y故x故x) )则则y y, ,B B( (x x) ), ,y y, ,( (x x设设弦弦的的两两端端点点分分别别为为A A: :( (1 1) )解解2 22 22 21 11 14 42 2y yx x4 42 2y yx x2 22 22 22 22 21 12 21 1-，整理得，整理得0 0) )y y)(y)(yy y(y(y) )x x)(x)(xx x(x(x2 21 12 21 12 21 12 21 122 2y yy y2,2,x xx x2 21 12 2

13、1 1k k2 21 1x xx xy yy y2 21 12 21 1. .0 03 32y2yx x即为所求点差法点差法问题二：问题二：例例2 已知椭圆已知椭圆 C： 。(2)过过P(1,1)的直线的直线L与椭圆相交与椭圆相交,求求L被截得的弦的中点轨迹方程。被截得的弦的中点轨迹方程。中点弦问题1 12 2y y4 4x x2 22 2yx0)1 , 1 (P),(11yxA),(22yxB)2(则则, , ,y y) )弦弦中中点点为为MM( (x x, ,) ), ,y y, ,B B( (x x) ), ,y y, ,( (x x设设L L与与椭椭圆圆的的交交点点为为A A: :(

14、(2 2) )解解2 22 21 11 1-，整理得整理得2y,2y,y yy y2x,2x,x xx x2 21 12 21 10 01 1x x1 1y y4y4y2x2x1 1x x1 1y yx xx xy yy y2 21 12 21 10 02y2yx x2y2yx x2 22 24 42 2y yx x4 42 2y yx x2 22 22 22 22 21 12 21 10 0) )y y)(y)(yy y(y(y) )x x)(x)(xx x(x(x2 21 12 21 12 21 12 21 12问题二：问题二：例例2 已知椭圆已知椭圆 C： 。(3)斜率为斜率为2的直线的

15、直线L与椭圆相交与椭圆相交,求求L被截得的弦的中点轨迹方程。被截得的弦的中点轨迹方程。中点弦问题1 12 2y y4 4x x2 22 2yx0),(11yxA),(22yxB则则, , ,y y) )弦弦中中点点为为MM( (x x, ,) ), ,y y, ,B B( (x x) ), ,y y, ,( (x x设设L L与与椭椭圆圆的的交交点点为为A A: :( (3 3) )解解2 22 21 11 1整理得整理得2y,2y,y yy y2x,2x,x xx x2 21 12 21 10 08y8y2x2x2 2x xx xy yy y2 21 12 21 14 42 2y yx x4

16、 42 2y yx x2 22 22 22 22 21 12 21 10 0) )y y)(y)(yy y(y(y) )x x)(x)(xx x(x(x2 21 12 21 12 21 12 21 12）即为所求.）即为所求.3 32 24 4x x3 32 24 40（0（4y4yx x解得,解得,4 42y2yx xx x4 4- -y y由由2 22 210 04y4yx x3 32 24 4，x，x3 32 24 4x x2 21 1yx0),(11yxA),(22yxB问题三：问题三：例例3 已知椭圆已知椭圆 C： ，P(x,y)是是 C上任意一点。上任意一点。191622yx(1)

17、求求P到直线到直线L：y=x-6的距离最小值；的距离最小值；22最值问题y0参数法参数法切线法切线法(2)求函数求函数u=y-x的最大值；的最大值；(3)求函数求函数w = 的值域的值域86xy474,4745求函数求函数w = 的值域的值域86xy思考yx0)6, 8( A1p2p直线与椭圆的常见综合问题：一、判断位置关系问题； (判别式、韦达定理)二、中点弦问题； (点差法 )三、最值问题。(参数方程、数形结合)小结：作业：1、过B(0,-1)作椭圆 的弦，求这些弦的最大值。1422 yx2、直线y=1- x 交椭圆mx2+ny2=1于M,N两点，弦MN的中点为P，若Kop= ,则 的值为

18、_.22nm223143、已知椭圆 C： 1222 yx求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程。课堂练习课堂练习 1、过椭圆、过椭圆 x2+2y2=4 的左焦点作倾斜角为的左焦点作倾斜角为300的直线与的直线与椭圆相交于椭圆相交于A、B两点两点, 则弦长则弦长 |AB|= _ .5162、若对任意实数、若对任意实数k，直线，直线y=kx+1与椭圆与椭圆 恒有恒有公共点，则公共点，则m的范围是（的范围是（ ） A、（、（0，1） B、（、（0，5 ） C、 1，5）（5，+ ） D、（、（1，+ ） 1522myxC3、弦中点问题弦中点问题的两种处理方法：的两种处理方法： （1）联立方程组，消去一个未

19、知数，利用韦达定理）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理 ； （2）设两端点坐标，代入曲线方程相减后分解因式）设两端点坐标，代入曲线方程相减后分解因式 ， 可联系弦的斜率。可联系弦的斜率。 1、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法;2、弦长的计算方法：、弦长的计算方法：（1）求出）求出A、B坐标，利用两点间距离公式；坐标，利用两点间距离公式；（2）弦长公式：）弦长公式： |AB|= =212212411yyyyk）（21221241xxxxk）（课堂小结课堂小结 1、若椭圆、若椭圆 ax2+by2=1 与直线与直线 x+y=1 交交于于A、B两点，两点，M为为AB中点，直线中点，直线 OM（0为原点）的斜率为为原点）的斜率为 ，求，求 的值。的值。22ab课后作业课后作业 2、椭圆、椭圆 的两个焦点为的两个焦点为F1 、F2 ，过左焦点作直线与椭圆交于过左焦点作直线与椭圆交于A，B 两点，两点，若若 AB F2 的面积为的面积为20, 求直线求直线AB的方程。的方程。1204522 yx