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1、等效法处理“填补法”类题目湖北省恩施高中陈恩谱在万有引力和静电场一章，有一类题目，在物质或电荷的几何分布出现对称的破缺后，若直接用微元法和平行四边形定则求解，数学计算繁复。对这类题目，大多资料介绍的方法是填补法：若填补这些空缺后，使得原来不对称的分布变成对称的分布，从而根据对称性，用现有的物理规律即可获得待求的物理量。不过，“填补法”思路实际上打的是迂回战术，需要先填回去再挖掉，这样 的反复对学生提出了较高的思维能力要求，致使其掌握效果不佳。笔者为克服“填补法”的这个缺陷，在总结了大量类似题目后，提出了一种更直接的方法一一等效法，这种方法从数学角度讲和“填补法”是等价的，但是因为思路直接，对学
2、生思维能力要求低，所以学生掌握起来就相对容易一些。特此介绍，并期与同行交流。【例1】如图所示，阴影区域是“质量为M、半径为R的球体”挖去一个小圆球后的剩余部分.所挖去的小圆球的球心0 和大球体球心间的距离是R/2.求球体剩余部分对球体外离球心0距离为2R、质量为m的质点P的引力F。【解析】 填补法分析：先将挖去部分填补回去，则可得到填补后的球体对m的引力F合=G-Mm2，这个F合实际上是如图阴影部分和挖去部分对m的引力的矢量和,(2R)21即F合二F ;而挖去部分对m的引力为f丄，联立解得F二G 吧合(2R |R)2100R2等效法分析：空腔部分可看做是质量为詈和-詈的均匀球体组成*，其中M部
3、分与阴影部分8Mmm的引力F1 =G2(2R)223GMm=F1 - F22。100R【例2】如图所示，m的斥力为F2”(2R*)2,两力的矢量和为在这些点上各固定 一个点电荷，除 A点处的电荷量为一q夕卜，其余各点处的电荷量均为+q,则圆心0处()A、B、是半径为r的圆周上等间距的五个点,A .场强大小为 胃，方向沿0A方向B .场强大小为賈，方向沿A0方向C .场强大小为爷，方向沿0A方向D .场强大小为爷，方向沿A0方向【解析】填补法分析：先将A点处q换成+ q,这时由对称性可知,场强实际上是 B、C、D、E四点的电荷的合场强E1与A点处+ q的场强E2的矢量和，由 E1 + E2=0可
4、知，E1方向向上，大小为 賈；然后将A点处+ q换回成一q，则一q在0点的场强E?方向向上,大小为賈,E2与E1的叠加，得到C答案。等效法分析：将A处的q看做是+ q和2q组成，A点处+ q与B、C、D、E四点的+ q在0 点处场强为零，这时，只需要考虑-2q在0点处场强，直接选 C。【总结】“等效法”的思路就是 将“导致不对称的那个部分”视为“两个相反部分”叠合在一 起形成的，其中一部分与原来的其余部分组合形成对称分布，从而达到简化计算的目的。【例3】如图1所示，半径为R均匀带电圆形平板，单位面积带电量为 匚，其轴线上任意一点 PE =2兀田U _（宀/门（坐标为x）的电场强度可以由库仑定律
5、和电场强度的叠加原理求出: 方向沿x轴。现考虑单位面积带电量为 c0的无限大均匀带电平板， 从其中间挖去一半径为 r的圆板, 如图2所示。则圆孔轴线上任意一点 Q （坐标为x ）的电场强度为XC. 2j ；0 rrD. 2 Co x【解析】等效法分析：将图2中空白部分看做是电荷面密度分别为匚0和-；0的两部分的组合，=1），而面密度分别为-；二o的部分在Q点场强为E2=2n0其中面密度分别为 二0的部分与灰色部分组合在一起后在Q点场强为Ei=2tv （分析：r：:，与E2方向相反，则两者的矢量和为2，二。1 ,本题选A。（r2 +x2【例4】如图，P、Q为某地区水平地面上的两点，在P点正下方一
6、球形区域内储藏有石油。假定区域周围岩石均匀分布，密度为?;石油密度远小于 ?，可将上述球形区域视为空腔。如果没 有这一空腔，则该地区重力加速度（正常值）沿竖直方向；当存在空腔时，该地区重力加速度的大小和 方向会与正常情况有微小偏离。 重力加速度在原竖直方向（即PO方向）上的投影相对于正常值的偏离 叫做“重力加速度反常”。已知引力常数为 G。设球形空腔体积为 V，球心深度为d（远小于地球半径），PQ = x，求空腔所引起的 Q点处的重 力加速度反常。【解析】等效法分析：空腔部分可看做是密度为t和- J两部分的组合，其中密度为的部分与周围岩石、整个地球形成所谓正常重力加速度。造成“重力加速度反常”就是那个密度为- T的人-GVdg =(d2x2)3/2 -部分，这个部分在 Q处产生的“引力加速度”为Ag =G 2 ,方向沿OQ斜向上、x -1r其中 M = PV，r = Jd2 +x2 .pTQ重力加速度反常Ag 是这一改变在竖直方向上的投影ard联立解得* “负质量”是一个数学等效的假设，负质量的物体对正质量的物体的“万有引力”是斥力。负质量 与正质量同时存在的区域如同正负电荷一样会“中和”（此处分析时不涉及能量问题）。
等效法处理“填补法”类题目
