广东省高考数学 3.1任意角和弧度制及任意角的三角函数配套课件 理 新人教A版

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1、第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数 三年三年3 3考考 高考指数高考指数: :1.1.了解任意角的概念；了解弧度制的概念了解任意角的概念；了解弧度制的概念. .2.2.能进行弧度与角度的互化能进行弧度与角度的互化. .3.3.理解任意角的三角函数理解任意角的三角函数( (正弦、余弦、正切正弦、余弦、正切) )的定义的定义. .4.4.理解同角三角函数的基本关系式：理解同角三角函数的基本关系式：22sinxsin xcos x1tanx.cosx，1.1.三角函数的定义及应用是本节的考查重点三角函数的定义及应用是本节的考查重点. .2.2.同角三角函数关系式常用来化简、求值同角三角函数关系

2、式常用来化简、求值, ,常与其他三角函数知常与其他三角函数知识相结合考查，是高考的热点识相结合考查，是高考的热点. .3.3.主要以选择题、填空题的形式考查，难度不大，属低档题主要以选择题、填空题的形式考查，难度不大，属低档题. .1.1.角的有关概念角的有关概念(1)(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着它的定义：角可以看成平面内的一条射线绕着它的_从一个从一个位置位置_到另一个位置所成的图形到另一个位置所成的图形. .(2)(2)分类：分类：_、_、_._.(3)(3)终边相同的角：终边相同的角：与角与角终边相同的角可构成集合终边相同的角可构成集合S=|S=|= =+ + _._.端点

3、端点旋转旋转正角正角负角负角零角零角 k360k360,kZ,kZ【即时应用【即时应用】(1)(1)思考：角思考：角为锐角是角为锐角是角为第一象限角的什么条件？为第一象限角的什么条件？提示：提示：充充分不必要条件分不必要条件. .因为锐角为大于因为锐角为大于0 0小于小于 的角，而第一的角，而第一象限角的范围为象限角的范围为2(2k2k) kZ .2，(2)(2)若若是第二象限角，判断下列表述是否正确是第二象限角，判断下列表述是否正确.(.(请在括号内填请在括号内填“”或或“”)”)|=k=k360360+45+45，kZkZ ( ) ( )|90|90180180 ( ) ( )|k|k36

4、0360+90+90k k360360+180+180，kZkZ ( ) ( )|=k=k180180+135+135,kZ ( ),kZ ( )【解析【解析】=k=k360360+45+45，kZkZ表示的是与表示的是与4545终边相同终边相同的角，是第一象限的角，故不正确的角，是第一象限的角，故不正确. .9090180180, ,不能表示所有第二象限的角，故不正确不能表示所有第二象限的角，故不正确. .正确正确. .=k=k180180+135+135表示的是当表示的是当k k为偶数时，与为偶数时，与135135终边相同终边相同的角；当的角；当k k为奇数时，与为奇数时，与315315终

5、边相同的角，不能表示第二象终边相同的角，不能表示第二象限的角，故不正确限的角，故不正确. .答案：答案： 2.2.弧度的定义和公式弧度的定义和公式(1)(1)定义：长度等于定义：长度等于_的弧所对的圆心角叫做的弧所对的圆心角叫做1 1弧度的角弧度的角. .弧度记作弧度记作radrad. .半径长半径长(2)(2)公式公式角角 的弧度数公式的弧度数公式=_（弧长用（弧长用l表示）表示）rl角度与弧度的换算角度与弧度的换算1 1=_rad=_rad180180弧长公式弧长公式弧长弧长l=_r 扇形面积公式扇形面积公式S=_S=_ =_=_1r2l21r21rad=(_) 1rad=(_) 【即时应

6、用【即时应用】(1)337(1)3373030的弧度数是的弧度数是_._.(2) (2) 的度数为的度数为_._.(3)(3)扇形半径为扇形半径为4545，圆心角为，圆心角为120120，则弧长为，则弧长为_._.512【解析【解析】(1)337(1)3373030表示的弧度数为表示的弧度数为(2) (2) 的度数为的度数为(3)(3)圆心角圆心角120120的弧度数为的弧度数为 故弧长故弧长l= =答案：答案：(1) (2)75(1) (2)75 (3)30 (3)30337.515.180851251801275 .23，24530 .31583.3.任意角的三角函数任意角的三角函数(1)

7、(1)定义：设角定义：设角终边与单位圆交于终边与单位圆交于P(xP(x, y), y)，则，则sinsin=_=_，coscos=_=_，tantan=_.=_.y(x0)xy yx x(2)(2)几何表示几何表示: :三角函数线可以看作是三角函数的几何表示三角函数线可以看作是三角函数的几何表示. .正弦正弦线的起点都在线的起点都在x x 轴上轴上, ,余弦线的起点都是原点余弦线的起点都是原点, ,正切线的起点都正切线的起点都是是(1,0).(1,0).如图中有向线段如图中有向线段MPMP，OMOM，ATAT分别叫做角分别叫做角的的_，_和和_._.正弦线正弦线余弦线余弦线正切线正切线(3)(

8、3)诱导公式诱导公式( (一一) )sin(+ksin(+k2)=_2)=_；cos(+kcos(+k2)=_2)=_；tan(+ktan(+k2)=_.(kZ2)=_.(kZ) )(4)(4)同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系平方关系平方关系:_,:_,商数关系商数关系:_.:_.sinsincoscostantansinsin2 2+cos+cos2 2=1=1sintancos 【即时应用【即时应用】(1)(1)已知角已知角终边上一点终边上一点A(2,2)A(2,2)，则，则tantan=_.=_.(2)(2)若若tantan=2=2，则，则 =_.=_.【解析【解析】(1)t

9、an=(1)tan=(2)(2)又又tantan=2=2，答案：答案：(1)1 (2)(1)1 (2)sin3cossincosy21.x2sin3costan3sincostan1，tan3231.tan12 13 13 弧度制的应用弧度制的应用 【方法点睛【方法点睛】弧度制的应用弧度制的应用(1)(1)引进弧度制后，实现了角度与弧度的相互转化，在弧度制下引进弧度制后，实现了角度与弧度的相互转化，在弧度制下可以应用弧长公式：可以应用弧长公式：l=r|=r| |，扇形面积公式：，扇形面积公式：求弧长和扇形的面积求弧长和扇形的面积. .211Srr22，l(2)(2)应用上述公式时应用上述公式时

10、, ,要先把角统一用弧度制表示要先把角统一用弧度制表示. .利用弧度制利用弧度制比角度制解题更为简捷、方便比角度制解题更为简捷、方便. .【提醒【提醒】弧度制和角度制不能混用，解决问题时要先统一弧度制和角度制不能混用，解决问题时要先统一. .【例【例1 1】已知扇形的圆心角是】已知扇形的圆心角是，半径为，半径为R R，弧长为，弧长为l. .(1)(1)若若=60=60，R=10 cm,R=10 cm,求扇形的弧长求扇形的弧长l. .(2)(2)若扇形的周长为若扇形的周长为20 cm20 cm，当扇形的圆心角，当扇形的圆心角为多少弧度时，为多少弧度时，这个扇形的面积最大？这个扇形的面积最大？(3

11、)(3)若若= R= R2 cm2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积，求扇形的弧所在的弓形的面积. .3，【解题指南【解题指南】(1)(1)可直接用弧长公式，但要注意用弧度制可直接用弧长公式，但要注意用弧度制. .(2)(2)可用弧长或半径表示出扇形面积，然后确定其取最大值时的可用弧长或半径表示出扇形面积，然后确定其取最大值时的半径和弧长，进而求出圆心角半径和弧长，进而求出圆心角.(3)(3)利用利用S S弓弓=S=S扇扇-S-S，这样就需要求扇形的面积和三角形的面积，这样就需要求扇形的面积和三角形的面积. .【规范解答【规范解答】(1)(1)l= =(2)(2)由已知得：由已知得：l+2R=

12、20,+2R=20,所以所以S=S=10R-R=10R-R2 2=-(R-5)=-(R-5)2 2+25+25，所以所以R=5R=5时，时，S S取得最大值取得最大值2525，此时，此时l=10=10，=2 rad=2 rad. .1010(cm).3311R(202R)R22l(3)(3)设弓形面积为设弓形面积为S S弓弓. .由题知由题知l= =2 cm3，22121SSS22sin23232(3)(cm ).3弓扇【互动探究【互动探究】将本例第将本例第(1)(1)小题中的小题中的R=10 cmR=10 cm改为扇形的弦改为扇形的弦AB= AB= cm, cm,再求弧长再求弧长l. .【解

13、析【解析】因为圆心角因为圆心角=60=60，AB= cm,AB= cm,所以所以R= cmR= cm，l= =10 210 210 210 210 2 (cm).33【反思【反思感悟感悟】1.1.弧度制下的弧长、扇形面积公式与角度制下弧度制下的弧长、扇形面积公式与角度制下的弧长公式的弧长公式l= = 、扇形面积公式、扇形面积公式S= S= 有着必然的内在联系有着必然的内在联系. .2.2.在解决弧长问题和扇形面积问题时要注意合理地利用圆心角在解决弧长问题和扇形面积问题时要注意合理地利用圆心角所在的三角形所在的三角形. .n r1802n r360【变式备选【变式备选】扇形扇形OABOAB的面积

14、是的面积是1 cm1 cm2 2，它的周长是，它的周长是4 cm4 cm，求圆，求圆心角的弧度数和弦心角的弧度数和弦ABAB的长的长【解析【解析】设扇形的半径为设扇形的半径为r cmr cm，弧长为，弧长为l cm cm，圆心角的弧度数，圆心角的弧度数为为，则有，则有 解得解得由由| 得得2 2，|AB|AB|2sin1(cm).2sin1(cm).弦长弦长ABAB为为2sin1 cm.2sin1 cm.2r41r12 ，llr12，lrl 三角函数的定义三角函数的定义【方法点睛【方法点睛】1.1.三角函数定义的理解三角函数定义的理解在直角坐标系在直角坐标系xOyxOy中，设中，设P(xP(x

15、, y), y)是角是角终边上任意一点，且终边上任意一点，且|PO|PO|r r，则，则yxysincostan.rrx ； ；2.2.定义法求三角函数值的两种情况定义法求三角函数值的两种情况(1)(1)已知角已知角终边上一点终边上一点P P的坐标，则可先求出点的坐标，则可先求出点P P到原点的距离到原点的距离r r，然后利用三角函数的定义求解，然后利用三角函数的定义求解. .(2)(2)已知角已知角的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解

16、相关的问题相关的问题. .若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角的三的三角函数值角函数值. .【例【例2 2】已知角】已知角的终边在直线的终边在直线3x+4y=03x+4y=0上，求上，求sin,cossin,cos, ,tantan的值的值. .【解题指南【解题指南】在直线上设出点，求出所设点到原点的距离，求在直线上设出点，求出所设点到原点的距离，求得三角函数值，因为所设点可在不同象限，所以需要讨论得三角函数值，因为所设点可在不同象限，所以需要讨论. .【规范解答【规范解答】角角的终边在直线的终边在直线3x+4y=03x+4y=0上，上，在角在角的终边上

17、任取一点的终边上任取一点P(4t,-3t)(t0),P(4t,-3t)(t0),则则x=4t,y=-3t,x=4t,y=-3t,r=|PO|=r=|PO|=当当t t0 0时，时，r=5t,r=5t,2222xy(4t)( 3t)5 t , y3t3x4t4sin,cos,r5t5r5t5y3t3tan;x4t4 当当t t0 0时，时，r=-5t,r=-5t,综上可知，综上可知，或或y3t3sin,r5t5x4t4cosr5t5y3t3tan.x4t4 ，343sincostan554 ，；343sincostan.554 ，【反思【反思感悟感悟】1.1.利用三角函数定义解题时，方法比较灵活

18、，利用三角函数定义解题时，方法比较灵活，若是角若是角的终边落到一条直线上，一般要分类讨论的终边落到一条直线上，一般要分类讨论. .2.2.任意角的三角函数与锐角三角函数的关系任意角的三角函数与锐角三角函数的关系. .(1)(1)联系：锐角三角函数是任意角的三角函数的一种特例，它们联系：锐角三角函数是任意角的三角函数的一种特例，它们的基础是建立于相似或直角三角形的性质，的基础是建立于相似或直角三角形的性质，“r”r”同为正值同为正值. . (2)(2)区别：锐角三角函数是以边的比来定义的，任意角的三角函区别：锐角三角函数是以边的比来定义的，任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标的比来定义的数

19、是以坐标与距离、坐标与坐标的比来定义的, ,它也适合锐角三它也适合锐角三角函数的定义角函数的定义. .(3)(3)实质：由锐角三角函数的定义到任意角的三角函数的定义是实质：由锐角三角函数的定义到任意角的三角函数的定义是由特殊到一般的认识和研究过程由特殊到一般的认识和研究过程. .【变式训练【变式训练】已知角已知角的终边经过点的终边经过点P( m)(m0)P( m)(m0)，且，且sinsin= = 试判断角试判断角所在的象限，并求所在的象限，并求coscos和和tantan的值的值2m,43，【解析【解析】由题意，得由题意，得m0,m= m0,m= 故角故角是第二或第三象限角是第二或第三象限角

20、当当m= m= 时，时，r= r= 点点P P的坐标为的坐标为当当m= m= 时，时，r= r= 点点P P的坐标为的坐标为2r3m ,2m2m43m，5，52 2，(35)，x36cosr42 2y515tanx33 ，52 2，(35)，x36y515costan.r4x32 23 ，【变式备选【变式备选】已知角已知角的终边过点的终边过点(a,2a)(a0)(a,2a)(a0)，求，求的三角的三角函数值函数值. .【解析【解析】因为角因为角的终边过点的终边过点(a(a，2a)(a0)2a)(a0)，所以，所以， x=a,yx=a,y=2a,=2a,当当a a0 0时时,sin,sin= =

21、当当a a0 0时，时，sinsin= =r5 |a |，y2a2a2 5r55 |a |5a；xa5costan2;r55a ；y2a2a2 5r55 |a |5a ；xa5costan2.r55a ； 同角三角函数关系式的应用同角三角函数关系式的应用【方法点睛【方法点睛】同角三角函数关系式的应用同角三角函数关系式的应用(1)(1)同角三角函数关系式的基本用途：同角三角函数关系式的基本用途：根据一个角的某一个三角函数值，求出该角的其他三角函数根据一个角的某一个三角函数值，求出该角的其他三角函数值；值；化简同角三角函数式；化简同角三角函数式；证明同角的三角恒等式证明同角的三角恒等式(2)(2)

22、注意公式的逆用和变形应用：注意公式的逆用和变形应用：1=sin1=sin2 2+cos+cos2 2，sinsin2 2=1-cos1-cos2 2，coscos2 2=1-sin=1-sin2 2，sin=cossin=costantan. .【例【例3 3】已知】已知(1)(1)求求sinx-cosxsinx-cosx的值；的值；(2)(2)求求tanxtanx的值的值. .【解题指南【解题指南】(1)(1)利用平方关系，把已知两边平方得利用平方关系，把已知两边平方得2sinxcosx2sinxcosx，再把再把sinx-cosxsinx-cosx平方求得平方求得(sinx-cosx)(s

23、inx-cosx)2 2，再根据，再根据x x的范围得的范围得sinx-cosxsinx-cosx. .(2)(2)由由sinx+cosxsinx+cosx和和sinx-cosxsinx-cosx求得求得sinxsinx，cosxcosx，再利用商式关，再利用商式关系求得系求得tanxtanx. .1x0sinxcosx.25 ，【规范解答【规范解答】(1)(1)由由sinx+cosxsinx+cosx= =平方得平方得sinsin2 2x+2sinxcosx+cosx+2sinxcosx+cos2 2x=x=即即2sinxcosx=2sinxcosx=(sinx-cosx)(sinx-cos

24、x)2 2=1-2sinxcosx=1-2sinxcosx=又又 x x0 0，sinxsinx0 0，cosxcosx0 0，sinx-cosxsinx-cosx0 0，故，故sinx-cosxsinx-cosx= =1,5125，2425，49.2527.5(2)(2)由由(1)(1)得得sinx-cosxsinx-cosx= =故由故由 得得75 ，1sinxcosx57sinxcosx5 ，34sinxcosx55 ，3sinx35tanx.4cosx45 【反思【反思感悟感悟】1.1.在利用同角三角函数关系式解题时，变形非在利用同角三角函数关系式解题时，变形非常关键，同时常关键，同时

25、“1”1”的代换也经常巧妙地用在里面，使问题得的代换也经常巧妙地用在里面，使问题得以解决以解决. .2.2.有些题目还用到方程思想，函数思想有些题目还用到方程思想，函数思想. .【变式训练【变式训练】已知已知 求求sin-cossin-cos的值的值. .【解析【解析】sinsin0 0，coscos0 0，由由 得得3tan32 ， ，3tan32 且 ，22sin3cossincos1 3sin21cos2 ，13sincos.2 【易错误区【易错误区】同角三角函数平方关系的应用误区同角三角函数平方关系的应用误区 【典例【典例】(2011(2011重庆高考重庆高考) )若若coscos=

26、= 且且则则tantan=_.=_.【解题指南【解题指南】根据角所在的范围，先求出根据角所在的范围，先求出sinsin的值，再根据的值，再根据商数关系求出正切值商数关系求出正切值. .35 ，3()2，【规范解答【规范解答】因为因为 cos cos= = 所以所以 所以所以tantan= =答案：答案：3()2，35 ，24sin1 cos5 ，sin4.cos343【阅卷人点拨【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议：得到以下误区警示和备考建议：误误区区警警示示 求解本题时，常会出现以下两种失误：求解本题时，常会

27、出现以下两种失误：(1)(1)易忽视题目中已知条件易忽视题目中已知条件的范围，求得的范围，求得sinsin的的两个值而致错两个值而致错. .(2)(2)虽注意到虽注意到的范围，但判断错的范围，但判断错sinsin的符号而导的符号而导致致tantan的值错误的值错误. .备备考考建建议议由同角三角函数的平方关系求由同角三角函数的平方关系求sinsin或或coscos时，要时，要注意以下两点：注意以下两点：(1)(1)题目中若没有限定角题目中若没有限定角的范围，则的范围，则sinsin或或coscos的符号应有两种情况，不可漏掉的符号应有两种情况，不可漏掉. .(2)(2)若已给出若已给出的范围，

28、则要准确判断在给定范围内的范围，则要准确判断在给定范围内sinsin或或coscos的符号，不合题意的一定要舍去的符号，不合题意的一定要舍去. .1.(20111.(2011新课标全国卷新课标全国卷) )已知角已知角的顶点与原点重合，始边与的顶点与原点重合，始边与x x轴的正半轴重合，终边在直线轴的正半轴重合，终边在直线y=2xy=2x上，则上，则cos2=( )cos2=( )【解析【解析】选选B.B.由题意知，由题意知，tantan=2=2，即，即sinsin=2cos=2cos，将其代，将其代入入sinsin2 2+cos+cos2 2=1=1中可得中可得coscos2 2= = 故故c

29、os2=2coscos2=2cos2 2-1=-1=4334(A)(B)(C)(D)555515，3.52.(20112.(2011上海高考上海高考) )若三角方程若三角方程sinxsinx=0=0与与sin2x=0sin2x=0的解集分别的解集分别为为E E，F,F,则则( )( )(A)E(A)E F (B)E F (B)E F F(C)E=F (D)EF=(C)E=F (D)EF=【解析【解析】选选A.A.因为因为sinxsinx=0=0，sin2x=0sin2x=0，所以角，所以角x x和角和角2x2x的终边都的终边都在在x x轴上，所以轴上，所以E=x|x=k,kZE=x|x=k,k

30、Z ，F=x|x= kZF=x|x= kZ ，所以，所以E E F.F.k,23.(20113.(2011江西高考江西高考) )已知角已知角的顶点为坐标原点，始边为的顶点为坐标原点，始边为x x轴轴的正半轴，若的正半轴，若P(4,y)P(4,y)是角是角终边上一点，且终边上一点，且sinsin= = 则则y=_.y=_.【解析【解析】由由P(4P(4，y)y)是角是角终边上一点，且终边上一点，且sinsin= = 可知可知y y0 0，|OP|= |OP|= 根据任意角的三角函数的定义得根据任意角的三角函数的定义得 化简得化简得y y2 2=64=64，解得，解得y=-8.y=-8.答案：答案：-8-82 55，2 55224y，22y2 554y ，