第二章考研数学导航考研内部资料,面授老师整理导数与微分

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1、2014年考研高等数学系统复习第二章与数与微分题型讲解导数与微分定义导数的原始定义1.设f（X0）存在，求下列各极限: 胴 f(X0 -2W/X +3&X)；答:-5fxo).(2) lim f(X0+h)-f(X0-h). 答：2f(%). h 0h2.(112)已知“*）在*=0处可导，且f（0） =230，则1xmox (x：(x) =(A)-2f(0)；(B)- f(0);(C)(0)；(D) 0. 答：(B).3 .设函数 f(x)可导，则 im f(4x) f(2)=() x 2 x -2(A) f(x2)；(B)f(x2)；(0-(2)；(D) f(2).答：(C).2、4 .已

2、知 f(1) =0, f(1) =2 ,求m f(sin x cosx). 答：1. x0x tan x5 .设函数 f (x)对任何 x, y 恒有 f (x + y) = f (x) + f ( y),且 f0) = a(# 0),试确定 f (x).答：f (x) = ax.6 .设函数f(x)在点x=1处连续，且lim*M=2,求f(1).答：f(1)=2. x 1 x-17 .设函数f(x)在点x=0处存在二阶导数，且limf)-=A，求f(0), f(0), x-01 -cosxf”(0). 答：f (0) = f(0)=0, f *(0) = A.8 .求下列函数在指定点处的导数

3、：(1) 设 f(x)=(x-1)(x-2).(x-100),求 f(1);答：f(1)=99!.(2)设 f (x) = (x-a)*(x),4(x)在 x = a 处连续，求 f(a);答：(a).(3)设 f (x) =x：上x ,求 f 0； x9.研究函数f(x)=121、x,x =0;1八,x ： 0. ex -1在x = 0处的连续性和可导性.1答：连续但不可导，因为f40) =0, f：(0)=-一 1210. (011)设f(0) =0,则f(x)在点x=0可导的充要条件为(A)lim f(1：C0Sh)存在；(B)四 f(1；eh)存在；(C)limf(h-Sinh)存在;

4、(D)limf23)存在.h-0 h2h-0h答：(B).11. (951)设函数 f (x) 一阶连续可导,F(x) = f (x)(1+|sinx|),则 f (0) =0 是 F(x)在点x =0处可导的()(A)充分但不必要条件；(B)必要但非充分条件；(C)充分必要条件；(D)既非充分又非必要条件.答：(A).12. 设函数“*)在点乂 = 2可导，则函数|f(x)|在点x = a不可导的充要条件为(A) f(a) =0 且 f(a) =0 ； ( B) f (a) = 0 且 f(a) # 0 ；(C) f(a) A0且 f (a) 0 ； (D) f (a) 0且 f a) 0x

5、(C)若lim上区存在，则(0)存在；(D)若lim f (x)+ f(x)存在,则 广(0)存 x0 xx w x在.答：(D).14. (033)设函数f(x) =|x3 1|9(x),其中文x)在x=1处连续，则 41) = 0是f (x)在点x =1处可导的(A)充分但不必要条件；(B)必要但非充分条件；(C)充分必要条件；(D)既非充分又非必要条件.答：(C).15. (981)函数f(x) =(x2 +x6)x2+3x的不可导点的个数是()(A) 3 ;(B) 2 ;(0 1;(D) 0.答：(B).16.g(x) -e= 设 f (x) = x,x : 0;其中g(x)有二阶连续

6、导数,g(0) =1,g (0)= -10,x = Q(1)求f(x)；(2)讨论f(x)在(Q,Z)上的连续性.xg (x) +e; _g(x) +e-答:(1)2, x 尸 0;f(x)=“x； (2)在(3,收)上的连续.g (0)一1 x=0,x 0.L2导数与微分17. (061)设函数y = f (x)具有二阶导数，且f (x) 0, f *(x)0,Ax为自变量x在点x处的增量，&y与dy分别为f(x)在点x0处的增量与微分，若取 0 ,则(A)0dyAy.( B)0Aydy.(C)dy W (D)Ay dy 0 .答：(A).18. (981)已知函数y= y(x)在任意点x处

7、的增量为 切=，当+ ,且当Axt 01 x时，ot是Ax的高阶无穷小，y(0)=兀，则y(1)等于(C)兀e4 ；兀(D);e4 .答：(D).19.设函数y = f (x)在x = X0处可导,f，(X0)=-1,Ax,Ay,dy按通常定义,则.：y - dy lim - x0 dy(A) -2 ;答：(C).(B) -1 ;(C)0 ；(D) 1.、复合函数求导数21x cos-, x = 0; 丁20 .右g(x)= x又 f(x)在点0,x =0.答：0.dx = 0处可导，求 一 fg(x) |xb dx21 . (123)若函数 f(x) =ln vx,x 21;y 2x -1,

8、x ：1.f(f(x),则崇L:e22 .若 y = fl3x2 1 f (x) =arcsirx2,求 dy . 3x 2dx 1223 .求下列函数的导数:(1) y =fn n(sinxn).答：n3xn 4 cosxn fn n (sinxn) n (sin xn)f n (sin xn) (sin xn).(2) y=xaa axa aax,(a 0,a；1). - a a 1 x、.a qx、a2、合:a x aa x ln a a ln a.(3) y = xcos(ln x) sin(ln x).答:2cos(ln x).24 .求下列函数的导数:sin x2y =x ；2si

9、n x2 y = xc 2, sinx2xcosx In x x(2) y = dxsin xv1 -ex ;cot x -: yr = 1 yxsin x1). x2 -3x 2、,(n)/ i力 81y = (-1) n! J7T(x-2严(x-1)n +42.设 y =(x+2)(2x+3)2(3x + 4),求 y.y=108 6!.43.设 f(x)=x(x1)(x2)(x-n),求 f(0)及 f (n*“x).答：f (0) =(-1)nn!, f(n1)(x) =(n 1)!.44. & y = ex sin x ,求 y(n)(n 之 1).ny(n)= C：sin( xk

10、=0x)e45.求函数f (x) =乂2帖(1+乂)在*=0处的n阶导数f (n)(0)(n至3).n4 答：f(n)(0)=()-n:n -246.设 f (x) =arctanx ,求 f(n)(0).答：f(n)(0) = 30, n = 2k;kk = 0,1,2,.K-1)k(2k)!,n =2k +1.47.设f(x) =3x3十x2 |x|,则使f (n)(0)存在的最高阶数n为()(A) 0; (B) 1; (C) 2; (D) 3.答：(C).七、导数的几何与物理意义48. (001)设函数f(x)为周期为5的连续函数，在x = 1处可导，且有关系式f (1 +sin x)

11、-3f (1 sin x) = 8x +a(x),其中 a(x) =o(x),求曲线 y = f (x)在点(6, f(6)处的切线方程.答：y=2(x-6).22249.试证星形线x3 +y3 =a3(a0)上任一点处的切线在 x轴与y轴之间的线段 为定长.提示：曲线上点(x0,y0)处的切线与x轴和y轴的交点坐标为：(Xox03y03,0), (0,y0y03x03)50.(092)曲线1 _t2.u2、edu;在点(0,0)处的切线方程为2_2y =t ln(2 -1 )答：y =2x.51. (081)曲线sin(xy)+ln(y - x) =x在点(0,1)处的切线方程为 答：y =

12、 x 1.52. (102)曲线 y =x2与曲线 y = aln x(a #0)相切，贝U a =(A) 4e； (B) 3e； (C) 2e ； (D) e.答：(C).53. 证明曲线X=a(lntan；+cOSt);(a0,0ts)上任一点与该点的切线和x、y = asint轴交点的距离包为常数.提示：t = to时曲线上点(xo,yo)处的切线与x轴的交点坐标为：(xo -yo cott。,0).n7T54. (971)对数螺线P = e在点(P,9) =(e2,处的切线的直角坐标方程2为 答：y=e - x.55. 有一底半径为R厘米，高为h厘米的圆锥形容器，以每秒 A立方厘米的速度 往容器中倒水，试求容器内水位等于锥高一半时，水面的上升速度.答:.二 R