第二章矩阵及其运算-五邑大学

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1、第二章矩阵及其运算1 .已知线性变换：Xi =23 + 2y2 + y3,X2 = 3yi y2 5y3,x3 = 3yi + 2y2 * 3y3,求从变量x1,x2,x3到变量y1, y2,y3的线性变换.解xi2 2 1 yi由已知：x2 I = 3 1 5 1y2X3 J k3 2 3 人 y2 )(yi(2 2 1(xi07 -49 匹故 I y2 l=|31511x263-7v2I ccc I!ocJII1y2 J I323) Vx3)I32-4八y3,yi = -7xi - 4x2+ 9x3y2 = 6xi 3x2 -7x3j3 = 3xi + 2x2 - 4x32 .已知两个线性

2、变换xi = 23 + y3,yi = 34 + Z2,x2 = 2yi 3y2 2y3,72= 2zi Z3,J3 = 4yi + y2 + 5y3,J3 = Z2 + 3z3,求从Zi, Z2, Z3到xi, x2, x3的线性变换.0Z11 II Z2II I3AZ3J解 由已知xi 20i yi 20i -3x2 = -232 y2 = -23221x3 J 4i5 八 y2) 4i5人 06 i 3 zi=i2 4 9 I Z2-i0 T 16 kz3Xi = -6乙 Z2 3z3所以有 X2 = 12z1 - 4z2 + 9z3x3 - -10z1 - z2 16z311112 3

3、3 .设人=|11-1|, B= |-1 -2 4,11 1 J105 1求 3AB -2A及 ATB. 解11113AB 2A = 3 11-1 -1；1 -11 八00581=30 -5 6 - 2 1290J 1111112 ATB=11-11-1 - 2J 11 1052311124211-1|51,J- 11 ,11-213221-1=-2-1720-11JI 429- 230584|= 0 - 5 6 I “290；2 1 K-1,2);3；an(5)(X1, X2，X3)a12ka13a12a13a22a23X2；a23a33 八X3 /4.计算下列乘积： 43173(1) 1

4、-2 3 2 ;(2)(1,2,3 X 2 ;570 八1J111 3 2 1010 01010100 2100工0 0 0 3八0 0(214010-12(4) ；1-134J 131(40- 232-201-133解4(1) 157、 4 4父7+3父2+1父13 | 2 |= |1父7+ (-2)父2 + 3乂1 1 =0 l,J I 1 5父7十7父2十0父1 ,35、I6 I492 3)12 1 = (1父3 + 2父2 + 3M1) = (10)(3)11 (-1lo32 (1)2 = 1 (-1)31 001 1 4a11(1)3-1-3 02 2 1 2 =3M 2，-2-13

5、(5) X1 X2X3)a12a13二 anX1812X2813X3X2X3(6)J 10 010fX2a22 X25.设A21001020010023j121-2620a13a23a33司2%a33 X332-2011X1X3 Ja22 X2a23X3a13X1a23X2233X32al2x1x21I133022a13X1X32a23X2X3(1) AB = BA 吗？222 _、(2)(A + B) = A + 2AB + B 吗？(3)(A + B)(A- B) = A2 - B2 吗？ 解1000问:210052-402-439(1)A =则AB =1 3(3(A B)24、6；但 A

6、2 +2AB + B21BA =5J0)4 11J故(A+ B)2 丰 A2 +2AB + B2(A B)(A B)二A 2-2AB2)8J8 8(14AB 二1429；、8 122 V0 2、11JBA0、10 16、15 27 J1 0)3 4J0 6 ；0 9 1(2 8、2(A B)(A - B) A2 - B1 7；26.举反列说明下列命题是错误的：(1 )若(2)若(3)若A2 = 0,则 A = 0;A2 = A,则 A = 0或 A = E ；AX = AY,且 A 字 0,则 X = Y.010；1、A2 = 0,但 A # 0010)0、A2 = A,但 A# 0且 A#A

7、X = AY 且 A = 0 但 X7.设人=解A21J0、，求 A2,A3； ,Ak.A3A2A 二1八九111人九1；利用数学归纳法证明：Ak当k = 1时，显然成立，假设k时成立，则k + 1时Ak 二 AkA )由数学归纳法原理知：Ak0)111/十1)九0111k九01,12儿n 2九J3A3 = A2 A= 0I0 f q k由此推测 Ak = 00k kk(k - 1) 口 九2k-1 k(k-2)1 08.设人=0 1 1 ，求 Ak.00九解首先观察10102 22A2 = 0九10九1=0九2100儿)100儿J 、00用数学归纳法证明：当k = 2时，显然成立.假设k时成

8、立,则k + 1时,kk-1kk(k - 1) k-22k-1 k,k00(k 1) kJk 1(k 1)k k.1 4 2 (k 1) k1k 1k-1 k由数学归纳法原理知：Akk(k-1) k-2九2k kk9.设A,B为n阶矩阵，且A为对称矩阵,证明BT AB也是对称矩阵.证明 则 从而已知：AT=A=BT AB(BTAB)T = BT(BTA)T = BT AT BBT AB也是对称矩阵.10 .设A,B都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是 AB = BA.证明 由已知：AT = ABT = B充分性：AB = BA= AB = BTAT= AB = (AB)T即AB

9、是对称矩阵.BA = AB.必要性：(AB)T = AB = BT AT = AB =11 .求下列矩阵的逆矩阵:(1)1121a1(6)25,0212a2coSsin9-sin9 coS /135-1I-2 ;100310I00452002100008500320 (a1a2 a0)an(1)A =A =1A11 = 5, A21=2 (1), A12 =2 (1), A22 =1A/=4A”|A1-2故A存在=cos1 A21 = sin1A12 =从而cossin1- sincosA = 2,故A存在-413A31 = 0=-1A1332A23 = 141316A33 =201-1A14

10、1124(1)24=12A31 = A41 = A32 = A42 = A43 = 0A33 = 8A44 =60 = 12= (T)12= (T)5= (T)-4M-1)= (T)6A1故A11212 8=10AA1A1A1从而Aa1(6)A = 00121652413 112故A存在-20 01 -2 0 0-2 514A21 = -2A22 = 5A23 = 0A31 = 0A32 = 0a2由对角矩阵的性质知12.解下列矩阵方程:(1)14 ；2!X2J L1A24 =0 02-5)0anA1A33A340I033、2)0I 10;3I- 1 .0 J5X43146、23、-2 831

11、11 612 3J(306丫1 0、0 人1 2)11 =14_ 4001112111、一 102;0 21A1-10II000!2)13.利用逆矩阵解下列线性方程组 x1 + 2x2 + 3x3 = 1, 2m 2x2 5x3 = 2, 3x1 5x2 x3 = 3;X1 - X22x1 - X2-乂3 二- 3x32,=1,3x1 2x2 - 5x3 = 0.解 （1）方程组可表示为II1 人x3 J故从而有ix- P 2 3, | X2 I = 2 2 5 I 2=0幻3 5 13 J x1 = 1X2 = 0,X3 0111 x12 方程组可表示为2 -1 - 3| X2 1= 132

12、- 5),)_1x111125故|X21=2 -1 -3I|1|=|0IC 广 1 C ! o1x3 J I3 2 -5) I0) l3Jx1 = 5故有X2 = 0X3 = 314.设Ak = O (k为正整数)，证明,J2k 1(E - A) = E A A A .证明 一方面，E=(E-A)(E-A)另一方面，由Ak = O有22k _1_k_1kE =(E A) (A - A2) A2 -A (A - Ak)2k-1=(E A A A )(E - A)故 (E - A(E - A) =(E + A + A2 + + Ak1)(E - A)两端同时右乘(E - A)就有(E A=E十A+

13、A2十+ Ak”15.设方阵A满足A2-A-2E = O,证明A及A+2E都可逆，并求A” 及1(A 2E).证明由 A2 - A - 2E = O 得 A2 - A = 2E两端同时取行列式：| A2 - A = 2即 AA-E| = 2，故 |A#0所以A可逆，而A+ 2E = A2A + 2E| =|A2| =|A|2 #0故 A + 2E 也可逆.由 A2A2E = O= A(A-E)=2E二AA(A- E) = 2A1E= A= 1(A E) 2又由 A2 - A - 2E = O= (A 2E)A - 3(A 2E) = 4E二(A 2E)(A - 3E)= 4E 1 1 (A 2

14、E) (A 2E)(A-3E) = 4(A 2E)i 1(A 2E) = (3E - A)、几016.设 A= 143 3 I1 0 ,AB = A + 2B,求 B.2 3解 由 AB = A + 2B可得(A 2E)B = A3 00 = - 1I /3； 113 32 310-233j03故 B = (A-2E)A= | 1-1 0|111-121J -1 2117.设P AP = 淇中P =2；、._ 11，求A .解 P,AP =入故 A = PAP，所以 A11 = PAP，上111 0故 A11 =1-11102-4Y-141;P102111( 131-143 |1273111)

15、(2)设 AP P1,证明：Ak = P JP1, f (A) = Pf ()P1.证明(1)i)利用数学归纳法.当k = 2时02；命题成立，假设k时成立，则k + 1时/n k41九1(0故命题成立.ii)左边=f (A) = aEa1上m am 二a00a1ama02ma21am11a。0a1 九 2 a22 + am 2 J i)f( 1)0f(?2)j=右边利用数学归纳法.当k= 2时A2 = PAP,PAP=PA2P，成立假设k时成立，则k + 1时Ak41 = Ak -A= PAkP-1PAP, = PAk*P-1 成立，故命题成立，即 Ak = PAkP”ii)证明右边=Pf

16、(A)P=P(a0E a1A a2 2am，P1= a0PEP“ a1P P1 a2P 2P1amP mP1= a0E +a1A + a2A2 +amAm= f(A)=左边19 .设n阶矩阵A的伴随矩阵为A，证明:(1)若|a| = 0，则|a = 0； nn 1(2) A = A .证明(1)用反证法证明.假设 A* #0则有人*他)=E由此得 A = AA (A )1 = AE(A )1 = O A = O这与|a#0矛盾，故当|A| = 0时有 |a = o.一11， 一 上由于A =A,则AA = AE IAI取行列式得到：|a|a=|a若|A #0 则 |a = |a若IA = o由

17、知a| =。此时命题也成立故有A* = AnIA旧|C| |D20.取 A = B = C1 0、A B，验证0 1, CD检验:-a21 1 A c- #B DB D4A及8A求,-1 J0 2 o2 2 43。3 4I -A设解1AlO、I。A2故A8 =8 i AiO、IOA?A816A4A4 OOA454005402422.设n阶矩阵A及s阶矩阵B都可逆，求6 A、1分块为C2C4 /其中Ci为s n矩阵,C3为n、n矩阵,C2为父s矩阵C4为门父s矩阵An nO,（Ci 八C3AC3=En =En OI。EsC3 = a1AC由此得到BCiBC2O AB O=O= C4 = O （A1 存在） =O= Ci = O （B存在）Es= C2 = B1O BS。