浅谈坐标系在中学数学中的应用 应用数学教育学专业

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1、浅谈在中学数学中坐标系的应用摘 要: 本文一开始介绍了一些坐标系的相关概念和在中学数学中学习坐标系的作用。通过对近几年的各地高考真题或模拟题的分析解答，给出了使用坐标系和一些常用于解决问题的公式和解决此类问题的一般步骤；坐标系是解析几何与代数运算的关键核心点，是解决数形结合问题的得力工具，本文从各个方面详细的介绍了数形结合思想和坐标系之间的相关关系，使数与形之间互相转化。让学生在学习数学的过程中，轻松应用坐标系，更能体现坐标系在数学中的地位,同时也能更好地帮助中学学生在学习此版块知识时，起到一个衔接作用。关键词:坐标系 中学数学 应用On the Application of coordina

2、te system in Middle School MathematicsAbstract：In this paper, the concept of coordinate system and the significance of learning coordinate system are introduced at first. Based on the analysis and solution of the real or simulated problems in the college entrance examination in recent years, this pa

3、per gives the use of coordinate system and some formulas commonly used to solve the problems and the general steps to solve these problems. Coordinate system is the bridge between geometry and algebra, and it is a powerful tool to solve the problem of combination of numbers and shapes. This paper in

4、troduces the relationship between the idea of combination of numbers and shapes and the coordinate system, so that the number and shape can be transformed into each other. In the process of learning high school mathematics, students can easily use this knowledge point, which can better reflect the a

5、pplication of coordinate system in middle school mathematics, and at the same time, it can also help middle school students to learn this section of knowledge. Play a cohesion role.Key words: Coordinate system number combination vector method目 录1 坐标系的概念及学习坐标系的意义21.1 坐标系含义31.2 学习坐标系的意义32 坐标系解题的一般步骤以及

6、用坐标系解题计算的公式32.1 运用坐标系解决问题的一般常用步骤42.2 使用坐标系计算的公式43 坐标系与图形相结合54 坐标系与几何问题的联系54.1 将坐标系带入平面几何问题54.2 将坐标系带入立体几何问题75 坐标系解决代数问题155.1 将坐标系带入代数问题155.2 将坐标系带入三角函数问题186 总结20致谢21参考文献22就目前来看，在中学的过程中，向学生教授数学可以历练学生的逻辑思维转化能力，还可以构建学生的四维立体空间联想能力。本篇文章简单表述了坐标系在初级数学中的应用。全文共分六章。前两章简要阐述了坐标系的一些概念，然后第三章介绍坐标系与数字和形状的数学组合之间的关系。

7、第四章和第五章举例说明了在中学数学中使用坐标系解决方案时常遇到的问题。第六章是一个总结。本篇文章中全部所有罗列出来用来分析的例题都是最近几年几个省的高考原试题亦或是模拟题，有很强的新颖性、参考性,对学生应用坐标系解决问题提供理论根据和练习选择。1 坐标系的一些概念及学习坐标系的作用1.1 坐标系含义为了将抽象的概念和物体的所处位置和运动速度更好的描述出来，坐标系的运用必不可少。首先为了精准的描述出某个点所处的位置，先要选定一个参考系，再根据题目和问题选出一组数字，这就是所谓的坐标。在一个具体的问题中需要规划出来的坐标的途径和方式，也就是这个问题需要用到的坐标系。关于坐标系的划分类别很多，使用频

8、次较高的主要有平面极坐标系和笛卡尔直角坐标系。在中学教学中数学经常用到的更多的是直角坐标系。大概的来说就是，世间一切抽象难以具体的事物都可以建立坐标系，从而更加准确的捕捉到该事物的具体位置坐标点，对于同一个事物如果采用两种不同类型的坐标系来表现，那么在不同的坐标系中对于该同一事物就会有两种不同的抽象的概念，即该事物所处的空间维度。对于两个互相影响互相作用的事物一定要建立在同一个坐标系里。1.2 学习坐标系的意义坐标系被频繁应用于中学数学，以协助学生掌握知识并解释问题。坐标系的探索，坐标系的应用和以坐标系为核心的理论知识结构对于帮助学习数学和掌握数学思想有很大的启发。剖析坐标系在各个地方中学数学

9、中的使用，可以使学生理解、吸收一些与数学有关的文化知识，开拓视野，了解适应的数学方法，有利于加深学生主动学习的能力，训练敏捷的思维和灵活运用知识的能力，可以鼓励学生敢于思考，发现各种知识之间的内在联系，有助于自我巩固，归纳提升知识点应用。能够有逻辑地掌握数学知识，了解并掌握坐标系的点滴和意义。将现代多媒体技术与教师上课教学相融合，将使课堂教授学生时更加丰富多彩，使抽象的理论具体化，更加通俗，易懂。但也相互关联，渗透分类的思想和整合。2 坐标系解决问题的一般常用步骤与使用坐标系的计算公式2.1 运用坐标系解决问题的一般常用步骤第一步，首选要充分的理解题目和问题，建立使用于该题目和问题的坐标系，将

10、题目中提供的点标在坐标系中，或者转化成坐标点和方程（组）。还需要将题目中提及的方程投射到坐标系的线上；第二步，将具体的数字带入到公式中进行具体等式的计算；第三部，对计算的结果进行分析，并根据所问问题做出最好的回答。 2.2 使用坐标系的计算公式（1）在某一个平面上有两个点，它们的距离是如图所示，可以通过点作轴的垂直线,经过点作轴的垂直线，两条垂直直线在点处相交,那么就有,根据勾股定理，可以得知，在一个坐标平面内形象的描述出几何图形的属性必不可少的就是两个点之间的距离公式，学习两点之间的距离公式以后在解其他平面问题中也可以为学生提供帮助，为以后的学习奠定基础。图1（2）经过两个点的直线，且这条直

11、线不能平行于轴，那么斜率是:（3）判断两条直线与互相垂直的必要条件是：。(4) 判断两条直线与互相平行，如果这两条直线的方向向量分别是，则。(5)判定两直线,垂直,若它们的方向向量分别是，则。3 坐标系与图形相结合数字和具体的图形相结合可以为中学时期的数学计算带来更好的解题角度，也是被老师和学生经常大量采用的解题思维模式。根据数字和形状之间的对应关系对高中数学中绝大多数的难题进行处理。坐标系是高中数学中广泛运用的解题媒介，是实现有效地转换数字和形状这种转换的有效工具，坐标系可以使一些似乎使我们无法理解的问题得到解决，从而产生意外的解题效果。 本文中的大多数示例都涉及数形结合思想，将在后面一一展

12、示。4 坐标系与几何问题的联系4.1 将坐标系带入平面几何问题 将坐标系这种解题方式带入到解平面几何的问题中，最主要的在于使用坐标和方程表达平面之中的坐标以及图形，进而将代数和相应的理论和公式定理相结合一起进行计算。在充分了解和掌握向量的定义和简单运用后，也可以将代数计算与向量结合起来，我们能够通过代数运算来展示一些特定的几何属性。 比如说，两直线相互垂直能够表达为两条直线对应的方向向量的数量积结果为零，作为研究平面几何和立体几何的基本工具，向量和坐标是解答数学问题的几大得力工具中的两个，解决解析几何问题的一种重要方法就是将向量方法和坐标系相结合。 以下列举了高考中几种常见的关于向量的数量积的

13、问题，在每一种不同的类别中都会插入用一类型的近几年的真实例题来帮助我们更好的理解。关于垂直与平行的问题向量与向量之间的平行和垂直问题，可以通过简单的代数运算转化为代数问题，再从中解决。例 若平面向量满足，平行于轴,则_解析：向量平行于轴说明向量的纵坐标为，向量的横坐标为，向量的坐标为，设向量的坐标为,又或综上可得，向量的坐标为或.求向量模的问题若，则。例 若平面向量和互相平行，其中,则=_解析：根据条件所给的两个向量平行的充要条件得到关于的方程，解出方程，把所得的结果分别带入向量坐标，求两个向量的差的模。解：平面向量和互相平行或,当时,当时，,综上有或,故答案是：或求夹角和数量积已知两个非零向

14、量若与，我们把叫做与的数量积（或内积），记作，即；若已知两向量的坐标分别为 ，则，。例 已知与的夹角，则. . . .解析：已知与的夹角则所以正确答案是.4.2 将坐标系带入立体几何问题在解决立体几何问题的时候如果还是套用以往的传统解题模式，只会将立体几何问题变得更难以解答，且不容易理解，这对于学生来说各方面要求比较偏上，如果能把向量与坐标系两者之间互相结合以此解答问题，会大大减小难度，并且容易求得正确的答案。如果遇见的题目中展示的几何图形中存在三条互相相交的直线的时候，我们就可以第一时间先建立坐标系，在中学数学中通常把立体几何的问题分为两种类型，一种是空间角之间距离，另一种是空间线和面之间的

15、垂直，平行关系的求证。(1)将坐标系带入空间线和面之间的垂直，平行关系的求证判定两条直线的位置将坐标系带入空间线和面之间的垂直，平行关系的求证，首先要根据题目要求建立符合的坐标系，根据题目中给出的信息标出这两条目标直线的向量坐标，根据相关公式，计算这两条目标直线的向量坐标的积是否等于负一，亦或是零，从而来判定这两条直线的关系，是垂直还是平行的关系。例 如图，在一个四棱锥中的底面是一个正方形，两个不同的点依次是的中点.求证：.图2解答:根据立体几何图形可以看出，是互相垂直的.证明：以方向作为轴的正方向，方向作为轴的正方向，方向作为轴的正方向，然后建立一个空间直角坐标系。由，故设则有由于两个不同的

16、点依次是的中点，可得进而可得由于综上所述，可得。判定直线和平面的位置可以通过建立空间直角坐标系，来帮助我们更好的判定直线与平面之间是否有平行、垂直、包含关系,可以判定该直线与平面内任何一条直线的联系，判断一条直线和平面内任意一条直线的关系从而确定直线与平面是否平行，详细阐述该条直线不在平面内，与之平行的直线在平面内；通过确定任意一条直线与平面之内的两条具有相交关系的直线的位置关系从而判断这条直线与平面是否存在垂直关系。这种类型的问题也可以转化成任意一条直线的任意法向量与方向向量是否存在平行或者垂直的关系。例 如图,正一个四棱柱中,点在上，并且.求证:.图3证明:显然所在直线两两互相垂直，则以为

17、坐标原点,分別以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系。平面和平面位置的判定 平面与平面之间是否存在平行的关系，可以通过建立空间直角坐标系，计算这两个平面的法向量的乘积来判断这两个平面之间是否存在平行和垂直的关系。同理， 平面与平面之间是否存在垂直的关系，可以通过建立空间直角坐标系，计算这两个平面的法向量的乘积来判断。此外,面面平行还可以使用共面向量定理证得.例 如图，已知,三角形是一个等边三角形，且边长是，另外,为的中点.(1)证明:平面平面.图4证明:建立以为坐标原点，使所在的直线为轴，使所在的直线为轴，经过点并且与垂直的直线为轴,建立一个空间直角坐标系。是的中点，所以则有所以，又,所以平面.

18、又因为平面,所以平面平面.(2)使用坐标系计算空间中的距离以及空间角两个不同面的直线构成的角解题过程第一步，在没有能够做出的辅助线的前提下，应该先找出在空间中有互相垂直关系的三条直线，然后根据所作出空间直角坐标系直接写出，亦或是经过计算求得这两条不在同一个面的直线的不同的方向向量,紧接着再运用定理和公式计算这两个方向向量的夹角，进而求出这两个不同面的直线构成的角. 例 如图,在一个直三棱柱中，,点是的中点,求异面直线与所构成的角的余弦值.图5解答:使成为坐标原点，建立一个空间直角坐标系，如图所示：图6则，所以向量，向量因为，所以两条不在同一个面的直线A1B与C1D所构成角的余弦值为.斜线和平面

19、所构成的角的解题过程求一个与平面不垂直的直线与该平面所构成的角，可以转变思维先计算这条与平面不垂直的直线的方向向量，与该平面的其中一个法向量之间构成的角，进而求出这条与平面不垂直的直线与该平面所构成的角。例 四边形为矩形,，则与平面所成角是. 解析:依次使所处的直线为轴，建立一个空间直角坐标系，那么,由于是平面的其中一个法向量，可得，那么,所以直线和平面的法向量所处直线构成的角使，进而可得直线和平面所成角为.求二面角的大小求解两个平面所形成的二面角的大小。想要求两个平面构成的二面角的大小可以先求这两个平面的其中一个法向量之间构成的夹角。可以是转变成的情况求解.例 如图，在直三棱柱中，,点是的中

20、点，求平面与所成二面角的正弦值.图7证明:如图，以为坐标原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向，方向为轴正方向建立空间直角坐标系.图8则，向量是平面的其中一个法向量，假设平面的法向量向量，向量取，可知平面的法向量平面和构成的二面角为所以，也就是平面和构成的二面角的正弦值是。例 如图，在平面四边形中，将四边形沿折起，使平面平面，分别是棱的中点（1）求证：；（2）求面与面所成角的余弦值。（1）证明：在平面四边形中，则又,所以又，所以，故,得证。（2）解析：过作；建立以为原点，使方向为轴正方向，使方向为轴的正方向，使方向为轴正方向的空间直角坐标系，,则,则点坐标：则向量，向量，设向量是平面的一个法向量

21、显然平面的法向量，故所求的答案是一个点与直线的距离求一个点与直线之间的距离的类型题目大多都是通过运用传统的几何解答模式的比较多。首先根据相关定理先确定垂足，再计算解出点到垂足的距离，这个距离也是改点到之间的距离，亦可使用点到直线的距离公式直接求出.一个点与平面的距离可以将坐标系带入到求解一个点到平面的距离过程中。第一，先确定平面的一个法向量,其中，点是平面内的任意一点，点到平面的距离就是在平面的法向量方向上投影的绝对值。例 平面的其中一个法向量，内有一点，求点到平面的距离为. 解答：依据题意，可得，向量，又平面的一个法向量），点在内，到的距离等于向量在向量上的投影的绝对值，即故选：5 坐标系解

22、决代数问题5.1 将坐标系带入代数问题在使用坐标系求解代数问题的解题步骤中，首先应该充分的观察代数与共识以及方程之间的联系，并在坐标系的平面中找出这个题目展示的几何意义，此过程为高中转化思想的重要体现，其次根据所给出的数、式、方程一起组成的用来分析的图像，在最后，可以将有关组建出来的图形的属性和相关定理知识运用其中，以得出结果。在这个小节中主要介绍了如下几种在中学数学中常见的几个类别的解题过程。类别一:将坐标系运用到不等式、方程、函数、中。例 若有于的方程的两个解均在和之间,求的取值范围.解答:使，那么方程的解，就是的图形和轴的交点的横坐标。根据的图可以得知，图9要让两个解均在之间，只需同时成

23、立，解得，故题型二：坐标系在圆中的应用举例例若实数满足方程,则的最大值为 解析:满足等式的图如下图所示：图10表示圆上动点与原点连线的斜率，由图可得动点与重合时，此时与圆相切，取最大值，连接，在中，易得，此时故选题型三:线性规划问题中坐标系的应用例青岛一个造酒企业现在两种啤酒产品和。现在已知在这两种啤酒产品中均有和两种成份，现在如果要生产出一瓶啤酒需要的成份和的成份；生产一瓶啤酒需要的成份，的成份.一瓶啤酒可以净赚元，一瓶啤酒可以净赚元。造酒企业在生产这两种啤酒产品的时候，每一天使用、两种成份各不可以多过。那么该造酒企业一天可以净赚. 解答:假设造酒企业生产啤酒能每天生产瓶，能生产啤酒每天瓶，

24、造酒企业每天可以净赚元，根据题目可以得出，.图11根据可以画出可行域如图所示，可以转变成,这也是根据变化的一组平行直线，经过解方程组，可以得出.即，所以该制酒企业每天净赚.5.2 将坐标系带入三角函数问题(1)凭借坐标系来解答三角函数问题在对中学数字中的同角三角函数问题进行求解的时候，学生可以直接采用三角函数的基本解题方式求解，不是过程繁琐就要使用不同的类型进行不同的分析，可以在解题过程中通过化简并综合任意角三角函数的内容就能够更容易的把题目解答出来。如图,把角的顶点当做坐标系的原点，再把角的起始边当做轴的正半轴，经过并且与轴垂直的直线为轴，来建立直角坐标系,假设是角终止边上的任意一个点，,那

25、么图12(2)在三角函数问题中使用坐标系的应用在面对三角函数问题的时候可以采用坐标系来进行分析，本篇文章在这部分例举了两个有代表性的例题来分析讲解。首先第一个例题是关于化简三角函数的，第二个是将三角函数的图形用坐标系来表达出来，并解决问题。例已知函数的图像和与轴平行的直线有两个不同的交点，求的取值范围:解答:可以通过分段来表示,并将代数和图形相结合解得的取值范围.函数在的图像（如图所示）可以得知，.图136 总结无论在那个阶段数学课堂教学中，学生在图与形之间的转换和概念的理解方面一向存在较大的困难。然而，这个过程却是学生掌握知识的关键，对于缺乏空间想象力和思维逻辑不严密的学生，老师可以引导学生

26、将坐标系与现代教学技术相结合，老师在教学过程中利用现代化教学设施和软件辅助教学，提升了学生的想象力和逻辑思维的严谨性，这样就可以清晰地理解难题，辅助老师教学，帮助学生更清晰的解决问题，并直观地理解数学概念，数学结论和坐标系知识的数学问题。在坐标系下，探索几何图形和属性的数学教学，结合现代教学技术。学生根据平面图形很难理解透彻立体几何问题，这时候老师就可以借助几何画板作坐标系帮助学生很好的理解立体几何，协助教师在教学过程中弥补概念的抽象感，使概念具体化，在解答和解释抽象的概念和问题时，缺乏想象和立体感的学生可以通过坐标系转化理解，使问题的解答更加透彻。还可以在教学课堂上，减少大量繁琐而简单的计算

27、的避免课堂时间浪费。致 谢在我们成长的道路上，我们会遇见形形色色的人和事物，但当我们任何时刻都保持一颗平常心，那么在任何障碍面前我们都将不再畏惧和退缩。有些时候，你的心态决定了你的高度，你的思想决定了你的成长空间。在大学期间，图书馆是一个好地方，在我前进的道路上它就仿佛是一座灯塔，当我们了解的越多知道的越多，才会明白，我所见到的不过是沧海一粟，大巫见小巫，知识的这片大洋是多么的宏伟辽阔，而我亦是那航行了二十载的一艘风帆，生命不息，学习前进不止。在此，我将踏上新的征程，在这新的航线上，我将不断提升自己的内在修养，不负青春时光。四年时光如白驹过隙，在此衷心的祝愿培育我成长的母校明日更加辉煌；感恩父

28、母二十一载的不抛弃不放弃，在我一路向前的航线上是你们给予我前进的动力；教育我成长的老师们感谢有你，是你们让我明白，人活着就是为了不断的前进去探索和开辟更加广袤的天地；谢谢陪伴我一起成长的同学，是你们让我坚定了前进的脚步，一步一个脚印踏踏实实才是真正的快乐；四年时间里也留下了许多难忘的回忆，还记得一起晨读的黎明，一起散步的黄昏，最重要的是那座无虚席的图书馆，以及那回顾一起度过的每一天，都心存感激。在此，我很想对您们说：一路上，感谢有你们！”独 撰 声 明我声明，本论文为本人在指导老师的指导下独立完成的，在完成论文时所用到的一切资料均已在参考文献中列出。姓名：年 月 日参 考 文 献1 任志鸿.高

29、考专题复习M.知识出版社，2013.2 韩树红、例析坐标系的应用J.初中数学教与学，2012.3 曾凌云，张华芳.例析坐标系解决与向量有关的问题J.数学通讯，2011年第7、8期.4 索云旺，廖爽，田丽等，领悟坐标系的数学本质,解答高考解析几何试题J.中小学数学(高中版)，2010年09期.5 袁保金.活用坐标系，妙解数学题J.河北理科教学研究，2010.6 郑平.对向量法与坐标系的一-些认识J.中国科技信息2009.7 张巧凤.从高考三角形问题谈“坐标系”的妙用J.新高考(高一版)，2009年03期年第15期.8 俞荣乐、空间向量在立体几何中的应用J.读与写杂志，2009年第9卷第7期.9

30、田化澜.解析几何的核心坐标系J.数学通讯,2008年05期.10 巩子坤，王勤晓.向量法与坐标系的统一-性J.枣庄学院学报，2007年10月第25卷第10期.11 王政.高中数学点拨M.学苑出版社，2006.12 昌明.例说用坐标系解立体几何问题J.中学数学，2006年06期.13 巩子坤，解析几何M.重庆师范大学出版社，2004.14 廖华奎，王宝富、解析几何教程M.北京科学出版社，2002.15 尤承业，解析几何.北京大学出版社；第一版，2004年1月1日.16李铁安,宋乃庆.高中解析几何教学策略数学史的视角J.数学教育学报,2007,16(2):90-94.17章建跃.解析几何的思想、内容和意义“中学数学中的解析几何”之一J.中学数学教学参考,2007(7):1-3.29