【人教版A版】高一数学必修一教学案：121　函数的概念

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1、1.2.1函数的概念导入新课（课本上的例子）给出下列三种对应：(幻灯片)一枚炮弹发射后，经过26 s落到地面击中目标炮弹的射高为845 m，且炮弹距地面的高度h(单位：m)随时间t(单位：s)变化的规律是h130t5t2.时间t的变化范围是数集At|0t26，h的变化范围是数集Bh|0h845则有对应f：th130t5t2，tA，hB.近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题图1中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积S(单位：106 km2)随时间t(单位：年)从19792001年的变化情况图1根据图1中的曲线，可知时间t的变化范围是数集At|1979t2001，臭氧层空洞

2、面积S的变化范围是数集BS|0S26，则有对应：f：tS，tA，SB.国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高下表中的恩格尔系数y随时间t(年)变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况时间(t)19911992199319941995199619971998199920002001恩格尔系数(y)53.852.950.149.949.948.646.444.541.939.237.9根据上表，可知时间t的变化范围是数集At|1991t2001，恩格尔系数y的变化范围是数集By|3

3、7.9y53.8.则有对应：f：ty，tA，yB.以上三个对应有什么共同特点？(2)我们把这样的对应称为函数，请用集合的观点给出函数的定义.(3)函数的定义域是自变量的取值范围，那么你是如何理解这个“取值范围”的？(4)函数有意义又指什么？(5)函数f：AB的值域为C，那么集合BC吗？来源:Z+xx+k.Com【总结归纳知识点】1函数的概念(1)函数的定义：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作yf(x)，xA.(2)函数的定义域与值域：函数yf(x)中，x

4、叫自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域显然，值域是集合B的子集对函数概念的理解“A，B是非空的数集”，一方面强调了A，B只能是数集，即A，B中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集，也就是说定义域为空集的函数是不存在的函数的三要素是：定义域、对应关系、值域定义域就是非空数集A，而值域不一定是非空数集B，而是非空数集B的子集例如，设集合Ax|x0，xR，BR，按照确定的对应关系f：取倒数，对于集合A中的任意一个数x，在B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，于是yf(x)就称为从集合A到集合B的一个函数此时

5、A是函数y的定义域，而值域Dy|y0，yR，显然DB，但DB函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应这“三性”只要有一个不满足，便不能构成函数类型一对函数概念的理解判断下列对应f是否为从集合A到集合B的函数(1)AN，BR，对于任意的xA，x；(2)AR，BN*，对于任意的xA，x|x2|；(3)A1,2,3，BR，f(1)f(2)3，f(3)4；(4)A1,1，B0，对于任意的xA，x0.【变式训练】下列对应或关系式中是A到B的函数的是()AAR，BR，x2y21BA1,2,3,4

6、，B0,1，对应关系如图：CAR，BR，f：xyDAZ，BZ，f：xy【例题1-2】设Mx|0x2，Ny|0y2，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有()A0个B1个C2个 D3个1图中(1)(2)(3)(4)四个图象各表示两个变量x，y的对应关系，其中表示y是x的函数关系的有_2.下列图形中不能确定y是x的函数的是()类型二基本函数的定义域【例题1-3】求下列函数的定义域(1)y；(2)y；(3)y.1求函数定义域时，不要化简所给解析式，而是直接从所给的解析式寻找使解析式有意义时自变量满足的条件2函数的定义域要用集合或区间形式表示，这一点初学者易忽视3定义域的求法(1)

7、如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不为0的实数的集合；(3)如果f(x)为偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合；(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合；(5)如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况【归纳总结】2区间概念(a，b为实数，且ab)定义名称符号数轴表示x|axb闭区间a，bx|axb开区间(a，b)x|axb半开半闭区间a，b)x|axb半开半闭区间(a，b3.其它区间的表示定义Rx|xax|xax|xax|xa

8、符号(，)a，)(a，)(，a(，a)【变式训练】1.求下列函数的定义域：(1)y； (2)y.(3)f(x)；(4)f(x).(5)y；(6)y. （7） y类型三抽象函数的定义域1.抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数2.主要题型如下：【类型一】已知f(x)的定义域，求f(g(x)的定义域一般地，若f(x)的定义域为a，b，则f(g(x)的定义域是指满足不等式ag(x)b的x的取值范围其实质是由g(x)的取值范围，求x的取值范围【例题1】. 设函数的定义域为，则（1）函数的定义域为_。（2）函数的定义域为_。【类型二】已知f(g(x)的定义域，求f(x)的定义域函数f(g(x)的定义域

9、为a，b，指的是自变量xa，b一般地，若f(g(x)的定义域为a，b，则f(x)的定义域就是g(x)在区间a，b上的取值范围(即g(x)的值域)其实质是由x的取值范围，求g(x)的取值范围例2. 已知函数的定义域为，则的定义域为_。【类型三】、已知的定义域，求的定义域。其解法是：可先由定义域求得的定义域，再由的定义域求得的定义域。例3. 函数定义域是，则的定义域是（ ）A. B. C. D. 【类型四】、运算型的抽象函数求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集。例4. 已知函数的定义域是，求的定义域。【变式训练】1.(1)已知函数f(x)的定义

10、域为1,2，求函数yf(2x1)的定义域；(2)已知函数yf(2x1)的定义域为1,2，求函数yf(x)的定义域；(3)已知函数yf(2x1)的定义域为1,2，求函数yf(2x1)的定义域2若函数f(x)的定义域为2,1，求g(x)f(x)f(x)的定义域知识点二相等函数【引入过渡】我们学习了函数的概念，yx与y是同一个函数吗？指出函数yx1的构成要素有几部分？一个函数的构成要素有几部分？分别写出函数yx1和函数yt1的定义域和对应关系，并比较异同.函数yx1和函数yt1的值域相同吗？由此可见两个函数的定义域和对应关系分别相同，值域相同吗？由此你对函数的三要素有什么新的认识？【知识点总结】3函

11、数相等来源:如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等类型三相等函数的判定例3-1试判断以下各组函数是否表示同一函数：(1)f(x)()2，g(x)；(2)f(x)x22x1，g(t)t22t1.1下列各组函数中，f(x)与g(x)表示同一函数的是()Af(x)x1与g(x)Bf(x)x与g(x)Cf(x)x与g(x)Df(x)与g(x)x2类型四求函数值【例题3-2】若f(x)(x1)，求f(0)，f(1)，f(1x)，f(f(x)已知f(x)(xR且x1)，g(x)x22(xR)，求：(1)f(2)，g(2)的值；(2)f(g(2)的值类型三求函数值域(1)常见

12、函数的定义域和值域：一次函数f(x)kxb(k0)的定义域是R，值域是R反比例函数f(x)(k0)的定义域是(，0)(0，)，值域是(，0)(0，)二次函数f(x)ax2bxc(a0)的定义域是R当a0时，值域是；当a0时，值域是(2)求函数值域的常用方法观察法：通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，求出函数的值域；如求函数y的值域时，由x20及4x20知0,2故所求的值域为0,2配方法：若函数是二次函数形式即可化为yax2bxc(a0)型的函数，则可通过配方后再结合二次函数的性质求值域，但要注意给定区间二次函数最值的求法换元法：对于一些无理函数，可通过换元把它们转化为有理函

13、数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域例如形如yaxb的函数，我们可令t，将函数y转化为关于自变量t的二次函数，然后利用配方法求其值域分离常数法：将形如y(a0)的函数，分离常数，变形过程为，再结合x的范围确定的取值范围，从而确定函数的值域(3)求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，要靠自己在解题过程中逐渐探索和积累除了上述常用的方法外，还有最值法、数形结合法等，应注意选择最优的解法总之，求函数的值域关键是要重视对应关系的作用，还要特别注意定义域对值域的制约【例题3-3】求下列函数的值域(1)y2x1，x1,2,3,4,5；(2)y1；(3)yx24x6，x1,5在(3)中

14、，如果x的范围改为x4,5，结果又如何？【变式训练】(1)y2x1，x1,2,3,4,5；(2)y1；(3)yx24x6，x1,5)；(4)；(5)；(6)yx【课堂巩固】1下列说法错误的是()A函数值域中的每一个值都有定义域中的一个值与它对应B函数的定义域是无限集，则值域也是无限集C定义域与对应关系确定后，函数值域也就确定了D若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素2函数y的定义域是()Ax|1x1Bx|x1Cx|0xg(f(x)的x的值是_7已知函数f(x)x2|x2|，则f(1)_.8集合x|12x11用区间表示为_三、解答题9已知函数f(x)x，(1)求f(x)的定义域；(2)求f(1)，f(2)的值；(3)当a1时，求f(a1)的值10若f(x)的定义域为3,5，求(x)f(x)f(x)的定义域