【精品课件】材料力学 第十二章 能量法北航精品课件

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1、材料力学（I II） 北航 精品课件 北京航空航天大学单辉祖教授编著的材料力学(I)、材料力学()是教育部“高等教育面向21世纪教学内容和课程体系改革计划”的研究成果，是面向21世纪课程教材和教育部工科力学“九五”规划教材，也是普通高等教育“九五”国家级重点教材 。该教材1999年初版，获2000年度中国高校科学技术奖（教材类）二等奖，教学改革成果获2001年度国家级教学成果二等奖、北京市教学成果一等奖 ；2004年修订出版第2版，修订版已列入“普通高等学校十五国家教材规划”、高教社“高等教育百门精品教材”。以材料力学I、II为主教材的材料力学立体化教学包已作为高等教育出版社的“名品”向全国推

2、广。 n本教材在妥善处理传统内容的继承和现代科技成果的引进以及知识的传授和能力、素质的培养方面，进行了积极探索，是一套面向21世纪的具有新内容、新体系，论述严谨，重视基础与工程应用(包括计算机的应用)，重视能力培养的新教材。教材体现了模块式的特点，通过对模块的选择与组合，可同时满足不同层次工科院校的不同专业对基础力学课程的教学要求。第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）Page 3第第 12 12 章章 能量法（一）能量法（一） 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）Page 4 引引求节点求节点A的铅垂位移的铅垂位移 的两条研究途径的两条研究途径 方法一方法一NNFlFlllEA

3、EA 1 1212,Al12FAllFlEA 21221cossintansincos方法二方法二NNFlFlF lVEAEAEA 222211221cos222sincosFW 2FlEA 221cossincosNNFFFF 12sin,tan（压）（压）（拉）（拉）第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）Page 5问题：问题：（1 1）求节点）求节点A的位移，哪种方法优越？的位移，哪种方法优越？（3 3）为什么要研究能量法？）为什么要研究能量法？（2 2）如何求）如何求BCBC杆的转角？杆的转角？FABC第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）Page 6一、计算外力功的基本公

4、式一、计算外力功的基本公式l 非线性弹簧非线性弹簧d WfdWfd *0, l 刚体刚体WFWF cosFl 线性弹簧线性弹簧k：弹簧常数：弹簧常数ffk ,FkWkd 2022f为什么线弹性体外力功表达式有常系数为什么线弹性体外力功表达式有常系数1/2？第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）Page 7l 一般弹性体一般弹性体相应位移相应位移 : 0 Wf 0dl 线性弹性体线性弹性体载荷载荷 f : 0 F思考：常数思考：常数k怎样确定？怎样确定？fdf d F fk Wk dkF 201122Fk 对比：弹性体与弹簧对比：弹性体与弹簧第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）Pa

5、ge 8 广义力与广义位移广义力与广义位移相应位移：相应位移：载荷载荷F作用点沿载荷作用方向的位移分量作用点沿载荷作用方向的位移分量 。外力功：外力功： 载荷在相应位移上载荷在相应位移上所作之功。所作之功。广义力：广义力： 力，力偶，一对大力，力偶，一对大小相等、方向相反的力或转向小相等、方向相反的力或转向相反的力偶等。相反的力偶等。广义位移广义位移： 线位移，角位移，相对线位移，相对角位移等。线位移，角位移，相对线位移，相对角位移等。FAA FAA 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）Page 9二、二、niiiFW 12Fi广义载荷广义载荷 i相应广义位移相应广义位移外力功：外力功

6、：由于外力功与加载次序无关，由于外力功与加载次序无关，本定理也适用于非比例加载。本定理也适用于非比例加载。但只适用于线弹性体但只适用于线弹性体克拉比隆定理是否说明可由克拉比隆定理是否说明可由叠加法计算多个力的功？叠加法计算多个力的功？ iinF FF 12,，第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）Page10例：例：试确定图试确定图a均布载荷均布载荷q 对应的广义位移，图对应的广义位移，图b铰链两侧铰链两侧横截面相对转角横截面相对转角 对应的广义力。对应的广义力。 ABC F(b)(a)ABql相应广义位移：面积相应广义位移：面积l M对应广义力：一对力偶对应广义力：一对力偶MM第十二章

7、第十二章 能量法能量法( (一）一）Page11 0dWf EAfl 33llFCABNFNFCFEAlEAFll3232 例：例：已知已知 ，求，求 与与 关系。关系。, ,F l EAF 几何非线性问题与外力功计算几何非线性问题与外力功计算载荷载荷-位移关系位移关系外力功计算外力功计算EAEAFWll 4 333 0d42 构成线性弹性结构的条件构成线性弹性结构的条件 材料符合胡克定律（物理线性）材料符合胡克定律（物理线性） 小变形小变形 可按原始几何关系分析内力与变形（几何线性）可按原始几何关系分析内力与变形（几何线性）第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）Page12作业作业12

8、-3第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）Page13三、三、d dddx zyV2应变能密度应变能密度dVvVE 222d d dx y z2 拉压应变能密度拉压应变能密度vG 222纯剪应变能密度纯剪应变能密度第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）Page142. 2. 基本变形的基本变形的拉压拉压FN(x)dxvE 2222Vv dxdydzdxdydzE NF ( x )(x)=,dydzAA lFxVxEA2N ( )1 d2 ni iiiiF lVE A2N112 对于桁架对于桁架应变能密度应变能密度拉压杆应变能拉压杆应变能第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）P

9、age15 扭转扭转lTxVxGI2 t1( ) d2 T(x)dxd vG 22 应变能密度应变能密度Vv dxdydzdxdydzG 22圆轴扭转应变能圆轴扭转应变能pT( x )(x)=I 2222122 lppT ( x )T (x )Vdxdydz dxGIGI 非圆截面轴扭转应变能非圆截面轴扭转应变能第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）Page16 弯曲弯曲M(x)dxd 应变能密度应变能密度22Vv dxdydzdxdydzE 拉压杆应变能拉压杆应变能zM( x )y(x)=I lzzM ( x )yM (x )Vdxdydz dxEIEI 2222122vE 2222

10、( )d( )d =22yzllyzMxxMxxVEIEI 非对称弯曲沿两主轴分解计算应变能非对称弯曲沿两主轴分解计算应变能yCzl F注：忽略了弯曲剪力的应变能注：忽略了弯曲剪力的应变能第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）Page17T(x)dxd M(x)dxd 利用功能原理计算应变能利用功能原理计算应变能FN(x)dxd 拉压拉压N( )ddd2FxVW NF dxdEA 2NF (x )dxdV2EA T(x )ddVdW2 pTdxdGI 2pT (x )dxdV2GI 扭转扭转M(x )ddVdW2 MdxdEI 2zM (x )dxdV2EI 弯曲弯曲第十二章第十二章 能

11、量法能量法( (一）一）Page183. 3. 组合变形的组合变形的T(x)dxd M(x)dxd FN(x)dxd FN(x)M(x)Fs(x)T(x)dx2NF (x )dxdV2EA 2pT (x )dxdV2GI 2zM (x )dxdV2EI 思考：思考：组合变形的总应变能能否由各基组合变形的总应变能能否由各基本变形的应变能叠加，为什么？本变形的应变能叠加，为什么？答：答：能够。因为各基本变形的应变能不能够。因为各基本变形的应变能不耦合。换句话说，一种基本变形的对应耦合。换句话说，一种基本变形的对应内力在其他基本变形上作的功为零。内力在其他基本变形上作的功为零。第十二章第十二章 能量

12、法能量法( (一）一）Page19FN(x)M(x)Fs(x)T(x)dxN222Np( )d( )d( )d d 222( )d( )d( )d222FxT xM xVFxxTxxMxxEAGIEI 圆截面杆或杆系圆截面杆或杆系222N p( )d( )d( )d 222lllFxxTxxMxxVEAGIEI2222N t( )d( )d( )d( )d 2222yzllllyzMxxMxxFxxTxxVEAGIEIEI 非圆截面杆或杆系（非圆截面杆或杆系（y , z轴主形心轴）轴主形心轴）第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）Page20解解: :（1 1）计算梁的应变能）计算梁的应

13、变能( (x轴从轴从A向左向左) )( )eM xMFx 2222 3ee0( )2622lFM lM lMxF lVdxEIEIEIEI e22 3e,F,M62M lF lVVVEIEI 多个外力引起的应变能不能利用叠加原理进行计算多个外力引起的应变能不能利用叠加原理进行计算例：例：悬臂梁承受集中力与集中力偶作用，计算梁的应变悬臂梁承受集中力与集中力偶作用，计算梁的应变能与外力所做之总功。弯曲刚度为能与外力所做之总功。弯曲刚度为EI。FMAx第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）Page21解解: :(2) (2) 计算外力所作之总功计算外力所作之总功e23e,F,M32AAAM l

14、FlwwwEIEIe2e,F,M2AAAM lFlEIEI222 3eee22622AAMFM lM lFwF lWEIEIEI 结论：梁的应变能等于外力所做总功结论：梁的应变能等于外力所做总功FMA 挠度挠度 转角转角 外力功外力功第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）Page22BlCx2x1M0FAl例例: : 试计算图示水平面内直角刚架的应变能。刚架试计算图示水平面内直角刚架的应变能。刚架截面为圆形，直径为截面为圆形，直径为 d，材料弹性模量和剪切模量分，材料弹性模量和剪切模量分别为别为E和和G。解解：对于图示刚架，弯矩和扭矩对于图示刚架，弯矩和扭矩方程分别为：方程分别为：AB段

15、段：101()M xMFxBC段段：2220(), ()M xFx T xMFl 分析分析：总应变能等于各段、各基本变总应变能等于各段、各基本变形的应变能叠加。形的应变能叠加。为什么？为什么？第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）Page23222 3004222 300432(332)316(2)M lM FlF lE dM lM FlF lG d 222112222000()()()222lllpMxdxMxdxTxdxVEIEIGI 22222 33000022222pppM lM FlM lM FlF lFlEIEIEIGIGIGIBlCx2x1M0FAl第十二章第十二章 能量法

16、能量法( (一）一）Page24仅作用力仅作用力F，刚架应变能为，刚架应变能为2323()4464163FFlFlVEdGd （）（）如果仅作用力偶，刚架应变能为如果仅作用力偶，刚架应变能为0M022()00443216MMlMlVEdGd （）（）222 3222 30000443216(332)(2)3VM lM FlF lM lM FlF lE dG d （1）检验：检验：（1）?VW （2）0()()?MFVVV单独计算各载荷对应的应变能。单独计算各载荷对应的应变能。第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）Page25例例 12-3 试计算弹簧的轴向变形试计算弹簧的轴向变形l l4

17、38GdnFD l l解：解：SFF2FDT 2 p1 d2sTVsGI 影响弹簧变形的影响弹簧变形的主要内力是扭矩主要内力是扭矩2344F D nVGd 23442F D nFGdl l , sn D 弹簧丝长弹簧丝长n圈数圈数第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）Page26作业作业12-1b, 2, 4第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）Page27ij 同一弹性体的两种受力状态同一弹性体的两种受力状态引起位移的载荷引起位移的载荷发生位移的点发生位移的点A AD DF F2 22 2 12 221 1A AD DF F1 12 2 11 211 1第十二章第十二章 能量法能

18、量法( (一）一）Page28221112FF先加先加 F1，后加，后加 F2：先加先加 F2，后加，后加 F1：11112221121122WFFF 22221112211122WFFF 线弹性体的两种加载次序与功线弹性体的两种加载次序与功总功与加载次序无关总功与加载次序无关 W1=W2A AD DF2 22 2 22 21F1 1 111 1A AD DF F2 22 2 22 11F1 1 121 1两表达式的交叉项相等两表达式的交叉项相等 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）Page29221112FFA AD DF2 22 2 22 21F1 1 111 1A AD DF F

19、2 22 2 22 11F1 1 121 1对于线性弹性体，对于线性弹性体，F1在在F2引起的位移引起的位移 12上所作的功，上所作的功，等于等于F2 在在F1引起的位移引起的位移 21上所作的功上所作的功功的互等定理（简单情形）功的互等定理（简单情形）第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）Page30功的互等定理（简单情形）功的互等定理（简单情形）221112FF功的互等定理（一般情形）功的互等定理（一般情形）对于线性弹性体，第一组外力对于线性弹性体，第一组外力 F1 (i) (i=1,2,m)在第二组外力引起的位在第二组外力引起的位移移 12(i) 上所作的功，等于第二组上所作的功，

20、等于第二组外力外力 F2(j)(j=1,2,n)在第一组外力在第一组外力引起的位移引起的位移 21(j)上所作的功。上所作的功。A AD DF2M2q2A AD DF1M1q1( )( )( )( )112112mniijjijFF其中力和位移均指广义其中力和位移均指广义力和广义位移。力和广义位移。第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）Page31若若F1=F22112 位移互等定理位移互等定理221112FFA AD DF F2 22 2 12 221 1A AD DF F1 12 2 11 211 1当当F1与与F2的数值相等时，的数值相等时， F2在点在点1沿沿F1方位引起的位方位

21、引起的位移移 12，等于，等于F1在点在点2沿沿F2方位引起的位移方位引起的位移 21第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）Page32例：例： 测量线弹性梁（图测量线弹性梁（图a, 等等截面或任意形状变截面）截面或任意形状变截面）A、B两点挠度，但仅端点两点挠度，但仅端点C适合装千适合装千分表。分表。FABC a解：解： 设图设图a在在A点的挠度为点的挠度为CA FABC b如图如图b加载和装千分表，加载和装千分表，测得测得C点的挠度为点的挠度为AC 则根据位移互等定理则根据位移互等定理ACCA 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）Page33由功的互等定理由功的互等定理 *0

22、AAABFFF BAAFF 例：例： 如图如图a支座支座A因装配应力破因装配应力破坏，坏，A、B点分别下降点分别下降 和和 , 在新的无初应力位置修复（图在新的无初应力位置修复（图b），求），求B点作用点作用F 时支座时支座A的约的约束反力。束反力。 A B 解：解： 在破坏前和破坏又修复在破坏前和破坏又修复后，结构受力状态如图后，结构受力状态如图a,b。 FABAF(b)ABA B *AF(a)第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）Page342FbFl FlbEA 例：例：（P63，题，题125）等直杆宽）等直杆宽b，拉压刚度，拉压刚度EA，泊松比，泊松比 求求, l 解解: 设第二

23、种受力状态为设第二种受力状态为 轴向拉力轴向拉力F2FbbbbbEEA 对于任意截面形状的等直杆，解答是否成立对于任意截面形状的等直杆，解答是否成立? ?l Fb(1)F(2)第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）Page35 qxyqEE 11qdqdE 1 dFAEh 1解：解： 考虑薄板受均布载荷考虑薄板受均布载荷q由功的互等定理由功的互等定理sqFdq hdsq Ah 0FFABd 例：例： 已知已知E， ，h ，求均质薄板面积改变量求均质薄板面积改变量 Aq第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）Page36FF思考题思考题1 板内开任意一孔，板内开任意一孔， 是否变化？是

24、否变化？A FF思考题思考题2 内孔受一对图示方内孔受一对图示方向的力，向的力， 是正还是负？是正还是负？A 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）Page37 一、一、0FcWdf c WWFccWV 0dWf 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）Page380cVVddV 0cvd 0VVddV 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）Page39二、克罗第二、克罗第恩格塞定理与卡氏第二定理恩格塞定理与卡氏第二定理问题：问题：弹性体受广义力弹性体受广义力Fk（k=1,n)的作用，求相应位的作用，求相应位移移 k。A AB B 1Fn 2F1 1F2 2Fk k n Fk

25、k解：解：使使Fk增加微量增加微量 Fk，余功增量，余功增量ckkWF 又又1(,.,.,)ccknVV FFF cckVVF ccWV ckkVF 克罗第恩格塞定理克罗第恩格塞定理:弹性体的余能对载荷弹性体的余能对载荷 Fk 的偏导数，等于该载荷的偏导数，等于该载荷的相应位移的相应位移 k第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）Page40cVV 对于线性弹性体，应变能数对于线性弹性体，应变能数值上等于余能值上等于余能ckkVF 克罗第恩格塞定理克罗第恩格塞定理: : kkVF 卡氏定理：卡氏定理：线性弹性体的应变能，对线性弹性体的应变能，对载荷载荷 Fk 的偏导数，等于该的偏导数，等于

26、该载荷的相应位移载荷的相应位移 k注意：注意：对于线弹性体，应对于线弹性体，应变能数值上等于余能，但变能数值上等于余能，但应变能与余能是两个完全应变能与余能是两个完全不同的物理量。不同的物理量。第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）Page412N ( )d 2lFxxVEA 对于拉压杆对于拉压杆222N p( )d( )d( )d 222lllFxxTxxMxxVEAGIEINk ( )( ) NlkFxFxdxEAF 圆截面杆组合变形：圆截面杆组合变形：Nk ( )( )T( )( )M( )( ) NlllkpkkFxFxxT xxM xdxdxdxEAFGIFEIF 非圆截面杆组

27、合变形：非圆截面杆组合变形：yNzk M ( )( )( )( )( )M ( )T( )( ) yzNllllktkykzkxM xM xF xF xxxT xdxdxdxdxEAFGIFEIFEIF 思考：思考：为什么对于组合变形可以采用叠加法？为什么对于组合变形可以采用叠加法？ ) (kkVF 由卡氏定理由卡氏定理计算各基本和组合变形的位移计算各基本和组合变形的位移第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）Page42 讨论两个定理的适用范围：讨论两个定理的适用范围：克罗第克罗第恩格塞定理：恩格塞定理：kckFV 卡氏第二定理：卡氏第二定理：kkFV 一般弹性体一般弹性体线弹性体线弹性

28、体 对于非线性材料对于非线性材料( (应力应力应变关系非线性应变关系非线性) )， 需用需用克罗第克罗第- -恩格塞定理。恩格塞定理。第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）Page43 ,MxMxFxxF 0313lAwFxx dxEIFlEI 解：解：20()2lMxVdxEI 例：例： 用卡氏定理求用卡氏定理求A A点挠度点挠度 转角转角 梁轴线变形梁轴线变形 前后所扫过的面积前后所扫过的面积 。 ,Aw,A 0lAMxMxVwdxFEIF （1 1）计算）计算A A点的挠度点的挠度 wA梁内弯矩梁内弯矩由卡氏定理，由卡氏定理，A A点挠度点挠度FAlx第十二章第十二章 能量法能量法

29、( (一）一）Page44 02000112lAMFlFxMdxEIEI 解：解：例：例： 用卡氏定理求用卡氏定理求A A端挠度端挠度 转角转角 梁轴线变形梁轴线变形 前后所扫过的面积前后所扫过的面积 。 ,Aw 0lAMxMxVwdxFEIF （2 2）计算）计算A A点的转角点的转角 A， 00,1MxMxFxMM 梁内弯矩梁内弯矩由卡氏定理，由卡氏定理，A A端转角端转角思考：所求广义位移没有思考：所求广义位移没有对应广义力怎么办？对应广义力怎么办？采用附加载荷法，在采用附加载荷法，在A点加一附加力偶点加一附加力偶M0FAlxM0负号表示什负号表示什么意义？么意义？,A 第十二章第十二章

30、 能量法能量法( (一）一）Page45解：解： lqqMxMxVdxqEIq 0000000计算梁轴线变形前后所扫过计算梁轴线变形前后所扫过的面积的面积 ， MxMxFxq xxq220011,22 梁内弯矩梁内弯矩思考：思考： 所对应的广义力？所对应的广义力？采用附加载荷法，在全梁加一附加均布载荷采用附加载荷法，在全梁加一附加均布载荷q0FAlxq0lqFxq xxdxEI02200011122 轴线扫过面积轴线扫过面积 lFlFxxdxEIEI4201128 课后题：试由课后题：试由0( )lw x dx 对照对照第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）Page46例：例：用卡氏定理

31、求用卡氏定理求A A点挠度，点挠度， EI为弯曲刚度。为弯曲刚度。解：解：设设FA=2F, FB=F(a)F2AllFBCAAVFVorotherF,(2) 思考：思考：xAFAllBCBF(b)AMxF xxl1( ),0 ABAB段：段： ABMxF xFxllxl2( )(),2 BCBC段：段： llAlAAMxMxMxMxFldxdxEIFEIFEI3211220( )( )( )( )37( )6第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）Page47等于等于A点挠度的两倍与点挠度的两倍与B点挠度之和。点挠度之和。讨论：讨论： 的几何意义的几何意义? ?VF ABABABVVVFF

32、FFFFFVVFF2 (a)F2AllFBCF2AA A BB F(b)对于刚架（对于刚架（b)b)ABVF2 注意注意 A A和和 B B指沿力线的距离。指沿力线的距离。第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）Page48MeMe例：例：计算图示圆拱小曲率杆铰链计算图示圆拱小曲率杆铰链A A两侧的相对转角两侧的相对转角FRABC(a)分析：分析： 先确定广义位移先确定广义位移 所所对应的广义力（附加力法）对应的广义力（附加力法）: : 作用于铰链两侧一对力偶作用于铰链两侧一对力偶Me常见错误：常见错误：不会计算约束反力，不会计算约束反力，甚至错误当作静不定结构。甚至错误当作静不定结构。取

33、整体为研究对象，由对取整体为研究对象，由对称性或由对称性或由对B B、C C的力矩平的力矩平衡，确定衡，确定C C、B B铅垂反力为铅垂反力为F/2F/2，然后由，然后由ACAC段平衡确段平衡确定全部约束反力。定全部约束反力。MeC F12eMFR12F12(b)eMFR12A第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）Page49解：解： ACAC段弯矩段弯矩eeMMFRF RRMF R11()()sin(1co s)221sin(sinco s1)2 02 MeMeFRABC(a)MeC F12eMFR12F12(b)eMFR12AeMMFR01()(sincos1)2 eMM()sin

34、第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）Page50由卡氏定理：由卡氏定理：eMeMMRdEIMFRdEIFREI2002202()()2(sincos1)sin(2)4 MeMeFRABC(a)MeC F12eMFR12F12(b)eMFR12A第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）Page51由由A A、B B 两节点平衡两节点平衡NNNFFFF F123,2,0 NNNFFFFFF3121,2,0 NNNAxNNNFFFFlFlFlEAFFF3121122331 FlEA12 2 例：例： 各杆各杆EAEA，求，求A A点水平位移及点水平位移及ABAB转角。转角。解：解： （1

35、 1）计算）计算A A点水平位移点水平位移FAl12B3ClByFCyFCxFByCyCxFFF FF, 由整体平衡由整体平衡第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）Page52问题问题 若由卡氏定理计算若由卡氏定理计算 ，附加载荷怎么施加？，附加载荷怎么施加？AB （2 2）计算）计算ABAB转角转角由几何关系由几何关系NBxF300 ABAxFlEA122 FAl12B3ClMe/lMe/l如图，作用于如图，作用于1 1杆的杆的Me向节点向节点A、B分解分解第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）Page53 eNNABNNeeMFFFFlFlEAMMEA12112201221 N

36、eNeNeFFMlFFMlFMl123,2(), NNNeeeFFFlllMMM312211, 在在A A、B B 两点加附加力两点加附加力eMlFAl12B3ClMe/lMe/l（3 3）计算）计算ABAB转角转角由卡氏定理由卡氏定理第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）Page54例：例：材料的应力材料的应力应变关系应变关系 c 。压缩时，方程中的。压缩时，方程中的 和和 均取绝对值。求均取绝对值。求A端的挠度端的挠度。FlA Axz zyhb分析：分析：非线性弹性问题，需非线性弹性问题，需用克罗第用克罗第恩格塞定理，其恩格塞定理，其中关键是余能的计算中关键是余能的计算解：解：1.应

37、力分析应力分析ycc hAcMyAyb y/23/2 0 d2d y 根据平面假设根据平面假设cbhM5/25 2 Fx Fxcbh5/215 2 Fxybh5/25 2 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）Page55FlA Axz zyhbFxybh5/25 2 vc2c200dd F yxvc b h33/23c2315/2250 23 lhF lVvy xc b h3 4/2cc22500252d d6 AVF lwFc b h2 4c225252 （ ）2. 余能计算余能计算 c 余能密度余能密度梁的总余能梁的总余能3. 由克罗第由克罗第恩格塞定理恩格塞定理计算挠度计算挠度第

38、十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）Page56作业作业12-6, 8, 9,12第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）Page57一、一、 回顾刚体虚功原理回顾刚体虚功原理处于平衡状态的任意刚体，作用于其上的力系在处于平衡状态的任意刚体，作用于其上的力系在任意虚位移或可能位移上所作之总虚功等于零。任意虚位移或可能位移上所作之总虚功等于零。第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）Page581. 几个概念几个概念Plq( (x) )TF Fq( (x) )FS SFN NMT二、二、 变形体的虚功原理变形体的虚功原理（1）可能内力）可能内力：与外力保与外力保持平衡的内力称为静力

39、可能持平衡的内力称为静力可能内力或简称为可能内力。内力或简称为可能内力。 杆的可能内力用杆的可能内力用FN ,T, FS与与M表示。表示。第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）Page59满足变形连续条件与位移满足变形连续条件与位移边界条件的任意微小位移，边界条件的任意微小位移，称为几何可能位移或虚位移，称为几何可能位移或虚位移，相应之变形称为可能变形或相应之变形称为可能变形或虚变形。虚变形。（2). 虚位移与虚变形虚位移与虚变形杆微段的虚变形用杆微段的虚变形用d *,df f * *与与d * *表示。表示。第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）Page60（3） 内虚功与外虚功

40、内虚功与外虚功 内虚功内虚功作用在所有微段上的可能内作用在所有微段上的可能内力在虚变形上作之总虚功力在虚变形上作之总虚功iN (d *d *d*)lWFTM f f iN (d *d *d*d*)yyzzlWFTMMff 外虚功外力在可能位移上所作之总虚功外虚功外力在可能位移上所作之总虚功第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）Page612. 变形体虚功原理变形体虚功原理外力在虚位移上所作外虚功外力在虚位移上所作外虚功 We，等于可能内力，等于可能内力在虚变形上所作内虚功在虚变形上所作内虚功 Wi，即，即 We Wi第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）Page62 变形体虚功原理

41、适用于线性弹性体，非线变形体虚功原理适用于线性弹性体，非线性弹性体与非弹性体。性弹性体与非弹性体。3. 应用变形体虚功原理的应用条件与应用范围：应用变形体虚功原理的应用条件与应用范围： 所研究的力系（外力与内力）必须满足平所研究的力系（外力与内力）必须满足平衡条件与静力边界条件。衡条件与静力边界条件。 所选择的位移应是微小的，且满足变形连所选择的位移应是微小的，且满足变形连续条件与位移边界条件。续条件与位移边界条件。第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）Page634. 验证虚功原理验证虚功原理q(x)lA Axdx外力虚功：外力虚功：*()elWqwx dx 内力虚功：内力虚功：*il

42、WMd 虚位移虚位移*( )wx以图示梁为例验证：以图示梁为例验证：We=Wi可能内力满足：可能内力满足： dd ddSSFxM,qxF 0)( lM（平衡条件）（平衡条件）（静力边界条件）（静力边界条件） dd*x*w 0)0( 0)()0( *,l*w*w 虚位移满足：虚位移满足：（变形连续条件）变形连续条件）（位移边界条件）（位移边界条件）第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）Page64q(x)lA Axdx虚位移虚位移*( )wx虚位移虚位移*( )wx可能内力满足：可能内力满足： dd ddSSFxM,qxF 0)( lM dd*x*w 0)0( 0)()0( *,l*w*w

43、 虚位移满足：虚位移满足： d *ilMW d0 *ddlMxx 0 * d *llMM 外虚功：外虚功： SS 0 d* ddllwF wFxx *()elWqwx dx Se d *ddlFWwxx 由分部积分由分部积分第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）Page65单位载荷法：单位载荷法：建立在虚功原理基础上建立在虚功原理基础上的计算位移的一般方法。的计算位移的一般方法。该方法的要点：该方法的要点：1. 由实际载荷引起的实际位移由实际载荷引起的实际位移当作虚当作虚位移位移，实际变形，实际变形当作虚变形当作虚变形右上图，虚线表示的实际位移曲线右上图，虚线表示的实际位移曲线当作虚位移

44、曲线；微段的轴向变形当作虚位移曲线；微段的轴向变形d d ，扭转角，扭转角d df f, , 相对转角相对转角d d y y,d,d z z (y,z(y,z为截面主形心轴为截面主形心轴) )当作虚变形。当作虚变形。2. 虚拟单位载荷（右下图红箭头）虚拟单位载荷（右下图红箭头）作作为实际外载，为实际外载，所引起的内力所引起的内力作为可能作为可能内力：内力：( ), ( ),( ),( )NyzFx T xMxMx第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）Page663. 单位载荷法的基本公式单位载荷法的基本公式 f f lzzyyxMxMxTxF N)d()d()d()d( N 1 ( )d

45、( )d( )d( )dyzyzlFxT xMxMxff 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）Page67 f f lzzyyxMxMxTxF N)d()d()d()d( 线位移，加单位力线位移，加单位力角位移，加单位力偶角位移，加单位力偶相对线位移，加一对相等相反单位力相对线位移，加一对相等相反单位力相对角位移，加一对相等相反单位力偶相对角位移，加一对相等相反单位力偶 关于位移与单位载荷关于位移与单位载荷 关于位移方向关于位移方向当所得位移为正，则位移与所加单位载荷同向当所得位移为正，则位移与所加单位载荷同向 广义位移，求解时广义位移，求解时施加相应单位广义载荷施加相应单位广义载荷第

46、十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）Page684. 单位载荷法的适用范围：单位载荷法的适用范围：不仅适用于线弹性杆或杆系，不仅适用于线弹性杆或杆系，也适用于非线性弹性与非弹性杆或杆系也适用于非线性弹性与非弹性杆或杆系 f f lzzyyxMxMxTxF N)d()d()d()d( ( )( )NtFx dxT x dxddEAGI( )yzyzyzMx dxM dxddEIEI( )( )( )( )( )( )( )( )NNlltyyzzllyzFxFxT x T xdxdxEAGIMxMxMxMxdxdxEIEI 5. 对于线弹性杆或杆系的公式对于线弹性杆或杆系的公式第十二章第十

47、二章 能量法能量法( (一）一）Page692.分段建立弯矩方程。分段建立弯矩方程。注意：注意：实际载荷状态与单位载荷状实际载荷状态与单位载荷状态必须分开画两个图，且两图态必须分开画两个图，且两图分段与坐标应相同。分段与坐标应相同。圆弧段用极坐标方便。圆弧段用极坐标方便。例例: 弯曲刚度弯曲刚度EI，求，求A点铅垂位移点铅垂位移 FABCR xao分析步骤：分析步骤：1.根据待求广义位移配根据待求广义位移配置单位载荷状态。置单位载荷状态。1ABCR xao第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）Page70解：解： 对于对于AB段：段：()M xFx ( )M xx 对于对于BC段：段：(

48、 )(sin)MF aR ( )sinMaR 200( )( )( )( )aAM x M x dxMMRdEIEI 22001(sin)aFx xdxF aRRdEI 3232(2)324FaRaRaREI FABCR xao1ABCR xao第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）Page71根据对称性根据对称性1110222202()()2()()aCaM xM xdxEIM xM xdxEI 411( )384qaEI 例例: 弯曲刚度弯曲刚度EI，求，求C点挠度点挠度 和和A点转角点转角C A ADBCqa2a2a解：解：（1）求）求 ，配置单位载荷状态，配置单位载荷状态C AD

49、BC11x2x8qa2qa141211()8M xqax 11()4M xx AB段：段：21()2M xx 221()2M xqx BC段：段：第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）Page7211()8M xqax 1()1xM xa 2()0M x 221()2M xqx 根据对称性根据对称性/111011()()2aAA DM xM xdxEI 011(1)8axqxdxEIa 348qaEI ADBCqa2a2a8qa2qaADBC1x2x1a11解：解： （2）求）求 ，配置单位载荷状态配置单位载荷状态注意一对单位力偶分别作用在刚架的注意一对单位力偶分别作用在刚架的A、D端，

50、这样求出的是端，这样求出的是A、D的相对转角的相对转角A /A D 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）Page7323231()NNABNNFFlFFlEA 3FEA 解：解：450,2NNFFF 123,2,NNNFF FF FF 例例: 各杆各杆EA，求，求AB杆转角杆转角 ，A、D点相对位移点相对位移AB AD AB1234CDll52FF（1）求）求,AB 配置单位载荷系统配置单位载荷系统123110,NNNFFFll 450NNFF AB1234CDll51l1l第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）Page74AD 解解（2）求求A、D的相对位移的相对位移12311

51、1,222NNNFFF 451,12NNFF 121235351(2 )NNADNNNNNNFFlFFlEAFFlFFl 2()FlEA 123,2,NNNFF FF FF 450,2NNFFF AB1234CDll52FF配置单位载荷系统配置单位载荷系统AB1234CDll511第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）Page75分析步骤：分析步骤：（1）建立弯矩、扭矩方程）建立弯矩、扭矩方程（2）校核强度（如何确定危险截面）校核强度（如何确定危险截面）（3）求相对位移）求相对位移例例: P=2F,F=80N, =240MPa,E=200GPa,G=80GPa R=35mm,d=7mm,

52、 忽略开口宽度忽略开口宽度（1）按第三强度理论校核强度）按第三强度理论校核强度（2）求开口沿）求开口沿F 方向相对位移方向相对位移 oPFRdPF第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）Page76()sinMPR ()sinMFR ()(1cos)TFR （2）校核强度）校核强度a. 合弯矩方程合弯矩方程()5sinTMFR b. 222,34sin2cos2TeqMTFRWW 解：解：（1）建立弯矩方程与扭矩方程）建立弯矩方程与扭矩方程 FP oPRF TM M 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）Page77c. 求求 极值极值3r 2115cos,(sin)416 3,ma

53、x5207.862rFRMPaW 240MPa 安全！安全！0rdd 2(4sin2cos2)0dd 即即（2）校核强度）校核强度234sin2cos2rFRW oPFRPF TM M 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）Page78（3）求沿）求沿F 相对位移相对位移()sinMPR ()sinMFR ()(1cos)TFR 沿沿F 方向加一对单位力方向加一对单位力()0M ()sinMR ()(1cos)TR 002()()() ()A AMMRdTTRd 313()2.1762FRmmIEG oPFRPF TM M 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）Page79解：解：

54、 原结构各杆长度变化原结构各杆长度变化1,l 250ll 113( )4NBfFl 例例: 杆杆1制造误差长制造误差长 ，求，求 与与 BfCD （1）求）求 Bf134NF A3060121NF2NF1ABDC1234560l603030在在B 加向下单位力加向下单位力第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）Page80解：解： 1,l 132NFl 1132NCDFll 对比：对比： 用几何法求用几何法求 和和BfCD ,CD （2）求）求 加单位力偶加单位力偶1250ll ABDC1234560l6030301l1l1l1l第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）Page81解：

55、解： 几何法求解，几何法求解， DBC速度瞬心为速度瞬心为K 例例: 杆杆1制造误差长制造误差长 ，求，求 与与 BfCD ABDC1234560l603030K DBf DBDDBBKDKB DDDD DKDAAKKD BBAKKB 又又2AKKB 3324BfBB 2BB 32CDBBBKl 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）Page82求解思路讨论求解思路讨论：A 点在与点在与F 垂直方向位移垂直方向位移0A 例例: A点位移与点位移与F 方向相同，求角方向相同，求角 解：解：配置单位载荷系统配置单位载荷系统F ABoR 1 RBoA( )cos(1cos)sinsinMFRF

56、R ( )sin(1cos)cossinMRR 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）Page83201( )( )0AMMRdEI 1tan 24 1212249.36 ,2130.6424.68 ,65.32 F ABoR 1 RBoA( )cos(1cos)sinsinMFRFR ( )sin(1cos)cossinMRR 第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）Page8421()()24lMxql x 21()()()242llMxl xxl 52121202123()()()()1920lllqlMx Mx dxMx Mx dxEIEI 例例: 已知已知EI，求，求AB段

57、变形所扫过的面积。段变形所扫过的面积。q2lBCA2l解：解： 配置单位载荷系统配置单位载荷系统211()2Mxqx 211()(0)22lMxxx xx12lBCA2l第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）Page85由平面假设由平面假设y ccy 1322()AAM xydAcy dA 令令35 2*220252hbhIy bdy 2*21()()MxcI 例例: 求求,0;,0,cc A 分析：分析： 由单位载荷法，由单位载荷法， 关键求关键求()AlM x d ddx d dx qlAlA1第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）Page86225*2225000()5()()2lllAdxMxq lM x ddxcIc b h 21()2()1M xqxM x qlAlA5 2*52bhI 2*21()()MxcI 1xx建立原结构和单位载荷系统建立原结构和单位载荷系统的弯矩方程的弯矩方程第十二章第十二章 能量法能量法( (一）一）Page87作业作业12-1512-1612-2112-25