专题16,三角恒等变换、三角函数应用（知识精讲）（解析版）

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1、本文格式为Word版，下载可任意编辑专题16,三角恒等变换、三角函数应用（知识精讲）（解析版） 专题十六 三角恒等变换、三角函数的应用 学问精讲 一 一 学问结构图 内 容 考点 关注点 三角恒等变换、 三角函数的应用 利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式求值、化简 角的范围 三角函数图象变换 左右平移 由图象求函数的解析式 五个关键点 三角恒等变换与三角函数图象性质的综合问题 公式运用及三角函数的图象与性质 二 二. 学法指导 1解含非特别角的三角函数式的求值问题的一般思路是： (1)把非特别角转化为特别角的和或差，正用公式直接求值 (2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式

2、的结构形式，然后逆用公式求值 2. 给值求值问题的解题策略 (1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要留意观看已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角. (2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中可以依据需要敏捷地进行拆角或凑角.常见角的变换有： ()； 2 2； 2()()； 2()(). 3已知三角函数值求角的解题步骤 (1)界定角的范围，依据条件确定所求角的范围. (2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数. (3)结合三角函数值及角的范围求角. 4.帮助角公式及其运用 (1)公式形式：公式 asin bcos a 2 b 2 si

3、n()(或 asin bcos a 2 b 2 cos()将形如 asin bcos (a，b 不同时为零)的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式. (2)形式选择：化为正弦还是余弦，要看详细条件而定，一般要求变形后角 的系数为正，这样更有利于讨论函数的性质. 5.公式 T () 的结构特征和符号规律： (1)结构特征：公式 T () 的右侧为分式形式，其中分子为 tan 与 tan 的和或差，分母为 1 与 tan tan 的差或和 (2)符号规律：分子同，分母反 6利用公式 T ( ) 求角的步骤： (1)计算待求角的正切值 (2)缩小待求角的范围，特殊留意隐含的信息 (3)依据角的范

4、围及三角函数值确定角 7.公式 T () 的逆用 一方面要熟记公式的结构，另一方面要留意常值代换. 如tan 4 1，tan6 33，tan 3 3等. 要特殊留意tan 4 1tan 1tan ，tan 4 1tan 1tan . 8.证明三角恒等式的原则与步骤 (1)观看恒等式两端的结构形式，处理原则是从简单到简洁，高次降低，复角化单角，假如两端都比较简单，就将两端都化简，即采纳两头凑的思想. (2)证明恒等式的一般步骤： 先观看，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异； 本着复角化单角异名化同名变换式子结构变量集中等原则，设法消退差异，达到证明的目的. 9.化简问题中的三变 (1)变角：

5、三角变换时通常先查找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消退角之间的差异，合理选择联系它们的公式 (2)变名：观看三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切 (3)变式：观看式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等 10.三角恒等变换与三角函数图象性质的综合问题的解题策略：运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成 yasin xbcos xk 的形式，借助帮助角公式化为 yAsin(x)k(或 yAcos(x)k)的形式，将 x 看作一个整体讨论函数的性质. 11.应用三角函数解实际问题的方法及留意事项 (1)方法：解答此类问题，关键是合理

6、引入帮助角，确定各量之间的关系，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关学问求解. (2)留意：在求解过程中，要留意三点：充分借助平面几何性质，查找数量关系.留意实际问题中变量的范围.重视三角函数有界性的影响. 12.由 ysin x 的图象，通过变换可得到函数 yAsin(x)(A0，0)的图象，其变化途径有两条： (1)ysin x相位变换ysin(x)周期变换ysin(x) 振幅变换yAsin(x) (2)ysin x周期变换ysin x相位变换ysin x sin(x)振幅变换yAsin(x) 13.确定函数 yAsin(x)的解析式的关键是 的确定，常用方法有： (1)代入

7、法：把图象上的一个已知点代入 此时 A， 已知)或代入图象与 x 轴的交点求解 此时要留意交点在上升区间上还是在下降区间上 . (2)五点法：确定 值时，往往以查找五点法中的第一个零点 ，0 作为突破口.五点的 x 的值详细如下：,第一点 即图象上升时与 x 轴的交点 为 x0；,其次点 即图象的峰点 为 x 2 ；,第三点即图象下降时与 x 轴的交点 为 x；,第四点 即图象的谷点 为 x 32；,第五点为 x2. 14.正弦余弦型函数奇偶性的推断方法 正弦型函数 yAsin(x)和余弦型函数 yAcos(x)不肯定具备奇偶性对于函数 yAsin(x)，当 k(kZ)时为奇函数，当 k 2

8、(kZ)时为偶函数；对于函数 yAcos(x)，当 k(kZ)时为偶函数，当 k 2 (kZ)时为奇函数 15与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧 (1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间 (2)确定函数 yAsin(x)(A0，0)单调区间的方法：采纳换元法整体代换，将 x 看作一个整体，可令zx，即通过求 yAsin z 的单调区间而求出函数的单调区间若 0，则可利用诱导公式先将 x 的系数转变为正数，再求单调区间 16.解三角函数应用问题的基本步骤 三 三. 学问点贯穿 学问点 1 给角求值问题 公式：cos()cos_cos_sin_sin_ cos()cos_cos_s

9、in_sin_ sin()sin_cos_cos_sin_ sin()sin_cos_cos_sin_ sin 22sin_cos_ cos 2cos 2 sin 2 tan 22tan 1tan 2 例 1.(1)cos 1312的值为( ) A.6 24 B.6 24 C.2 64 D6 24 (2)求值：cos 75cos 15sin 75sin 195； (1)【答案】D 【解析】cos 1312cos 12cos12 cos 4 6cos 4 cos6 sin4 sin6 22322212 6 24. (2)【解析】cos 75cos 15sin 75sin 195cos 75cos

10、 15sin 75sin(18015) cos 75cos 15sin 75sin 15cos(7515)cos 60 12 . (3)cos 70sin 50cos 200sin 40的值为( ) A32 B 12 C.12 D.32 (4)若 是其次象限角且 sin 513 ，则 cos(60)_. (5)求值：(tan 10 3) cos 10sin 50. (3)【答案】D 【解析】(1)cos 200cos(18020)cos 20sin 70，sin 40cos 50， 原式cos 70sin 50(sin 70)cos 50sin(5070)sin 12032. （4）【答案】

11、125 326 【解析】 是其次象限角且 sin 513 ，cos 1sin 2 1213 ， cos(60) 12 cos 32sin 12 121332 513 125 326. (5)【解析】 原式(tan 10tan 60) cos 10sin 50 sin 10cos 10 sin 60cos 60cos 10sin 50 sin(50)cos 10cos 60cos 10sin 502. （ （6 ）cos 7 cos37cos 57的值为( ) A. 14 B14 C.18 D18 (7)求下列各式的值： cos 4 15sin 4 15； 1tan2 75tan 75 （6）【

12、答案】D 【解析】cos 37cos 47，cos 57cos 27， cos 7 cos37cos 57cos 7 cos27cos 478sin 7 cos7 cos27cos 478sin 7 4sin 27cos 27cos 478sin 72sin 47cos 478sin 7sin 878sin 7 18 . (7)【解析】cos 4 15sin 4 15(cos 2 15sin 2 15)(cos 2 15sin 2 15)cos 2 15sin 2 15cos 3032. 1tan2 75tan 7521tan 2 752tan 75 21tan 1502 3. 学问点二 给值

13、求值、求角问题 公式：cos()cos_cos_sin_sin_ cos()cos_cos_sin_sin_ sin()sin_cos_cos_sin_ sin()sin_cos_cos_sin_ 题 例题 2 ：(1)已知 sin sin 132，cos cos 12 ，则 cos()( ) A32 B 12 C.12 D.32 (2)已知 sin 3 1213 ， 6 ，23，求 cos 的值 (1)【答案】D 【解析】由于 sin sin 132， 所以 sin 2 2sin sin sin 2 1322 ， 由于 cos cos 12 ，所以 cos2 2cos cos cos 2 1

14、22 ， ，两式相加得 12cos()11 3 34 14 所以2cos() 3 所以 cos()32. (2)【解析】 6 ，23， 3 2 ， ， cos 3 1sin 2 3 1 12132 513 . 3 3 ， cos cos 3 3cos 3 cos3 sin 3 sin3 513 12 1213 32 12 3526. （3）已知 cos 55，sin()1010，且 ， 0， 2.求：cos(2)的值； 的值 (3)【解析】 由于 ， 0， 2， 所以 2 ，2，又 sin()10100， 所以 0 2 ， 所以 sin 1cos 2 2 55， cos() 1sin 2 ()

15、 3 1010， cos(2)cos()cos cos()sin sin() 553 1010 2 551010210 . cos cos()cos cos()sin sin() 553 1010 2 55101022， 又由于 0， 2，所以 4 . （4）已知锐角 ， 满意 cos 2 55，sin() 35 ，求 sin 的值 【解析】 由于 ， 是锐角，即 0 2 ，02 ，所以2 2 ， 由于 sin() 35 0，所以 cos()45 ， 由于 cos 2 55，所以 sin 55， 所以 sin sin()sin cos()cos sin()5545 2 5535 2 55. （

16、 （5 ）已知 cos 4 35 ，2 32，求 cos 2 4的值； (5)【解析】 2 32， 34 4 74. cos 40， 32 4 74， sin 4 1cos 2 4 1 352 45 ， cos 2sin 2 22sin 4cos 42 4535 2425 ， sin 2cos 2 212cos 2 412352 725 ， cos 2 422cos 222sin 222 242522 725 31 250. 学问点三 帮助角公式的应用 帮助角公式：asin xbcos x a 2 b 2 sin(x)，其中 tan ba 题 例题 3 .(1)sin12 3cos12 _.

17、(2)已知 f(x) 3sin xcos x，求函数 f(x)的周期，值域，单调递增区间 (1)【答案】 2 【解析】原式2 12 sin12 32cos12. 法一：(化正弦)原式2 cos 3 sin12 sin3 cos12 2 sin12 cos3 cos12 sin32sin 12 32sin 4 2. 法二：(化余弦)原式2 sin 6 sin12 cos6 cos12 2 cos 6 cos12 sin6 sin122cos 6 122cos 4 2. (2)【解析】 f(x) 3sin xcos x2 sin x32cos x122 sin xcos 6 cos xsin6 2

18、sin x 6， T 2 2，值域2,2 由 2 2kx6 2 2k，得递增区间 3 2k，232k ，kZ. 学问点四 两角和与差的正切公式的运用 两角和与差的正切公式 tan()tan tan 1tan tan tan()tan tan 1tan tan 题 例题 4 (1)已知 ， 均为锐角，tan 12 ，tan 13 ，则 _. (1)【答案】 4 【解析】tan 12 ，tan 13 ， tan()tan tan 1tan tan 12 131 12 131. ， 均为锐角，(0，)， 4 . (2) 1tan 151tan 15_. (3) 1 3tan 753tan 75_.

19、(2)【答案】 3 【解析】原式tan 45tan 151tan 45tan 15tan(4515)tan 60 3. （3）【答案】1 【解析】原式33tan 75133tan 75tan 30tan 751tan 30tan 75 tan(3075)tan 451. 学问点五 恒等变换与三角函数图象性质的综合 例 5.已知函数 f(x) 3cos 2x 32sin xcos x. (1)求 f(x)的最小正周期 (2)求证：当 x 4 ，4时，f(x) 12 . 【解析】(1)f(x) 3cos 2x 32sin xcos x32cos 2x 32 sin 2xsin 2x12 sin 2

20、x32cos 2xsin 2x 3，所以 T 22. (2)证明：令 t2x 3 ，由于4 x4 ， 所以 6 2x3 56， 由于 ysin t 在 6 ，2上单调递增，在 2 ，56上单调递减， 所以 f(x)sin 6 12 ，得证 学问点六 三角函数图象之间的变换 1. 对 ysin(x)，xR 的图象的影响 2(0)对 ysin(x)的图象的影响 3A(A0)对 yAsin(x)的图象的影响 例 6.(1)将函数 y 2cos 2x 3的图象向左平移 3 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，则所得图象的解析式为_ (2)将 ysin x 的图象怎样变换可得到函数 y2sin（2x

21、 4 ）1 的图象？ (1)【答案】y 2cos 2x3 【解析】y 2cos 2x 3的图象向左平移 3 个单位长度， 得 y 2cos 2 x 3 3 2cos(2x) 2cos 2x， 再向下平移 3 个单位长度得 y 2cos 2x3 的图象 (2)【解析】 法一：(先伸缩法)把 ysin x 的图象上全部点的纵坐标伸长到原来的 2 倍，得到y2sin x 的图象；将所得图象上全部点的横坐标缩短到原来的 12 倍，得 y2sin 2x 的图象；将所得图象沿 x 轴向左平移 8 个单位，得 y2sin 2 x 8的图象； 将所得图象沿 y 轴向上平移 1 个单位， 得 y2sin 2x

22、41 的图象 法二：(先平移法)将 ysin x 的图象沿 x 轴向左平移 4 个单位，得 ysin x 4的图象；将所得图象上全部点的横坐标缩短到原来的 12 倍，得 y sin 2x 4的图象；把所得图象上全部点的纵坐标伸长到原来 2 倍，得到 y2sin 2x 4的图象；将所得图象沿 y 轴向上平移 1 个单位，得 y2sin 2x 41 的图象 学问点七 已知函数图象求解析式 例 7.已知函数 f(x)Acos(x)B A0，0，| 2的部分图象如图所示，则函数 f(x)的解析 式为( ) Ay2cos x2 44 By2cos x2 44 Cy4cos x2 42 Dy4cos x2

23、 42 【答案】A 【解析】由函数 f(x)的最大值和最小值得 AB6，AB2，所以 A2，B4， 函数 f(x)的周期为 2 244，又 0， 所以 12 ，又由于点 2 ，6 在函数 f(x)的图象上 所以 62cos 12 2 4，所以 cos 4 1， 所以 4 2k，kZ，所以 2k4 ，kZ，又|2 所以 4 ，所以 f(x)2cos 12 x44. 学问点八 三角函数图象与性质的综合应用 例 8 (1)已知函数 f(x)sin x 3(0)，若 f 6f 3，且 f(x)在区间 6 ，3上有最小值，无最大值，则 ( ) A. 23 B.143 C. 263 D. 383 (2)已

24、知函数 f(x)sin(x)(0,0)是 R 上的偶函数，其图象关于点 M 34，0 对称，且在区间 0， 2上是单调函数，求 和 的值 (1)【答案】B 【解析】由于 f 6f 3，所以直线 x6 32 4 是函数 f(x)图象的一条对称轴， 又由于 f(x)在区间 6 ，3上有最小值，无最大值， 所以当 x 4 时，f(x)取得最小值 所以 4 3 2k2 ，kZ，解得 8k103，(kZ) 又由于 T 2 3 6 6 ，所以 12，又由于 0， 所以 k1，即 8 103 143. (2)【解析】 由 f(x)是偶函数，得 f(x)f(x)，即函数 f(x)的图象关于 y 轴对称， f(

25、x)在 x0 时取得最值，即 sin 1 或1. 依题设 0，解得 2 . 由 f(x)的图象关于点 M 对称，可知 sin 34 20，即 34 2 k，解得 4k3 23 ，kZ. 又 f(x)在 0， 2上是单调函数，所以 T，即 2 . 2，又 0，k1 时， 23 ；k2 时，2. 故 2 ，2 或23 . 学问点九 三角函数模型的实际应用 例 9.已知某海滨浴场的海浪高度 y(米)是时间 t(时)的函数，其中 0t24，记 yf(t)，下表是某日各时的浪高数据： t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1 0.5 0.99 1.

26、5 经长期观测，yf(t)的图象可近似地看成是函数 yAcos tb 的图象 (1)依据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式； (2)依据规定，当海浪高度大于 1 米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，推断一天内的 8：00 到 20：00 之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？ 【解析】 (1)由表中数据可知，T12， 6 .又 t0 时，y1.5，Ab1.5；t3 时，y1.0，得 b1.0，所以振幅为 12 ，函数解析式为 y12 cos6 t1(0t24) (2)y1 时，才对冲浪爱好者开放，y 12 cos6 t11，cos6 t0,2k2 6 t2k2 ，即 12k3t1

27、2k3，(kZ)又 0t24，所以 0t3 或 9t15 或 21t24，所以在规定时间内只有6 个小时冲浪爱好者可以进行活动，即 9t15. 五 五 易错点分析 易错一 给值求角 题 例题 10. 已知 ， 均为锐角，sin 55，cos 1010，求 . 【解析】 ， 均为锐角，sin 55，cos 1010， sin 3 1010，cos 2 55. sin sin ， 2 0， sin()sin cos cos sin 551010 2 553 101022， 4 . 误区警示 依据已知三角函数值求角，应依据已知角或三角函数值的大小，缩小角的范围，选择合适的三角函 数名求值。 易错二 三角函数图像平移 题 例题 11. 要得到 ycos 2x 4的图象，只要将 ysin 2x 的图象( ) A向左平移 8 个单位 B向右平移 8 个单位 C向左平移 4 个单位 D向右平移 4 个单位 【答案】A 【解析】由于 ycos 2x 4sin 2x 4 2sin 2x 4sin 2 x 8， 所以将 ysin 2x 的图象向左平移 8 个单位， 得到 ycos 2x 4的图象 错误区警示 三角函数图象的平移，应先化为同名三角函数，左右平移，左加右减，应当是相对 x 本身加减。 第 12 页 共 12 页