内蒙古呼伦贝尔市高三数学总复习《坐标系与参数方程》课件

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1、选修选修4-4 4-4 坐标系与参数方程坐标系与参数方程第一讲第一讲 坐标系坐标系走进高考第一关走进高考第一关 考点关考点关回回 归归 教教 材材1.平面直角坐标系平面直角坐标系(1)曲线与方程曲线与方程在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,如果某曲线如果某曲线C上的点与一个二元方程上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系的实数解建立了如下的关系:曲线曲线C上的点的坐标都是方程上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解的解;以方程以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线的解为坐标的点都在曲线C上上.那么那么,方程方程f(x,y)=0叫作曲线叫作曲线C的方程的方程,曲线曲线

2、C叫作方程叫作方程f(x,y)=0的曲线的曲线.(2)伸缩变换伸缩变换设点设点P(X,Y)是平面直角坐标系中的任意一点是平面直角坐标系中的任意一点,变换后的点变换后的点P为为(X,Y).由由X=KX(K0) Y=Y所确定的是按伸缩系数为所确定的是按伸缩系数为K向着向着Y轴的伸缩变换轴的伸缩变换,(当当K1时时,表示伸长表示伸长,当当K0)所确定的是按伸缩系数为所确定的是按伸缩系数为K,向着向着X轴的伸缩变换轴的伸缩变换,(当当K1时时,表示伸长表示伸长;当当K0,02或或-,那么除极点外那么除极点外,平面内的平面内的点和极坐标是一一对应的点和极坐标是一一对应的.(2)点的极坐标与直角坐标的互化

3、点的极坐标与直角坐标的互化在平面直角坐标中在平面直角坐标中,把平面直角坐标系的原点作为极点把平面直角坐标系的原点作为极点,X轴的轴的正半轴作为极轴正半轴作为极轴,建立极坐标系建立极坐标系,并在两种坐标系中取相同的并在两种坐标系中取相同的单位长度单位长度,则将点则将点M的极坐标的极坐标(,)化为直角坐标化为直角坐标(X,Y)的关系的关系式为式为X=COSY=SIN.将点将点M直角坐标直角坐标(X,Y)化为极坐标化为极坐标(,)的关系式为的关系式为曲线方程两种形式互化也可根据点的坐标互化完成曲线方程两种形式互化也可根据点的坐标互化完成.(0).222xyytanxx3.曲线的极坐标方程曲线的极坐标

4、方程(1)极坐标方程极坐标方程在极坐标系中在极坐标系中,曲线可以用含有曲线可以用含有,这两个变量的方程这两个变量的方程(,)=0来表示来表示,如果曲线如果曲线C上的点与一个二元方程上的点与一个二元方程(,)=0建立了如下关系建立了如下关系曲线曲线C上的每个点的极坐标中至少有一组上的每个点的极坐标中至少有一组(,)满足方程满足方程(,)=0;极坐标满足方程极坐标满足方程(,)=0的点都在曲线的点都在曲线C上上.那么方程那么方程(,)=0叫作曲线叫作曲线C的极坐标方程的极坐标方程,曲线曲线C叫作极坐叫作极坐标方程标方程(,)=0的曲线的曲线.极坐标系中曲线与方程的关系和直角坐标系中曲线与方程的极坐

5、标系中曲线与方程的关系和直角坐标系中曲线与方程的关系是一致的关系是一致的.(2)直线的极坐标方程直线的极坐标方程若直线经过点若直线经过点M(0,0),且极轴到此直线的角为且极轴到此直线的角为,则直线则直线L的的极坐标方程为极坐标方程为SIN(-)=0SIN(0-).特殊情况特殊情况:当直线当直线L过极点过极点,即即0=0时时,方程为方程为=.当直线当直线l过点过点M(a,0)且垂直于极轴时且垂直于极轴时,l的极坐标方程是的极坐标方程是cos=a.( ,),b.lM bl2sin当直线 过点且平行于极轴时 的极坐标方程是(3)圆的极坐标方程圆的极坐标方程.若圆心的坐标为若圆心的坐标为M(0,0)

6、,圆的半径为圆的半径为R,则圆的极坐标方程为则圆的极坐标方程为2-20COS(-0)+02-R2=0.特殊情况特殊情况:圆心位于极点的极坐标方程为圆心位于极点的极坐标方程为=R.圆心位于圆心位于M(R,0),半径为半径为R的圆的极坐标方程为的圆的极坐标方程为=RCOS.( ,),.M rr2rsin2圆心位于半径为 的圆的极坐标方程为(4)圆锥曲线的极坐标方程圆锥曲线的极坐标方程圆锥曲线的统一定义圆锥曲线的统一定义:与一个定点的距离和一条定直线与一个定点的距离和一条定直线(定点定点不在定直线上不在定直线上)的距离的比等于常数的距离的比等于常数E的点轨迹的点轨迹.若以定点若以定点F为极点为极点,

7、过定点过定点F作定直线作定直线L的垂线的垂线,垂足为垂足为K,FK的的反向延长线反向延长线FX为极轴为极轴,建立极坐标系建立极坐标系,其中其中|KF|=P,|MF|=得圆锥曲线统一的极坐标方程得圆锥曲线统一的极坐标方程. .ep1ecos当当0E1时时,方程只表示双曲线的右支方程只表示双曲线的右支,定点是它的右焦点定点是它的右焦点,定直定直线是它的右准线线是它的右准线.4.柱坐标系和球坐标系柱坐标系和球坐标系(1)在平面极坐标系的基础上在平面极坐标系的基础上,通过极点通过极点O,再增加一条与极坐再增加一条与极坐标系所在平面垂直的标系所在平面垂直的Z轴轴,这样就建立了柱坐标系这样就建立了柱坐标系

8、.设设M(X,Y,Z)为空间一点为空间一点,并设点并设点M在在XOY平面上的投影点平面上的投影点P的的极坐标为极坐标为(R,),则这样的三个数则这样的三个数R,Z构成的有序数组构成的有序数组(R,Z)就叫做点就叫做点M的柱坐标的柱坐标,这是规定这是规定R,Z的变化范围为的变化范围为0R+,02,-Z+.特别地特别地,R=常数常数,表示的是以表示的是以Z轴为轴的圆柱面轴为轴的圆柱面;=常数常数,表示的是过表示的是过Z轴的半平面轴的半平面;Z=常数常数,表示的是与表示的是与XOY平面平行的平面平面平行的平面.显然点显然点M的直角坐标与柱坐标的关系为的直角坐标与柱坐标的关系为zzxrcosyrsin

9、(2)球坐标球坐标设设M(X,Y,Z)为空间一点为空间一点,点点M可用这样三个有次序的数可用这样三个有次序的数R,来确定来确定,其中其中R为原点为原点O到点到点M间的距离间的距离,为有向线段为有向线段OM与与Z轴正方向所夹的角轴正方向所夹的角,为从为从Z轴正半轴看轴正半轴看,X轴正半轴按轴正半轴按逆时针方向旋转到有向线段逆时针方向旋转到有向线段OP的角的角,这里这里P为点为点M在在XOY平平面上的投影面上的投影,这样的三个数这样的三个数R,构成的有序数组构成的有序数组(R,)叫叫做点做点M的球坐标的球坐标,这里这里R,的变化范围为的变化范围为0R+002.特别地特别地,R=常数常数,表示的是以

10、原点为球心的球面表示的是以原点为球心的球面;=常数常数,表示的是以原点为顶点表示的是以原点为顶点,Z轴为轴的圆锥面轴为轴的圆锥面;=常数常数,表示的是过表示的是过Z轴的半平面轴的半平面.点点M的直角坐标与球坐标的关系为的直角坐标与球坐标的关系为. xOP cosrsin cosyOP sinrsin sinzrcos考考 点点 训训 练练 .,()()A. 3B.2C. 5D.31R2cos66在极坐标系中 直线截面得弦长是答案答案:B:()( ,),(),.2cos1166R2B6解析 圆的圆心为半径为直线过圆心所得弦长为选本题考查直线与圆的极坐标方程的简单应用2.极坐标方程极坐标方程COS

11、=2SIN2表示的曲线为表示的曲线为( )A.一条射线和一个圆一条射线和一个圆B.两条直线两条直线C.一条直线和一个圆一条直线和一个圆D.一个圆一个圆答案答案:C解析解析:cos=4sincos,则则cos=0或或=4sin,即即cos=0或或2=4sin,即即x=0或或x2+y2=4.3.在极坐标系中在极坐标系中,过圆过圆=6COS的圆心的圆心,且垂直于极轴的直线且垂直于极轴的直线的极坐标方程为的极坐标方程为_.答案答案:cos=3解析解析:由题意可知圆的标准方程为由题意可知圆的标准方程为(x-3)2+y2=9,圆心为圆心为(3,0),所所求直线标准方程为求直线标准方程为x=3,则极坐标方程

12、为则极坐标方程为cos=3.4.(2008广东广东)已知曲线已知曲线C1,C2的极坐标方程分别为的极坐标方程分别为COS=3,=4COS(0,0 ),则曲线则曲线C1与与C2交点的极交点的极坐标为坐标为_.2:(,)62 3答案3:,2,2 3. 2cos34cos4cos3 cos026解析 由又 解读高考第二关解读高考第二关 热点关热点关题型一题型一 极坐标与直角坐标的互化极坐标与直角坐标的互化,(),(),.12121xCcos2C4x2cosCCy3sin例 已 知 极 点 与 原 点 重 合 极 轴 与轴 正 半 轴 重 合 若曲 线的 极 坐 标 方 程 为曲 线的参 数 方 程

13、为为 参 数试 求 曲 线的 交 点 的 直 角 坐 标:,xy2.,.12,2 122,0 ,.7712222222Ccossin222xy2xyC13x4y43解 曲线可化为即曲线可化为联立解得交点为点评点评:在解决问题时在解决问题时,通常把极坐标化为直角坐标再求解通常把极坐标化为直角坐标再求解,注意注意互化公式互化公式,(0).22xyxcosyysintanxx熟记互化公式是解题的基础熟记互化公式是解题的基础.:,(),().4( );( ).1xOylx2t2tOxCy14t2 2sin1lC2lC变式已知在直角坐标系内 直线 的参数方程为为参数 以为极轴建立极坐标系 圆的极坐标方程

14、为试写出直线 的普通方程和圆的直角坐标方程判断直线 和圆的位置关系:( ),y2x3;(),(),(),2x2y,()()2.2 5( )2,5. 22222221tl2 2sin2 sincos42sincosxyCx1y12132Cld21lC解消去参数 得直线 的直角坐标方程为由即两边同乘以 得即的直角坐标方程为圆心 到直线 的距离为所以直线 和相交题型二题型二 求曲线的方程求曲线的方程例例2求经过极点且圆心的极坐标为求经过极点且圆心的极坐标为C(2,)的圆的圆C的极坐标方的极坐标方程程.4:( , ),|4().4 CPOCBPO PBOPBOPBPOB24cos解 设圆 上的任意一点

15、的极坐标过的直径的另一端点为连则在直角三角形中从而有点评点评:同直角坐标系中一样同直角坐标系中一样,求曲线的极坐标方程即是找出曲求曲线的极坐标方程即是找出曲线上的动点线上的动点P(,)的极径和极角的极径和极角的相互关系的相互关系,设法用设法用和和的方程表示这种关系的方程表示这种关系.变式变式2:在极坐标系中在极坐标系中,和极轴垂直且相交的直线和极轴垂直且相交的直线l与圆与圆=4相交相交于于A、B两点两点,若若|AB|=4,则直线则直线l的极坐标方程为的极坐标方程为_.解解:=4表示圆心在极点、半径为表示圆心在极点、半径为4的圆的圆,设直线设直线AB与极轴垂直与极轴垂直,且交极轴于点且交极轴于点

16、C,极点为极点为O,则则|OC|=2 ,AB极坐标方程极坐标方程为为:COS=2 .33例例3 O1和和 O2的极坐标方程分别为的极坐标方程分别为=4COS,=-4SIN.(1)写出写出 O1和和 O2的圆心的极坐标的圆心的极坐标;(2)求经过求经过 O1和和 O2交点的直线的极坐标方程交点的直线的极坐标方程.解解:(1) O1和和 O2的圆心的极坐标分别为的圆心的极坐标分别为(2,0),(2,32).(2)以极点为原点以极点为原点,极轴为极轴为X轴正半轴轴正半轴,建立平面直角坐标系建立平面直角坐标系,两两坐标系中取相同的长度单位坐标系中取相同的长度单位.X=COS,Y=SIN,由由=4COS

17、得得2=4COS.所以所以X2+Y2=4X.即即X2+Y2-4X=0为为 O1的直角坐标方程的直角坐标方程.同理同理X2+Y2+4Y=0为为 O2的直角坐标方程的直角坐标方程.2,.4x0,2., 2212212x0 x2xyy0yxy4y0由解得,yx,()(R). 12OO0 0223R44即和交于点和过交点的直线的直角坐标方程为其极坐标方程也可写为点评点评:求极坐标方程也可以先求出直角坐标系中的方程求极坐标方程也可以先求出直角坐标系中的方程,再转再转化为极坐标方程化为极坐标方程.变式变式3:求过求过A(2, )平行于极轴的直线平行于极轴的直线.4:(,),( ,).2,44|AH,( ,

18、)2. 1lMA 2AH2 sinOMsinsin2A 24sin解 方法在直线 任取一点则即所以 过平行于极轴的直线方程为方法方法2:以极点为坐标原点以极点为坐标原点,极轴为极轴为x轴建立直角坐标系轴建立直角坐标系,( ,),2,2 .y2.2.24sin直线过极点化为直角坐标为则直线方程为化为极坐标方程为笑对高考第三关笑对高考第三关 技巧关技巧关()_.2cosR4典例圆关于直线对称的圆的极坐标方程为答案答案:=2sin.解解:化为直角坐标化为直角坐标圆的方程为圆的方程为(X-1)2+Y2=1,直线的直角坐标方程为直线的直角坐标方程为Y=X,圆圆(X-1)2+Y2=1关于直线关于直线Y=X

19、对称的圆的直角坐标方程为对称的圆的直角坐标方程为(Y-1)2+X2=1,其极坐标方程为其极坐标方程为=2SIN.点评点评:解决有关极坐标问题常常先将极坐标转化为直角坐标解解决有关极坐标问题常常先将极坐标转化为直角坐标解决后再转化为极坐标决后再转化为极坐标.考考 向向 精精 测测在极坐标系中在极坐标系中,直线直线sin(+ )=2被圆被圆=4截得的弦长为截得的弦长为_.4: 4 3答案:(),2,( , ),.22222sin24xy2 242xy40 0 xy2 2d2242424 3解析 直线转化为普通直角坐标系下的方程为化为普通直角坐标系下的方程为圆心到的距离为又圆的半径为根据垂径定理 可

20、得弦长为本题主要考查直线与圆的极坐标议程与普通议程方间的转化,考查直线与圆的相交弦问题课时作业课时作业( (一一) ) 坐标系坐标系一、选择题一、选择题1.将将Y=sinX的图象沿的图象沿x轴均匀压缩为轴均匀压缩为y=sin3x,则坐标变换公则坐标变换公式是式是( )Yy1YyY3yA.B.C.31X3xXxXx3YyDXx答案答案:A:,Yy,.X3xYsinXysin3xyY113xX3解析变为即纵坐标保持不变 横坐标压缩为原来的即 .,( ,),( ,),.B.0.632A 2B 6OAOB665ACD6在极坐标系中已知则、夹角为答案答案:C:,.3解 析如 图 所 示夹 角 为 .(,

21、).( ,).( ,).(,).(,)326751113A2 6B2C2D2666与 极 坐 标不 表 示 同 一 点 的 极 坐 标 是答案答案:C解析解析:在极坐标中在极坐标中(-,)=(,+)=(,(2K+1)+),(KZ)(,)=(,2+)=(,2K+)(,)( ,)( ,)(,) 7513222266664.极坐标方程极坐标方程SIN= (R)表示的曲线是表示的曲线是( )A.两条相交直线两条相交直线B.两条射线两条射线C.一条直线一条直线D.一条射线一条射线12答案答案:A1:(R ),2(Z ),(Z ).R ,.s in2 kk652 kk6解 析则或又代 表 两 条 相 交

22、直 线5.曲线的极坐标方程曲线的极坐标方程=4SIN化成直角坐标方程为化成直角坐标方程为( )A.X2+(Y+2)2=4B.X2+(Y-2)2=4C.(X-2)2+Y2=4D.(X+2)2+Y2=4答案答案:B解析解析:由已知由已知2=4sin,x2+y2=4y,x2+(y-2)2=4,故选故选B.6.在极坐标系中在极坐标系中,与圆与圆=4SIN相切的一条直线方程为相切的一条直线方程为( )A.SIN=2B.COS=2C.COS=4D.COS=-4答案答案:B解析解析:如图如图, C的极坐标方程为的极坐标方程为=4sin,COOx,OA为直径为直径,|OA|=4,半径为半径为2.当直线与极轴垂

23、直且过当直线与极轴垂直且过(2,0)点时与圆相切点时与圆相切.方程为方程为cos=2,应选应选B.二、填空题二、填空题,.,0,.,_.1212xcos7CysinxCbCCsincosb在直角坐标系中曲线的参数方程为以 轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线在极坐标系中的方程为若曲线与有两个不同的交点 则实数 的取值范围是:1b2答案解析解析:曲线曲线C1表示的是半圆表示的是半圆X2+Y2=1(0Y1),曲线曲线C2表示的是表示的是直线直线X-Y=-B,由数形结合易得由数形结合易得1B .2.(),_;,_.x3t8ltyt2OClOxC已知直线 的参数方程为为参数 则此直线的倾斜角又半径为经过原

24、点的圆其圆心在第一象限并且在直线 上 若以为极点轴的正半轴为极轴建立极坐标系 则圆的极坐标方程为:()4cos66答案3:,3.( , ).6:().6 tl4cos解析 由参数方程消去参数可知直线 的斜率为设圆上任一点的极坐标为则结合图形可得.,( ,)_ .94sinA 46C在极坐标系中是圆的极坐标方程 则点到圆心的距离是:2 3答案:( ,),2,( ,),63|COA,112.2AC2 3. 222224sinC 2A 4COAACOCOA2 OC OA cos24224解析 由圆的极坐标方程知圆心如图所示10.极坐标方程极坐标方程52COS2+2-24=0所表示的曲线焦点的极坐所表

25、示的曲线焦点的极坐标为标为_.:,(,)10 010答案 :1,610,10,0 ,10,0 ,(, ). 2222xy4cab10 010解析 原方程化为直角坐标系下的方程为双曲线在直角坐标系下的焦点坐标为故在极坐标系下曲线的焦点坐标为三、解答题三、解答题.( ),),(2x1t2(),.( ),(,),. 121212343xcos11 1C Cysint1t2C C2yt2C C2C Csin34sin0 0CC42已知曲线的参数方程分别为为参数为参数且 指出曲线各是什么曲线 并说明公共点的个数已知曲线的极坐标方程分别为求曲线与交点的极坐标2.,2x2t2,2yt,2(,R).( );(

26、 ),.2122121212CF3cos4sinFltt1lC2F Fl已知椭圆 的极坐标方程为点为其左、右焦点 直线 的参数方程为为参数求直线 和曲线 的普通方程求点到直线 的距离之和分析分析:(1)直线直线L消去参数消去参数T即可得到即可得到,而椭圆而椭圆C的极坐标方程由的极坐标方程由X=COS,Y=SIN,可得出可得出.(2)根据点到直线距离公式即可计算出根据点到直线距离公式即可计算出.: ( )yx2,1.3( ),1,0 ,10232,221022.22. 2211122121lxyC42F1 0F2FldFlddd22解直线 普通方程为曲线的普通方程为点到直线 的距离点到直线 的距离