高三数学一轮复习 第8章8.5垂直关系课件 文 北师大版

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1、8.5垂直关系垂直关系考点探究考点探究挑战高考挑战高考考向瞭望考向瞭望把脉高考把脉高考8.5垂垂直直关关系系双基研习双基研习面对高考面对高考1直线与平面垂直直线与平面垂直(1)定义：如果一条直线和一个平面内的定义：如果一条直线和一个平面内的_一条直线都垂直，那么称这条直一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直线和这个平面垂直任何任何双基研习双基研习面对高考面对高考(2)定理：定理：文字语言文字语言图形语言图形语言符号语言符号语言判判定定定定理理如果一条直线和如果一条直线和一个平面内的两一个平面内的两条条_都垂都垂直，那么该直线直，那么该直线与此平面垂直与此平面垂直abA相交相交直线直线文字

2、语言文字语言图形语言图形语言符号语言符号语言性质性质定理定理如果两条直线同如果两条直线同_，那么这两条直，那么这两条直线平行线平行 abb垂直于一个平面垂直于一个平面2.平面与平面垂直平面与平面垂直(1)定义：两个平面相交，如果所成的二面角定义：两个平面相交，如果所成的二面角是是_，就说这两个平面互相垂直，就说这两个平面互相垂直(2)定理：定理：直二面角直二面角文字语言文字语言图形语言图形语言符号语言符号语言判定判定定理定理如果一个平面如果一个平面经过另一个平经过另一个平面 的 一 条面 的 一 条_，那么这两个平那么这两个平面互相垂直面互相垂直垂线垂线AB文字语言文字语言图形语言图形语言符号

3、语言符号语言性性质质定定理理如果两个平面如果两个平面互相垂直，那互相垂直，那么在一个平面么在一个平面内垂直于它们内垂直于它们_的直线的直线垂直于另一个垂直于另一个平面平面AB交线交线ABMN思考感悟思考感悟能否将直线与平面垂直定义中的能否将直线与平面垂直定义中的“任何一条直线任何一条直线”改为改为“无数条直线无数条直线”？能否将直线与平面垂直判定定理中的能否将直线与平面垂直判定定理中的“相相交交”去掉？去掉？提示：提示：不能，若平面内的直线互相平行，不能，若平面内的直线互相平行，这些直线可能都与该直线垂直，但直线不这些直线可能都与该直线垂直，但直线不一定与平面垂直一定与平面垂直3二面角二面角两

4、个半平面两个半平面二面角的二面角的定义定义从一条直线出发的从一条直线出发的_所所组成的图形叫作二面角组成的图形叫作二面角二面角的二面角的度量度量二面角的二面角的平面角平面角以二面角的棱上任一点为端点，在两以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作个半平面内分别作_棱的两条棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角角的平面角.垂直于垂直于1设设a、b是两条直线，是两条直线，、是两个平面，则是两个平面，则ab的一个充分条件是的一个充分条件是()Aa，b，Ba，b，Ca，b， Da，b，答案：答案：C2.(教材习题改编教材习题改编)如图所示，在如图所示，

5、在RtABC中，中，B90，点，点P为为ABC所在平面外一点，所在平面外一点，PA平面平面ABC，则四面体，则四面体P-ABC中有中有()个直个直角三角形角三角形A1 B2C3 D4答案：答案：D3已知已知，表示两个不同的平面，表示两个不同的平面，m为平面为平面内内的一条直线，则的一条直线，则“m”是是“”的的()A充分不必要条件充分不必要条件 B必要不充分条件必要不充分条件C充要条件充要条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件答案：答案：A4(2011年合肥调研年合肥调研)m，n是空间两条不同是空间两条不同直线，直线，是两个不同平面，下面有四个是两个不同平面，下面有四个命题：命题：m

6、，n，mn；mn，mn；mn，mn；m，mn，n.其中，为真命题的有其中，为真命题的有_(写出所有真写出所有真命题的编号命题的编号)答案：答案：5如图所示，已知矩形如图所示，已知矩形ABCD中，中，AB1，BCa，PA平面平面ABCD，若在，若在BC上只有一个上只有一个点点Q满足满足PQQD，则，则a的值等于的值等于_答案：答案：2考点探究考点探究挑战高考挑战高考垂直关系的基本应用垂直关系的基本应用此类问题经常以选择题的形式在高考中出现，解此类问题经常以选择题的形式在高考中出现，解答时一要注意依据定理条件才能得出结论，二是答时一要注意依据定理条件才能得出结论，二是否定时只需举一个反例，三要会寻

7、找恰当的特殊否定时只需举一个反例，三要会寻找恰当的特殊模型进行筛选模型进行筛选 (2010年高考浙江卷年高考浙江卷)设设l，m是两条不是两条不同的直线，同的直线，是一个平面，则下列命题正确是一个平面，则下列命题正确的是的是()A若若lm，m，则，则lB若若l，lm，则，则mC若若l，m，则，则lmD若若l，m，则，则lm【思路点拨】【思路点拨】根据线面垂直、平行的判定和根据线面垂直、平行的判定和性质判断性质判断【解析】【解析】根据定理：两条平行线中的一条垂直根据定理：两条平行线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面知，于一个平面，另一条也垂直于这个平面知，B正正确确【答案】【答案】B【

8、名师点评】【名师点评】一要注意定理条件都具备时才能一要注意定理条件都具备时才能得出结论，二要会寻找恰当的特殊模型进行筛得出结论，二要会寻找恰当的特殊模型进行筛选选变式训练变式训练1 (2009年高考浙江卷年高考浙江卷)设设，是两个不同的是两个不同的平面，平面，l是一条直线，以下命题正确的是是一条直线，以下命题正确的是()A若若l，则，则lB若若l，则，则lC若若l，则，则lD若若l，则，则l解析：解析：选选C.对于对于A、B、D均可能出现均可能出现l，故选，故选C.直线与平面垂直的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质证明直线和平面垂直的常用方法有：证明直线和平面垂直的常用方法有：(1)利用判定

9、定理利用判定定理(2)利用平行线垂直于平面的传递性利用平行线垂直于平面的传递性(ab，ab)(3)利用面面平行的性质利用面面平行的性质(a，a)(4)利用面面垂直的性质利用面面垂直的性质当直线和平面垂直时，该直线垂直于平面内的任当直线和平面垂直时，该直线垂直于平面内的任一直线，常用来证明线线垂直一直线，常用来证明线线垂直【思路点拨】【思路点拨】利用线面垂直、线线垂直的判利用线面垂直、线线垂直的判定与性质可证定与性质可证【证明证明】连接连接FG.因为因为EFCG，EFCG1，且且CE1，CEAC，所以四边形所以四边形CEFG为菱形，所以为菱形，所以CFEG.因为四边形因为四边形ABCD为正方形，

10、所以为正方形，所以BDAC，又因为平面又因为平面ACEF平面平面ABCD，且平面且平面ACEF平面平面ABCDAC，所以所以BD平面平面ACEF.又又CF平面平面ACEF，所以所以CFBD.又又BDEGG，所以所以CF平面平面BDE.【名师点评】【名师点评】证明空间线面位置关系的基证明空间线面位置关系的基本思想是转化与化归，根据线面平行、垂直本思想是转化与化归，根据线面平行、垂直关系的判定和性质，进行相互转化，如本题关系的判定和性质，进行相互转化，如本题是证明线面垂直，要通过证明线线垂直达到是证明线面垂直，要通过证明线线垂直达到证明线面垂直的目的解决这类问题时要注证明线面垂直的目的解决这类问题

11、时要注意推理严谨，使用定理时找足条件，书写规意推理严谨，使用定理时找足条件，书写规范等范等平面与平面垂直的判定和性质平面与平面垂直的判定和性质要证面面垂直，一般要转化为线面垂直，即考要证面面垂直，一般要转化为线面垂直，即考虑证明一个平面内的一条直线垂直于另一个平虑证明一个平面内的一条直线垂直于另一个平面，然后进一步转化为线线垂直，为此要熟练面，然后进一步转化为线线垂直，为此要熟练掌握掌握“线线垂直线线垂直”、“线面垂直线面垂直”、“面面垂面面垂直直”之间的相互转化关系特别地，若已知两之间的相互转化关系特别地，若已知两个平面垂直时，一般要用性质定理，将其转化个平面垂直时，一般要用性质定理，将其转

12、化为线面垂直进行应用为线面垂直进行应用【思路点拨】【思路点拨】(1)利用面面垂直的判定定理利用面面垂直的判定定理(2)【误区警示】【误区警示】在在(2)中，误认为中，误认为PD为四棱锥为四棱锥的高，导致体积求错，产生这一错误的原因是的高，导致体积求错，产生这一错误的原因是空间想象能力不强，思维定势，没有从题目条空间想象能力不强，思维定势，没有从题目条件出发件出发二面角的求法二面角的求法有许多涉及求角与距离的问题可直接利用有许多涉及求角与距离的问题可直接利用“线线线线问题问题 线面问题线面问题 面面问题面面问题”来研究，并在研究来研究，并在研究的基础上比较优劣，优化思维程序和解题方的基础上比较优

13、劣，优化思维程序和解题方法对于求二面角通常是求其平面角的大小，而法对于求二面角通常是求其平面角的大小，而二面角的平面角的作法有定义法、垂直法、三垂二面角的平面角的作法有定义法、垂直法、三垂线呈现法等等线呈现法等等【思路点拨】【思路点拨】(1)由由AFED可得可得CED为异面直线为异面直线CE与与AF所成角由所成角由RtCED中中的边角关系可求其大小；的边角关系可求其大小；(2)利用线面垂直利用线面垂直的判定定理可证；的判定定理可证；(3)利用利用“垂线法垂线法”，即，即在平面在平面ABCD内作内作AD的垂线，过垂足作棱的垂线，过垂足作棱EF的垂线，连结可得二面角的平面角的垂线，连结可得二面角的

14、平面角【规律小结】【规律小结】确定二面角平面角的方法：确定二面角平面角的方法：(1)定义法：在二面角的棱上找一特殊点，在两定义法：在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线个半平面内分别作垂直于棱的射线(2)垂面法：过棱上一点作与棱垂直的平面，该垂面法：过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角交线所成的角，即为二面角的平面角(3)垂线法：过二面角的一个面内一点作另一个垂线法：过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利

15、用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角，此种方法直可找到二面角的平面角或其补角，此种方法通用于求二面角的所有题目，具体步骤为：一通用于求二面角的所有题目，具体步骤为：一找，二证，三求找，二证，三求方法技巧方法技巧1在解决直线与平面垂直问题过程中，要注意在解决直线与平面垂直问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义，判定定理和性质定理的直线与平面垂直的定义，判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化相转化(如例如例2)2面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据我们要作一个平面的一条垂线，通常是

16、先依据我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可的垂线即可(如例如例3)3(1)对于二面角问题多数情况下要作出二对于二面角问题多数情况下要作出二面角的平面角并加以论证和计算，同时要注面角的平面角并加以论证和计算，同时要注意二面角平面角所在的平面与二面角的棱及意二面角平面角所在的平面与二面角的棱及两个面都是互相垂直的两个面都是互相垂直的(2)二面角平面角的作法大致可根据定义作；二面角平面角的作法大致可根据定义作；可用垂直于二面角棱的平面去截二面角，此可用垂直于二面角棱的平面去截二面角，此平面与二面角的两个半平

17、面的交线所成的角平面与二面角的两个半平面的交线所成的角即为二面角的平面角；也可首先确定二面角即为二面角的平面角；也可首先确定二面角一个面的垂线，由三垂线定理和三垂线定理一个面的垂线，由三垂线定理和三垂线定理的逆定理，作出二面角的平面角，对于这种的逆定理，作出二面角的平面角，对于这种方法应引起足够的重视方法应引起足够的重视(3)对于直线和平面所成的角及二面角大小的对于直线和平面所成的角及二面角大小的计算都与平面的垂线有关，平面的垂线是立计算都与平面的垂线有关，平面的垂线是立体几何中最重要的辅助线之一，而平面与平体几何中最重要的辅助线之一，而平面与平面垂直的性质定理也是最重要的作图理论依面垂直的性

18、质定理也是最重要的作图理论依据据(如例如例3)失误防范失误防范1直线和平面垂直直线和平面垂直(1)判定定理可以简单地记为判定定理可以简单地记为“线线垂直线线垂直线面垂线面垂直直”，定理中的关键词语是，定理中的关键词语是“平面内两条相交直平面内两条相交直线线”和和“都垂直都垂直”证题时常常是定义和判定定证题时常常是定义和判定定理反复使用，使线线垂直与线面垂直的关系相互理反复使用，使线线垂直与线面垂直的关系相互转化转化(2)直线和平面垂直的性质定理可以作为两条直线直线和平面垂直的性质定理可以作为两条直线平行的判定定理，可以并入平行推导链中，实现平行的判定定理，可以并入平行推导链中，实现平行与垂直的

19、相互转化，即线平行与垂直的相互转化，即线线线线线面面线线线线线线面面 在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决如有平面垂直时，一般要用过作辅助线来解决如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直故化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直故熟练掌握熟练掌握“线线垂直线线垂直”、“面面垂直面面垂直”间的转化间的转化条件是解决这类问题的关键条件是解决这类问题的

20、关键考向瞭望考向瞭望把脉高考把脉高考垂直关系是每年高考必考的知识点之一，考查重点垂直关系是每年高考必考的知识点之一，考查重点是线面垂直的判定与性质，面面垂直的判定与性质，是线面垂直的判定与性质，面面垂直的判定与性质，以及线面角、二面角的求法题型既有选择题、填以及线面角、二面角的求法题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高，客观题突出空题，又有解答题，难度中等偏高，客观题突出“小而巧小而巧”，主要考查垂直的判定及性质，考查线，主要考查垂直的判定及性质，考查线面角、二面角的求法，主观题考查较全面，在考查面角、二面角的求法，主观题考查较全面，在考查上述知识的同时，还注重考查空间想象能力、逻辑

21、上述知识的同时，还注重考查空间想象能力、逻辑推理能力以及分析问题、解决问题的能力推理能力以及分析问题、解决问题的能力预测预测2012年高考仍将以线面垂直、面面垂直、年高考仍将以线面垂直、面面垂直、线面角、二面角为主要考点，重点考查学生线面角、二面角为主要考点，重点考查学生的空间想象能力以及逻辑推理能力的空间想象能力以及逻辑推理能力【名师点评】【名师点评】(1)本题的图形既可以看做是从长本题的图形既可以看做是从长方体中截取的一个图形，也可以看做是一个直三方体中截取的一个图形，也可以看做是一个直三棱柱和一个三棱锥组合起来的图形，无论是截取棱柱和一个三棱锥组合起来的图形，无论是截取的图形还是组合的图

22、形，都是教材上最基本的空的图形还是组合的图形，都是教材上最基本的空间图形，可以说本题是对教材基本图形进行改造间图形，可以说本题是对教材基本图形进行改造加工，把教材上不同部分的主要问题组合起来命加工，把教材上不同部分的主要问题组合起来命制的一道试题制的一道试题(2)解决立体几何问题的一个很重要的技巧就解决立体几何问题的一个很重要的技巧就是是“割补割补”，这个技巧不但在求空间几何体体，这个技巧不但在求空间几何体体积时有用，在解决其他问题时仍然有重要作用，积时有用，在解决其他问题时仍然有重要作用，如本题把图形放到一个长方体中，就会发现这如本题把图形放到一个长方体中，就会发现这个长方体实际上又是由两个

23、正方体拼接而成，个长方体实际上又是由两个正方体拼接而成，放到这个长方体中去看，所有要解决的问题几放到这个长方体中去看，所有要解决的问题几乎都是明显的结论乎都是明显的结论(3)证明面面垂直常用的证明面面垂直常用的2种方法种方法一是利用面面垂直的判定定理转化为线面垂一是利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直来证明，即证明其中一个平面经过另一个直来证明，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，可以先找到其中一个平面平面的一条垂线，可以先找到其中一个平面的一条垂线，再证明这条垂线在另一个平面的一条垂线，再证明这条垂线在另一个平面内或与另一个平面的一条垂线垂直；二是利内或与另一个平面的一条垂线垂直；二是利用定义转化为证明二面角的平面角为直角，用定义转化为证明二面角的平面角为直角，可先作出二面角的平面角，再由条件证明这可先作出二面角的平面角，再由条件证明这个平面角是直角即可，虽说这种证法较为特个平面角是直角即可，虽说这种证法较为特殊，即通过计算，证明其为直角，但这也是殊，即通过计算，证明其为直角，但这也是立体几何中证明问题的一种重要方法立体几何中证明问题的一种重要方法