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1、第第6课时函数与方程课时函数与方程第二章基本初等函数、导数及其应用第二章基本初等函数、导数及其应用教材回扣教材回扣 夯实双基夯实双基基础梳理基础梳理1.函数的零点函数的零点(1)函数零点的定义函数零点的定义如果函数如果函数yf(x)在实数在实数a处的值处的值_,即即_,则则a叫做这个函数叫做这个函数的零点的零点.在坐标系中表示图象与在坐标系中表示图象与x轴的轴的公共点是公共点是(a,0)点点.等于零等于零f(a)0(2)几个等价关系几个等价关系方程方程f(x)0有实数根有实数根函数函数yf(x)的的图象与图象与_有交点有交点函数函数yf(x)有有_.x轴轴零点零点思考探究思考探究1.是否任意函
2、数都有零点是否任意函数都有零点?提示：提示：并非任意函数都有零点并非任意函数都有零点,只有只有f(x)0有根的函数有根的函数yf(x)才有零点才有零点.(3)函数零点的判定函数零点的判定如果函数如果函数yf(x)在区间在区间a,b上的图象上的图象是连续不断的一条曲线是连续不断的一条曲线,并且有并且有_,那么函数那么函数yf(x)在区间在区间_内有零点内有零点,即存在即存在c(a,b),使得使得_,这个这个_也就是也就是f(x)0的根的根.f(a)f(b)0(a,b)f(c)0c思考探究思考探究2.在上面的条件下在上面的条件下,(a,b)内的零点有几个内的零点有几个?提示：提示：在上面的条件下在
3、上面的条件下,(a,b)内的零点至少内的零点至少有一个有一个c,还可能有其他零点还可能有其他零点,个数不确定个数不确定.2.二次函数二次函数yax2bxc(a0)的图的图象与零点的关系象与零点的关系000二次函数二次函数yax2bxc (a0)的图的图象象与与x轴的轴的交点交点_(x1,0)或或(x2,0)无交点无交点零点个数零点个数两个两个一个一个零个零个(x1,0),(x2,0)3.用二分法求函数用二分法求函数yf(x)零点近似值的零点近似值的步骤步骤第一步：确定区间第一步：确定区间a,b,验证验证_;第二步：求区间第二步：求区间a,b的中点的中点x1;第三步：计算第三步：计算f(x1)和
4、和f(a),并判断：并判断：f(a)f(b)0若若_,则则x1就是函数的零点就是函数的零点;若若_,则令则令bx1(此时零点此时零点x0a,x1);若若_,则令则令ax1(此时零点此时零点x0 x1,b);第四步：判断是否达到精确度第四步：判断是否达到精确度,否则重否则重复第二、三、四步复第二、三、四步.f(x1)0f(a)f(x1)0课前热身课前热身1.(教材改编教材改编)如图所示的函数图象与如图所示的函数图象与x轴均有交点轴均有交点,其中不能用二分法求图中其中不能用二分法求图中交点横坐标的是交点横坐标的是()A.B.C. D.答案：答案：B2.设设f(x)3x3x8,用二分法求方程用二分法
5、求方程3x3x80在在x(1,2)内近似解的过内近似解的过程中得程中得f(1)0,f(1.25)0,m2或或m0且且a1)有有两个零点两个零点,则实数则实数a的取值范围是的取值范围是_.答案：答案：a1考点探究考点探究 讲练互动讲练互动考点考点1函数零点的求解与判断函数零点的求解与判断判断函数判断函数yf(x)在某个区间上是否存在某个区间上是否存在零点在零点,常用以下方法：常用以下方法：(1)解方程：当解方程：当对应方程易解时对应方程易解时,可通过解方程可通过解方程,看方程看方程是否有根落在给定区间上是否有根落在给定区间上;(2)利用函数零点的存在性定理进行判利用函数零点的存在性定理进行判断断
6、;(3)通过画函数图象通过画函数图象,观察图象与观察图象与x轴轴在给定区间上是否有交点来判断在给定区间上是否有交点来判断.例例1【思路分析】【思路分析】借助函数零点存在性定借助函数零点存在性定理和函数在理和函数在1,1上的单调性来判断上的单调性来判断.【规律小结规律小结】方程的根或函数零点的方程的根或函数零点的存在性问题存在性问题,可以根据区间端点处的函可以根据区间端点处的函数值的正负来确定数值的正负来确定,但要确定零点的个但要确定零点的个数还需进一步研究函数在区间上的单调数还需进一步研究函数在区间上的单调性性,在给定的区间上在给定的区间上,如果函数是单调的如果函数是单调的,它至多有一个零点它
7、至多有一个零点,如果不是单调的如果不是单调的,可可继续细分出小的单调区间继续细分出小的单调区间,再结合这些再结合这些小的区间的端点处函数值的正负小的区间的端点处函数值的正负,作出作出正确判断正确判断.互动探究互动探究1.若例若例1中中x的范围改为的范围改为R,试回答原来问试回答原来问题题.解：解：f(x)42x2x2,令令f(x)0,x2,1.x2是是f(x)的极大值点的极大值点.x1是是f(x)的极小值点的极小值点,考点考点2二分法求方程的近似解二分法求方程的近似解用二分法求函数零点近似值的步骤用二分法求函数零点近似值的步骤,可可借助于计算器一步步地求解借助于计算器一步步地求解,也可以借也可
8、以借助于表格或数轴逐步缩小零点所在的区助于表格或数轴逐步缩小零点所在的区间间,而运算终止的条件是区间长度小于而运算终止的条件是区间长度小于精确度精确度. 用二分法求函数用二分法求函数f(x)x3x1在区间在区间1,1.5内的一个零点内的一个零点(精确度精确度0.1).【思路分析思路分析】依据二分法求函数依据二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤的零点近似值的步骤.例例2【解解】由于由于f(1)11110,f(x)在区间在区间1,1.5上存在零上存在零点点.取区间取区间(1,1.5)作为计算的初始区间作为计算的初始区间,用二分法逐次计算列表如下：用二分法逐次计算列表如下：中点的中点的值值中点函数
9、值符中点函数值符号号零点所在区间零点所在区间区间长区间长度度(1,1.5)0.51.25f(1.25)0(1.25,1.375)0.1251.3125f(1.3125)0(1.3125,1.375)0.0625|1.3751.3125|0.06250.1,函数的零点落在区间长度小于函数的零点落在区间长度小于0.1的的区间区间1.3125,1.375内内,故函数零点的近故函数零点的近似值为似值为1.3125.【方法指导方法指导】求函数零点近似值的关求函数零点近似值的关键是判断区间长度是否小于精确度键是判断区间长度是否小于精确度,当当区间长度小于精确度区间长度小于精确度时时,运算即告结束运算即告结
10、束,此时区间内的任何一个值均符合要求此时区间内的任何一个值均符合要求,而我们通常取区间的一个端点值作为近而我们通常取区间的一个端点值作为近似解似解.考点考点3函数零点的综合应用函数零点的综合应用函数零点的应用主要体现了函数与方程函数零点的应用主要体现了函数与方程的思想的思想,函数与方程虽然是两个不同的函数与方程虽然是两个不同的概念概念,但它们之间有着密切的联系但它们之间有着密切的联系,方程方程f(x)0的解就是函数的解就是函数yf(x)的图象与的图象与x轴的交点的横坐标轴的交点的横坐标,函数函数yf(x)也可以也可以看作二元方程看作二元方程f(x)y0,然后通过方程进行研究然后通过方程进行研究
11、.许多有关方程许多有关方程的问题可以用函数的方法解决的问题可以用函数的方法解决,反之反之,许许多函数问题也可以用方程的方法来解决多函数问题也可以用方程的方法来解决,函数与方程的思想是中学数学的基本思函数与方程的思想是中学数学的基本思想想. 已知已知f(x)x2(a21)x(a2)的一个零点比的一个零点比1大大,一个零点比一个零点比1小小,求实求实数数a的取值范围的取值范围.【思路分析思路分析】可把函数转化为方程可把函数转化为方程,其方程的两根满足其方程的两根满足x11,利用利用(x11)(x21)0求解求解;也可利用图象求解也可利用图象求解.例例3【解解】法一：设方程法一：设方程x2(a21)
12、x(a2)0的两根分别为的两根分别为x1,x2(x1x2),则则(x11)(x21)0,x1x2(x1x2)10,由根与系数的关系由根与系数的关系,得得(a2)(a21)10,即即a2a20,2a1.法二：函数图象大致如图法二：函数图象大致如图,则有则有f(1)0,即即1(a21)a20,2a1.【方法指导方法指导】此类方程根的分布问题此类方程根的分布问题通常有两种解法：一是方程思想通常有两种解法：一是方程思想,利用利用根与系数的关系根与系数的关系;二是函数思想二是函数思想,构造二构造二次函数利用其图象分析次函数利用其图象分析,从而求解从而求解.互动探究互动探究2.若例若例3中函数不变中函数不
13、变,后面的内容改为：后面的内容改为：一个零点在一个零点在0与与1之间之间,另一个零点在另一个零点在1与与2之间之间,求实数求实数a的范围的范围,应如何求解应如何求解?方法技巧方法技巧1.函数零点的判定常用的方法有：函数零点的判定常用的方法有：(1)零点存在性定理零点存在性定理;(2)数形结合数形结合;(3)解方解方程程f(x)0.2.研究方程研究方程f(x)g(x)的解的解,实质就是研实质就是研究究G(x)f(x)g(x)的零点的零点.3.二分法是求方程的根的近似值的一种二分法是求方程的根的近似值的一种计算方法计算方法.其实质是通过不断地其实质是通过不断地“取中点取中点”来逐步缩小零点所在的范
14、围来逐步缩小零点所在的范围,当达到一当达到一定的精确度要求时定的精确度要求时,所得区间内的任一所得区间内的任一点均是这个函数零点的近似值点均是这个函数零点的近似值.失误防范失误防范1.把握函数的零点应注意的问题把握函数的零点应注意的问题(1)函数的零点是一个实数函数的零点是一个实数,当函数的自当函数的自变量取这个实数时变量取这个实数时,其函数值等于零其函数值等于零.(2)函数的零点也就是函数函数的零点也就是函数yf(x)的图的图象与象与x轴的交点的横坐标轴的交点的横坐标.(3)一般我们只讨论函数的实数零点一般我们只讨论函数的实数零点.(4)函数的零点不是点函数的零点不是点,是方程是方程f(x)
15、0的根的根.2.对函数零点存在的判断中对函数零点存在的判断中,必须强调必须强调(1)f(x)在在a,b上连续上连续;(2)f(a)f(b)0;(3)在在(a,b)内存在零点内存在零点.事实上事实上,这是零点存在的一个充分条件这是零点存在的一个充分条件,但不必要但不必要.考向瞭望考向瞭望 把脉高考把脉高考命题预测命题预测从近几年的高考试题来看从近几年的高考试题来看,函数的零点、函数的零点、方程根的问题是高考的热点方程根的问题是高考的热点,特别新课特别新课改的省份更是热点改的省份更是热点,题型既有选择题、题型既有选择题、填空题填空题,又有解答题又有解答题.客观题主要考查相应函数的图象与性质客观题主要考查相应函数的图象与性质;主观题考查较为综合主观题考查较为综合,在考查函数的零在考查函数的零点、方程根的基础上点、方程根的基础上,又注重考查函数又注重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合的思想方法结合的思想方法.预测预测2013年高考仍将以函数的零点、年高考仍将以函数的零点、方程根的存在问题为主要考点方程根的存在问题为主要考点,重点考重点考查相应函数的图象与性质查相应函数的图象与性质.典例透析典例透析 例例【答案】【答案】B
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