11第十一次课(二元关系运算与函数)

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1、2022-1-11Hongzhi Qiao, XiDian Univ.1（2）S 与与 R 的合成的合成 为为 X 到到 Z 的关系的关系 合成运算是对关系的二元运算，它能够由两个关合成运算是对关系的二元运算，它能够由两个关系生成一个新的关系，并可以以此类推。首先看一个系生成一个新的关系，并可以以此类推。首先看一个合成运算的例子，如果合成运算的例子，如果 是关系是关系“是是的兄弟的兄弟”， 是关系是关系“是是的父亲的父亲”，那么，那么 是关系是关系是是的叔的叔伯伯。 2022-1-11Hongzhi Qiao, XiDian Univ.2如果在关系如果在关系R和和S中各有一个有序对，使中各有一

2、个有序对，使 且且 ，则，则 是关系是关系 的元素。的元素。而且而且 包含全部这样的有序对。包含全部这样的有序对。 2022-1-11Hongzhi Qiao, XiDian Univ.3 因为因为 且且 ，故，故 。虽有。虽有 ，但不存在但不存在y使使 ，故没有，故没有y使使 。也没有。也没有x使使2022-1-11Hongzhi Qiao, XiDian Univ.4例例1 设集合设集合A上的关系上的关系R为为2022-1-11Hongzhi Qiao, XiDian Univ.5例例2 设集合设集合N上的关系上的关系R和和S为为2022-1-11Hongzhi Qiao, XiDian

3、Univ.6 在实际问题中，我们感兴趣的往往不是一般的关在实际问题中，我们感兴趣的往往不是一般的关系，而是具有某些特殊性质的关系。为了更好的处理系，而是具有某些特殊性质的关系。为了更好的处理这些关系，有必要深入研究关系的性质。对这些关系，有必要深入研究关系的性质。对A上的关系上的关系来说，主要的性质有：自反性、非自反性、对称性、来说，主要的性质有：自反性、非自反性、对称性、反对称性、传递性。反对称性、传递性。 2022-1-11Hongzhi Qiao, XiDian Univ.7 对对A上的关系上的关系R，若对任意的，若对任意的 都有都有 ，则，则称称R为为A上自反的关系；若对任意的上自反的

4、关系；若对任意的 都有都有 ，则称则称R为为A上非自反的关系上非自反的关系 这个定义也可以写成：这个定义也可以写成：在在A上是自反的上是自反的 在在A上是非自反的上是非自反的 2022-1-11Hongzhi Qiao, XiDian Univ.8 如果如果R是是A上自反的，上自反的， 则关系矩阵则关系矩阵M(R)的主对角线元素都是的主对角线元素都是1（即（即 都都1），关系图），关系图G(R)的每个顶点都有自圈。的每个顶点都有自圈。 如果如果R是是A上非自反的，上非自反的， 则则M(R)的主对角线元素都是的主对角线元素都是0，G(R)的每个顶点的每个顶点都没有自圈。都没有自圈。 2022-1

5、-11Hongzhi Qiao, XiDian Univ.9 例例1 在非空集合在非空集合A上的恒等关系上的恒等关系 和全关系和全关系 都是自反的都是自反的 。 例例2 在非空集合在非空集合A上的空关系上的空关系 是非自反的。在是非自反的。在集合集合N上的小于关系上的小于关系 是非自反的。是非自反的。 2022-1-11Hongzhi Qiao, XiDian Univ.10 例例3 在集合在集合 上的关系上的关系 不是自反的，也不是非自反的。不是自反的，也不是非自反的。 但是在非空集合但是在非空集合A上，不存在一个关系，它是自上，不存在一个关系，它是自反的又是非自反的。反的又是非自反的。20

6、22-1-11Hongzhi Qiao, XiDian Univ.11 设设 R 为集合为集合 A 上的关系上的关系 ，对任意的，对任意的 ，若若 ，则称，则称 R 为为 A 上对称的关系；上对称的关系；若若 ，则称，则称R为为A上反对称的关系。上反对称的关系。这个定义也可以写成这个定义也可以写成R在在A上是对称的上是对称的 R在在A上是反对称的上是反对称的 2022-1-11Hongzhi Qiao, XiDian Univ.12反对称性的另一种等价的定义为反对称性的另一种等价的定义为R在在A上是反对称的上是反对称的 如果如果R是是A上对称的，则上对称的，则M(R)是对称矩阵是对称矩阵(对任

7、意的对任意的i和和j， ) G(R)中任意两个顶点之间或者没有有向边，或者互有有向边中任意两个顶点之间或者没有有向边，或者互有有向边 和和 （不会只有（不会只有 没有没有 ）。如果）。如果R是是A上反对称的，则上反对称的，则M(R)是反是反对称矩阵的（对任意的对称矩阵的（对任意的 ，若，若 则则 ），），G(R)中任意两中任意两个顶点之间或者没有有向边，或者仅有一条有向边（不会同时有个顶点之间或者没有有向边，或者仅有一条有向边（不会同时有 和和 ）。）。2022-1-11Hongzhi Qiao, XiDian Univ.13 例例4 在非空集合在非空集合 A 上的全关系是对称的上的全关系是对

8、称的 ，不是反，不是反对称的。对称的。 例例5 在在 上的整除关系、小于上的整除关系、小于等于关系、小于关系都是反对称的，且不是对称的。等于关系、小于关系都是反对称的，且不是对称的。 例例6 在非空集合在非空集合 A 上的恒等关系和空关系都是对上的恒等关系和空关系都是对称的，也都是反对称的。称的，也都是反对称的。 2022-1-11Hongzhi Qiao, XiDian Univ.14例例7 在集合在集合 上的关系上的关系 不是对称的，也不是反对称的。不是对称的，也不是反对称的。 例例6和例和例7说明，对称性和反对称性既可以同时满说明，对称性和反对称性既可以同时满足，也可以都不满足。足，也可

9、以都不满足。2022-1-11Hongzhi Qiao, XiDian Univ.15 设设 R 为集合为集合 A 上的关系，对任意的上的关系，对任意的 ，若若 ，则称，则称R为为A上传递的关系；上传递的关系；这个定义也可以写成这个定义也可以写成R在在A上是传递的上是传递的 2022-1-11Hongzhi Qiao, XiDian Univ.16例例8 在集合在集合 A 上上 的的 全关系全关系 、恒等关系、恒等关系 、空关系都、空关系都是传递的。是传递的。 在在 上的整除关系、小于等上的整除关系、小于等于关系、小于关系都是传递的。于关系、小于关系都是传递的。 例例9 在集合在集合 上的关系

10、上的关系 不是传递的关系，因为不是传递的关系，因为 ， ，但是但是 。2022-1-11Hongzhi Qiao, XiDian Univ.172022-1-11Hongzhi Qiao, XiDian Univ.18 数学的进步及其活力总是依赖于抽象对具体的帮数学的进步及其活力总是依赖于抽象对具体的帮助以及具体对抽象的哺育。助以及具体对抽象的哺育。- M. Kac函数是一个基本的数学概念。通常的实函数是在函数是一个基本的数学概念。通常的实函数是在实数集合上讨论的。这里推广了实函数概念，讨论在实数集合上讨论的。这里推广了实函数概念，讨论在任意集合上的函数。任意集合上的函数。2022-1-11H

11、ongzhi Qiao, XiDian Univ.19 函数定义函数定义函数建立了从一个集合到另一个集合的一种变换函数建立了从一个集合到另一个集合的一种变换关系，计算机执行任何类型的程序就是这样一种变换。关系，计算机执行任何类型的程序就是这样一种变换。 例如编译程序可以把一个源程序变换成一个机器例如编译程序可以把一个源程序变换成一个机器语言的指令集合语言的指令集合-目标程序。目标程序。2022-1-11Hongzhi Qiao, XiDian Univ.20对集合对集合A 到集合到集合B 的关系的关系 ，若满足下列条件：，若满足下列条件：(1) 对任意的对任意的 ，存在唯一的，存在唯一的 ，

12、使使 成立；成立；(2) 则称则称 为从为从A到到B的函数，或称的函数，或称 把把A映射到映射到B （有（有的书称的书称 为全函数、映射、变换）。为全函数、映射、变换）。2022-1-11Hongzhi Qiao, XiDian Univ.21 一个从一个从A到到B的函数的函数 ，可以写成，可以写成 ： 。这时若这时若 ，则可记作，则可记作 ： 或或 。 函数的两个条件可以写成函数的两个条件可以写成(1) (2) 2022-1-11Hongzhi Qiao, XiDian Univ.22 函数的第一个条件是单值性函数的第一个条件是单值性, 定义域中任一定义域中任一x与与B中中唯一的唯一的y有关

13、系有关系. 因此可以用因此可以用 f (x) 表示这唯一的表示这唯一的 y. 第二个条件是第二个条件是A为定义域为定义域, A中任一中任一x都与都与B中某个中某个y有关系有关系. 注意不能把单值性倒过来注意不能把单值性倒过来. 对对A到到B的函数的函数f, 当当x1fy且且x2fy成立时成立时, 不一定不一定x1=x2. 因此因此, 函数的逆关系不函数的逆关系不一定是函数一定是函数.2022-1-11Hongzhi Qiao, XiDian Univ.23 如果一个关系是函数如果一个关系是函数, 则它的关系矩阵中每行恰好则它的关系矩阵中每行恰好有一个有一个1, 其余为其余为0, 它的关系图中每

14、个它的关系图中每个A中的顶点恰好发中的顶点恰好发出一条有向边出一条有向边. 另外，另外， 是函数，称其为空函数。是函数，称其为空函数。2022-1-11Hongzhi Qiao, XiDian Univ.24 若函数若函数 f 和函数和函数 g 相等，那么它们的定义域和值域相等，那么它们的定义域和值域分别相等，即分别相等，即do m (f) = d o m (g)，r a n (f) = r a n (g)，而且对任意的而且对任意的x do m (f) = do m (g)，都有，都有f (x)=g (x)。2022-1-11Hongzhi Qiao, XiDian Univ.25例例1: 对

15、实数集对实数集 R , R 上的关系上的关系 f 为为 f = | y = x3 f 是从是从 R 到到 R 的函数的函数, 记作记作 f: RR , 并记作并记作f:|x3 或或 f (x) = x3.2022-1-11Hongzhi Qiao, XiDian Univ.26 例例2: 集合集合 A = 1, 2, 3 上上 的的 两个关系两个关系g=, 和和 h=,都不是从都不是从A到到A的函数的函数.因为因为 g 没有单值性没有单值性, 即即 g 且且 有有 g , 而对关系而对关系 h , do m (h) = 1,2 A. 但是但是, h 是从是从1,2到到A的函数的函数. 2022

16、-1-11Hongzhi Qiao, XiDian Univ.27判别下列关系中哪个能构成函数：判别下列关系中哪个能构成函数：（1） 因为因为x1不能取定义域中所有的值，且不能取定义域中所有的值，且x1对应很多对应很多x2，故这个，故这个关系不能构成函数。关系不能构成函数。（2） 因为一个因为一个y1对应两个对应两个y2，也不是函数。，也不是函数。（3） 能够成为函数。能够成为函数。2022-1-11Hongzhi Qiao, XiDian Univ.28（从（从A到到B的所有函数的集合的所有函数的集合AB） 对集合对集合A和和B，从，从A到到B的所有函数的集合记为的所有函数的集合记为AB（有

17、的书记为（有的书记为BA）。于是）。于是 2022-1-11Hongzhi Qiao, XiDian Univ.29例例3: 对对A=1,2,3, B= a , b. 从从A到到B的函数有八个的函数有八个: f1=,f2=,f3=,f4=,f5=,f6=,f7=,f8=,于是于是 AB=f1,f2,f3,f82022-1-11Hongzhi Qiao, XiDian Univ.30 若若A和和B是有限集合，是有限集合，|A|=m, |B|=n, 则则|AB|= n m . 从从 到到 的函数只有的函数只有 f= , 从从 到到 B 的的 函数函数 只有只有 f= . 若若 A , 从从A到到 的函数不存在的函数不存在. 2022-1-11Hongzhi Qiao, XiDian Univ.31作业：作业：复习函数定义。复习函数定义。课本课本P94 8（b）（）（e）