第四章简单期权的离散模型定价

《第四章简单期权的离散模型定价》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第四章简单期权的离散模型定价（37页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、第四章第四章简单期权的离散模型定价简单期权的离散模型定价金融工程应用技术讲义,Chapter 4,Copyright 4.2单时期期权二叉树模型单时期期权二叉树模型n基本假定：期末时期的资产股票的价格只有两 种可能，即上涨(u)或下跌(d)CdSSuSdCCu期末时期股票价格期末时期期权价格金融工程应用技术讲义,Chapter 4,Copyright 4.3单时期期权二叉树模型单时期期权二叉树模型n基本思想：通过做多或做空操作使股票和期权形成一个组合使得不论股票价格如何变化，这个组合的价值在期末是固定不变的，那么这个组合的收益率一定等于无风险收益率，这样就可以为期权确定价格金融工程应用技术讲义

2、,Chapter 4,Copyright 4.4单时期期权二叉树模型单时期期权二叉树模型n数学推导：u期初 ：卖出1份看涨期权、买入h股股票，此时组合的价值为n期末 ：股票价格上涨时组合的价值n股票价格下跌时组合的价值*VhSC*uuVhS uC*ddVhS dC金融工程应用技术讲义,Chapter 4,Copyright 4.5单时期期权二叉树模型单时期期权二叉树模型n数学推导：n组合在期末的价值是固定的，即 n可得：nh称作套期保值率nh含义：为对冲风险构建一个无风险组合，在这个无风险组合中每做空一份看涨期权所需要购买的股票的数量。udVVudCChS uS d金融工程应用技术讲义,Cha

3、pter 4,Copyright 4.6单时期期权二叉树模型单时期期权二叉树模型n数学推导：n使用复利方法贴现，期权定价公式为n其中 n r为无风险利率1*(1) *(1)udCpCpCr 1rdpud金融工程应用技术讲义,Chapter 4,Copyright 4.7单时期期权二叉树模型单时期期权二叉树模型n数学推导：n使用连续复利方法贴现，期权定价公式为n其中 *(1) *rudCepCpCredpud金融工程应用技术讲义,Chapter 4,Copyright 4.8单时期期权二叉树模型单时期期权二叉树模型n结论：p期权的价格 只与股票价格的波动率 相关，而与股票的期望收益率无关p期权的

4、价格与投资者的风险偏好无关p期权价格与股票价格上涨和下跌的概率无关金融工程应用技术讲义,Chapter 4,Copyright 4.9举例：举例：n股票当前价格为100,无风险利率为r=0.05nu=1.2 d=0.9n欧式看涨期权的执行价格K=100资产组合买入h股股票卖出1份期权投资组合的净价值期初价值+ h*100- Ch*100-C期末价值股价S=120+ h*120-20h*120-20股价S=90+ h*900h*90-0金融工程应用技术讲义,Chapter 4,Copyright 4.10举例：举例：n期末：n即：n得：n期初组合的价值：n期末组合的价值：n期权价格：udVV*

5、1 2 02 0* 9 00hh0 . 6 6 6 7h6 6 . 6 7VC6 0udVV(66.67) * (10.05)60CC = 9.53金融工程应用技术讲义,Chapter 4,Copyright 4.11期权偏离均衡价格的套利期权偏离均衡价格的套利n上例中，期权的均衡价格为9.53n若c=10，如何套利？资产组合买入0.6667股股票卖出1份期权以利率0.05借入无风险资产投资组合的净价值期初成本-66.671056.70期末价值股价S=12080-20-59.5350.465股价S=90600-59.5350.465金融工程应用技术讲义,Chapter 4,Copyright

6、4.12期权偏离均衡价格的套利期权偏离均衡价格的套利n若c=9，如何套利？资产组合卖出0.6667股股票买入1份期权以利率0.05借出无风险资产投资组合的净价值期初成本66.67-9-57.70期末价值股价S=120-802060.5850.585股价S=90-60060.5850.585金融工程应用技术讲义,Chapter 4,Copyright 4.13两时期二叉树定价模型两时期二叉树定价模型n扩展后期末时股票的价格共有三种可能 n对应的期权价格也有三种可能n欧式期权不能提前执行,采用倒推法， 先求得 和 ，再求得CS u uSudSddCuuCudCdduCdC金融工程应用技术讲义,Ch

7、apter 4,Copyright 4.14两时期二叉树定价模型两时期二叉树定价模型1*(1)*1uuuudCpCpCr1*(1)*1dudddCp CpCr复利：2221*2 (1)*(1) *(1)uuudddCpCppCpCr连续复利：222*2 (1)*(1) * ruuudddC epCppCpC注：期权的价格就可以看作是其期末价格期望值的贴现值金融工程应用技术讲义,Chapter 4,Copyright 4.15Su= 120Sd= 90S=100接上例接上例股票的三个月的看涨期权的执行价为21美元Suu= 144Sud=108Sdd= 81C= 13.605Cu= 24.762C

8、d= 3.810Cuu= 44Cud= 8Cdd= 0金融工程应用技术讲义,Chapter 4,Copyright 4.16n接上例n套期保值率并不是一成不变的，是个动态的过程套期保值的动态过程套期保值的动态过程4 4811 4 41 0 8u uu duCChS u uS u d800.44410890uddddCChSudSdd24.76193.80950.69812090udCChSuSd金融工程应用技术讲义,Chapter 4,Copyright 4.17多时期二叉树定价模型多时期二叉树定价模型n定价公式推导n当股票的价格为 时, 对应的期权价格为 ， 发生的概率为n在 t=n时期权价

9、格的期望值为：jnjS ud(, 0)jnjM ax Su dK(1)jjnjnCpp0(1)*(, 0 )njjnjjnjnjCppM a x S udK金融工程应用技术讲义,Chapter 4,Copyright 4.18多时期二叉树定价模型多时期二叉树定价模型n定价公式推导（续）n复利，r代表每一期的无风险利率：n连续复利：n这就是多时期欧式看涨期权的二叉树定价公式01(1)*(, 0)(1)njjnjjnjnnjCCppM ax Su dKr*0(1)*(,0)nr ntjjnjjnjnjCeCppMax Su dK金融工程应用技术讲义,Chapter 4,Copyright 4.19

10、The relationship among Su,Sd and r?多时期二叉树定价模型多时期二叉树定价模型同理，欧式看跌期权的二叉树定价公式：01(1)*(,0)(1)njjnjjnjnnjPC ppMax KSu dr复利：连续复利：*0(1)*(,0)nr n tjjnjjnjnjPeC ppMax KSu d金融工程应用技术讲义,Chapter 4,Copyright 4.20定价公式中定价公式中u u和和d d的确定的确定n现实中的股票价格可以用几何布朗运动来很好的模拟，在无套利市场中有如下的关系式：n时间间隔 很小时，股票价格的方差：n在风险中性的情况下n还可以通过 来得到股票价

11、格的方差：n关系式：22() ,)2tLnSLnSNrttt222()(1)rtttD SS ee(1)rtSepSup Sd222()()(1)()(1)tD Sp SupSdpSup Sd1ud22( )( )( )DxExE x金融工程应用技术讲义,Chapter 4,Copyright 4.21定价公式中定价公式中u u和和d d的确定的确定n联立以上四式得：tuetder tedpud金融工程应用技术讲义,Chapter 4,Copyright 4.22无风险利率无风险利率r r是时间是时间t t的函数的函数n利率的期限结构并不总是在一条水平线上，而是随着时间的增加不断的上升或者下降

12、，即是时间t的函数r(t)n不会影响股票的二叉树图形的结构n风险中性概率p会随着r(t)的变化而变化 或者1( )r tdpud( ) r ttedpud金融工程应用技术讲义,Chapter 4,Copyright 4.23美式看涨期权的二叉树定价模型美式看涨期权的二叉树定价模型n美式期权可以在合约到期之前任何时间执行n美式期权定价方法倒推法n注意：由于存在提前执行的可能性，我们要在每个节点处比较立即执行所得到的价值和继续持有所得到的回溯价格的大小关系，选取二者中较大的值作为 节点处期权的价格金融工程应用技术讲义,Chapter 4,Copyright 4.24n将时期数扩展到 n期ni表示时

13、期t=i , j表示股票价格上升的次数n股票在(i,j) 处的价格为n股票在(i,j) 处的价格为n若期权在节点（i,j）提前执行，期权价格为：n若期权在节点（i,j）继续持有，期权价格为：美式看涨期权的二叉树定价模型美式看涨期权的二叉树定价模型jijS ud( , )i jC( ,)jijijCSu dK( ,)(1,1 )(1,)1*(1) *1ijijijCpCpCr金融工程应用技术讲义,Chapter 4,Copyright 4.25美式看涨期权的二叉树定价模型美式看涨期权的二叉树定价模型n比较二者的大小，确定期权在节点（i,j）处的价格n复利：n连续复利：( , )(1,1)(1,

14、)1,*(1) *(1)jiji jijijiCMax Su dKpCpCr*( , )(1,1)(1, ),*(1)*jijr i ti jijijCMax Su dK epCpC金融工程应用技术讲义,Chapter 4,Copyright 4.26美式看跌期权的二叉树定价模型：美式看跌期权的二叉树定价模型：n复利：n连续复利：( , )(1,1)(1, )1,*(1)*(1)jiji jijijiPMax KSu dpPpPr*( , )(1,1)(1, ),*(1) *jijr iti jijijPMax KSu depPpP金融工程应用技术讲义,Chapter 4,Copyright

15、4.27举例：举例：n 股票的初始价格S=100nu=1.15，d=0.9n时期数T=2n无风险利率r=0.02金融工程应用技术讲义,Chapter 4,Copyright 4.28Su= 115Sd= 90S=100接上例接上例Suu= 132.25Sud=103.5Sdd= 81C= 6.79（0）Cu=14.85（15）Cd= 1.37（0）Cuu= 32.25Cud= 3.5Cdd= 0美式看涨期权的执行价格K=100金融工程应用技术讲义,Chapter 4,Copyright 4.29有红利支付的欧式看涨期权有红利支付的欧式看涨期权n支付红利的两种方法：p按固定比例a（红利占股票价格

16、的比例）支付p按固定红利数额D进行支付金融工程应用技术讲义,Chapter 4,Copyright 4.30 按固定比例支付红利按固定比例支付红利n二叉树的结构并没有发生变化，节点数也没有增加金融工程应用技术讲义,Chapter 4,Copyright 4.31举例：举例：n 股票的初始价格为S=100nu=1.1，d=0.9n市场无风险利率为r=0.05n欧式看涨期权的执行价格K=100n红利支付比例a=0.05，并在t=2期期末时支付金融工程应用技术讲义,Chapter 4,Copyright 4.32接上例接上例n股票价格的三时期二叉树图形金融工程应用技术讲义,Chapter 4,Cop

17、yright 4.33接上例接上例n该股票对应的期权的二叉树图形金融工程应用技术讲义,Chapter 4,Copyright 4.34按固定数额支付红利按固定数额支付红利n在支付红利之后二叉树的结构将发生变化n在之后的时期中二叉树不能重叠在一起，使得节点数大大增加n支付固定红利股票的价格的三时期二叉树图形金融工程应用技术讲义,Chapter 4,Copyright 4.35按固定数额支付红利按固定数额支付红利n在支付红利之后二叉树的结构将发生变化金融工程应用技术讲义,Chapter 4,Copyright 4.36按固定数额支付红利按固定数额支付红利n假设n期的模型中红利支付日 只有一个,并且n当时期 ，假定股票的价格为n当时期 ，将红利的贴现值从股价中剔 除就得到价格 n其中， D为红利额， S指不支付红利的股票价格(1 )ktkt i t*SS i t*() ritSSD e金融工程应用技术讲义,Chapter 4,Copyright 4.37按固定数额支付红利按固定数额支付红利n先假定 为 的标准差，并且 是固定不变的n将模拟的股票价格加上红利的贴现值就可以得到新的股票价格p当 时，结点 （i,j）处股票价格为：p当 时，结点 （i,j）处股票价格为： 其中 表示股票价格上升的次数*S*it*() jijritSudD eit*jijSud0ji