线性方程组(克莱姆法则)

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1、2021/5/232021/5/231 1第二章线性方程组第二章线性方程组线性方程组的一般形式为线性方程组的一般形式为本章讨论本章讨论 解的存在性解的存在性 2) 2) 解的求法解的求法 3) 3) 解的个数解的个数4) 4) 解的结构解的结构 何时无解？何时无解？) )( ( 怎样求解？怎样求解？) )( ( 解与解之间的关系解与解之间的关系 ) )11121121222212121212mmnnnnnnmmaaabaaabxxxxxxxxxaaab ( ( 有多少个解？有多少个解？) )( ( 何时有解？何时有解？方程组的求解问题方程组的求解问题: :2021/5/232021/5/232

2、 2如果存在如果存在 个数个数n当当方程组的方程组的 个等式个等式m则称则称nnxxccxc 1212,.,为该方程组的一个为该方程组的一个解解方程组的全体解构成的集合，方程组的全体解构成的集合， 称为方程组的称为方程组的解集解集. .都成立都成立, , 11,xc 22,xc .,nnxc对于方程组对于方程组基本概念：基本概念：11121121222212121212mmnnnnnnmmaaabaaabxxxxxxxxxaaab 1c2cnc1c2cnc1c2cnc 使得使得时，时，12,.,nc cc2021/5/232021/5/233 3设有两个设有两个 n()()的每个解的每个解如果

3、方程组如果方程组()()都是方程组都是方程组()()的解的解; ;同时同时都是方程组都是方程组()()的解的解, ,则称这两个方程组则称这两个方程组的每个解的每个解, ,同解同解. .方程组方程组()()11121121222212121212kknnnnnnkkcccdcccdxxxxxxxxxcccd元线性方程组元线性方程组11121121222212121212mmnnnnnnmmaaabaaabxxxxxxxxxaaab()()与与2021/5/232021/5/234 4. .线性方程组线性方程组首先讨论：首先讨论：未知量的个数未知量的个数方程的个数方程的个数的方程组的方程组. .2

4、021/5/232021/5/235 5方程组有唯一解：方程组有唯一解：aa1122aa1122a11当当 x 1x 2即当即当0 0 时时22111()axa22112()axa 0时，时，1221a a 12xx1122a a 21122211a aa a 21122211a aa a11112222aaaa 11122122121122xxbxxbaaaa 11122122121122xxbxxbaaaa212b a122b a121b a211b a122b a212b a121b a 211b a211222bbaa111122aabb11122122aaaa11122122aaaa

5、12a 21a 22a2021/5/232021/5/236 6一、克莱姆一、克莱姆(Cramer)(Cramer)法则法则二元线性方程组二元线性方程组11122121122221xxxabaaabx 当当0 0 时时, ,方程组有唯一解：方程组有唯一解：1x 1222aadet A det A 1detB2x 2detB1121aa这一结果可以推广到一般的这一结果可以推广到一般的含有含有n n个个未知量未知量n n个个方程方程的的线性方程组线性方程组. .det A 12bb12bb1112aa2122aa11122122aaaa11122122aaaa2021/5/232021/5/237

6、 7三元线性方程组三元线性方程组1231111213aaaxbxx 当当时时, ,方程组有唯一解：方程组有唯一解：det A 111213aaa212223aaa1213333233abaxaxx 313233aaa1x 2x 123bbb111213212223313233aaaaaaaaa121322233233aaaaaa0 111213212223313233aaaaaaaaa3x 111213212223313233aaaaaaaaa111321233133aaaaaa123bbb111221223132aaaaaa123bbb1212232223abaxaxx 2021/5/232

7、021/5/238 8四元线性方程组四元线性方程组1234111213141aaaaxxxbx 当当时时, ,方程组有唯一解：方程组有唯一解：det A 11121314aaaa21222324aaaa2122112232344xxxxbaaaa 3132312333344xxxxbaaaa 31323334aaaa0 4142412434344xxxxbaaaa 41424344aaaa2021/5/232021/5/239 91x 2x 1234bbbb11121314212223243132333441424344aaaaaaaaaaaaaaaa3x 1234111213141aaaax

8、xxbx 2122112232344xxxxbaaaa 3132312333344xxxxbaaaa 4142412434344xxxxbaaaa 121314222324323334424344aaaaaaaaaaaa11121314212223243132333441424344aaaaaaaaaaaaaaaa1234bbbb111214212224313234414244aaaaaaaaaaaa1234bbbb111314212324313334414344aaaaaaaaaaaa4x 111213212223313233414243aaaaaaaaaaaa1234bbbb2021/5/

9、232021/5/231010其中其中 定理定理2.1(2.1(克莱姆法则克莱姆法则) ) 12121211121212221212.nnnnnnnnnnaaaaaaxxxxxxxxaxaabbb 当其系数行列式当其系数行列式对应对应后得到的行列式后得到的行列式. .有且仅有唯一解有且仅有唯一解11detdetBxA22detdetBxAdetdetnnBxA是将系数行列式是将系数行列式detAdetA12,.,nb bb线性方程组线性方程组2 1( . )00时时, ,11121.naaa21222.naaadet A 12.nnnnaaa1detB1 2(, ,., )jn .地换地换为为

10、方程组的常数项方程组的常数项中第中第 1 1 列元素列元素22jj2021/5/232021/5/231111nnnaaaaBaa1112212212.det.有且仅有唯一解：有且仅有唯一解：12121211121212221212.nnnnnnnnnnaaaaaaxxxbbbxxxxxxaaa 当当 时时, ,det0A 11detdetBxA22detdetBxAdetdetnnBxA.nbbb12nbbb12.nbbb12两个条件两个条件: : 三个结论三个结论: :11121.naaa21222.naaadet A 12.nnnnaaa1detB 1212222.nnnnnaaaaaa

11、2detB 111312123213.nnnnnnaaaaaaaaa2021/5/232021/5/231212证证 将方程组将方程组表为矩阵形式表为矩阵形式即即12121211121212221212.nnnnnnnnnnaaaaaaxxxbbbxxxxxxaaa (2.1)AXB b nb12nxxx11121.naaa21222.naaa12.nnnnaaa1bA X B A A是是n n阶方阵阶方阵. .2021/5/232021/5/231313由于由于故可逆，故可逆，得得由由因此因此, ,且解必为且解必为从而从而解解存在唯一存在唯一. .12121211121212221212.n

12、nnnnnnnnnaaaaaaxxxbbbxxxxxxaaa (2.1)AXB A detAXB A 1A 1XA B 1111212122212.nnnnnnaaaaaaaaa12nxxx nbbb 1A存在存在X A B 1有解有解, ,A 方程组方程组(2.1)(2.1)XA B 1是方程组是方程组( 2.1 )( 2.1 )的唯一解的唯一解. .2021/5/232021/5/231414.nnnnnnnnnnaaaaaaxxxxxxxaaabbbxx nxxx nbbb 11121.naaa21222.naaa12.nnnnaaa当当 时时, ,det0A 方程组方程组(2.1)(2

13、.1)有唯一解有唯一解X 即即12nxxx nAAA11211nAAA22221.nnnnAAA21nbbb 1det A1211211.nnAbbAAb 1212222.nnAbbAAb 1212.nn nnnAbbAAb 1detA证毕证毕B1detB2detnBdet即即1x 2x nx .1A B BA1detdetBA2detdetnBAdetdet1A2021/5/232021/5/231515nnnnnaaaaaa1212222.nbbb12nnnnnnaaaaaaaaa111312123213.nbbb12nnaaaaaa1112212212.nbbb12221b A . 1n

14、nb A1detB111b A 2detB121b A222b A . 2nnb AdetnB11nb A22nb A . nnnb A111212122212.nnnnnnaaaaaaaaa2021/5/232021/5/2316161231231231234429xxxxxxxxx 例例方程组有唯一解方程组有唯一解. .123 111149124213132()()() 223232()()() 1112349D 20 ( 21)( 31)( 32) D 21113192 124(21)( 21)( 22) 3111214D 12 124方程组的唯一解为：方程组的唯一解为：1x 303x

15、302x 30202 12D 解解30 0 2021/5/232021/5/231717常数项均为零的常数项均为零的方程方程( (. .) )所对应的所对应的111212122212121212.nnnnnnnnnaaxxxxxxxxaaaaxaaa当然是方程当然是方程( (. .) )的解的解称为齐次线性方程组称为齐次线性方程组( (. .) )的的齐次线性方程组除零解外齐次线性方程组除零解外, ,齐次线性方程组齐次线性方程组. .nnnnnnnnnnaaaaaaxxxxxxxaaabbbxx 10,x 是否还有其它解是否还有其它解? ?02 1( . )20,x .,0nx 0000000

16、02 4( . )的齐次线性方程组为的齐次线性方程组为: :线性方程组线性方程组 称为称为000零解零解. .2021/5/232021/5/2318181231231232030220 xxxxxxxxx例例 齐次线性方程组齐次线性方程组是其零解是其零解. .除零解外除零解外, ,也是其解也是其解, ,例例 齐次线性方程组齐次线性方程组xxxx 其解必满足其解必满足此方程组此方程组称为称为非零解非零解12300,0,xxx120 x 10,x 20 x 只有零解只有零解. .0000000001, 5x 24,x 33x 2021/5/232021/5/231919定理定理. . 12121

17、1121212221 122.000.nnnnnnnnnxxxxxxaaaaaaaaaxxx的系数行列式的系数行列式111212122212.nnnnnnaaaaaaaaa则它仅有零解则它仅有零解. .如果含有如果含有 个方程的个方程的n元元齐次线性齐次线性n2 4( . )det A 0 方程组方程组2021/5/232021/5/232020证证即方程组只有零解即方程组只有零解. .由克莱姆法则由克莱姆法则, ,方程组方程组有唯一有唯一解解121211121212221 122.000.nnnnnnnnnxxxxxxaaaaaaaaaxxx时时, ,det0A 是方程组是方程组( (. .

18、) )的解，的解，10,x 20,x .,0nx 2 4( . )且方程组只有一个解，且方程组只有一个解， 故故10,x 20,x .,0nx 是方程组是方程组( (. .) )的唯一解，的唯一解，0000000002021/5/232021/5/23212111 1122121 122221 122.000nnnnnnnnna xa xaxaxaxaxaxaxax11121.naaa21222.naaadet A 12.nnnnaaa 方程组只有零解方程组只有零解方程组有非零解方程组有非零解Adet02021/5/232021/5/232222例例 设齐次线性方程组设齐次线性方程组2123123123(1)20(21)20(21)0 xkxxxkxxkxkxkx有非零解，有非零解， 求的值求的值k解解det A 2112k 1212k 21kkk 2112k 2020kk 03k 122kk (2)kk 0 0k 或或2k 方程组有非零解方程组有非零解Adet0(2)kk 2021/5/232021/5/232323作业作业第二版第二版: P111 : P111 题题1 1（2 2）2 2（1 1） 第三版第三版: P84 : P84 题题1 1（2 2）2 2（1 1）