三角形内角和

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1、学学 习习 目目 标标1、能理解和掌握三角形内角和定理的证明、能理解和掌握三角形内角和定理的证明过程。过程。2、能灵活应用三角形内角和定理进行简单、能灵活应用三角形内角和定理进行简单的计算和推理证明。的计算和推理证明。3、了解三角形的分类，直角三角形的分类、了解三角形的分类，直角三角形的分类创设情境激发情趣：创设情境激发情趣：内角三兄弟内角三兄弟之争之争 在一个直角三角形里住着三在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常个内角，平时，它们三兄弟非常团结可是有一天，老二突然不高团结可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我

2、也要和你凭什么度数最大，我也要和你一样大！你一样大！”“”“不行啊！不行啊！”老大老大说：说：“这是不可能的，否则，我这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起们这个家就再也围不起了了”“为什么？为什么？” 老二很纳闷。老二很纳闷。 同学们，你们知道其中的道理同学们，你们知道其中的道理吗？吗？命题命题：三角形的三个内角和是三角形的三个内角和是180你能验证这个命题吗？你能验证这个命题吗？验证：三角形的三个内角和是验证：三角形的三个内角和是180180图1图2 图3ABCCBAABBCC BAB结论：三角形的内角和等于结论：三角形的内角和等于1800.证明：证明：过点过点A作作EFBCB=2（两

3、直线平行两直线平行, ,内错角相等内错角相等） C=12+1+BAC=1800（平角定义平角定义）B+C+BAC=1800（等量代换等量代换）已知：已知：ABC.ABCEF求证：求证：A +B +C =180E F结论：三角形的内角和等于结论：三角形的内角和等于1800.B+BAC +C =180 （等量代换）（等量代换）已知：已知：ABC.求证：求证：A +B +C =180 ABCL证明：证明：过过A作作AEBC，B=1 ( (两直线平行两直线平行, ,内错角相等内错角相等) ) 1+BAC+C=180 ( (两直线平行两直线平行, ,同旁内角互补同旁内角互补) )结论：三角形的内角和等于

4、结论：三角形的内角和等于1800.ABCLABC演示下一页123三角形的三个内角和是多少?方法三方法三: 将各角沿着一边所在的直线折叠将各角沿着一边所在的直线折叠定理定理：三角形的三个内角和是：三角形的三个内角和是180一个三角形中能有两个直角吗？一个三角形中能有两个直角吗？一个三角形中能有两个钝角吗？一个三角形中能有两个钝角吗？三个内角都能小于三个内角都能小于600吗？吗？讨论讨论三角形内角和定理三角形内角和定理w三角形内角和定理三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于三角形三个内角的和等于1801800 0. .wABC中中,A+B+C=A+B+C=1800.wA+B+C=A+B+C=18

5、00的几种变形的几种变形:wA=A=1800 (B+C).(B+C).wB=B=1800 (A+C).(A+C).wC=C=1800 (A+B).(A+B).wA+B=A+B=1800-C.C.wB+C=B+C=1800-A.A.wA+C=A+C=1800-B.B.w这里的结论这里的结论, ,以后可以直接运用以后可以直接运用. . 三种语言三种语言ABC1、直角三角形的两锐角之和是多少度、直角三角形的两锐角之和是多少度?等边三角等边三角形的一个内角是多少度形的一个内角是多少度?请证明你的结论请证明你的结论.ABC结论结论: : 直角三角形的两个锐角互余；等边三直角三角形的两个锐角互余；等边三角

6、形每个内角角形每个内角6060以后可以直接运用以后可以直接运用. .ABC（1 1）在）在ABCABC中中,A=35,A=35, , B=43B=43，则则 C=C= . . （2 2）在）在ABCABC中中,C=90,C=90,B=50,B=50, ,则则A =A = 。（3 3）在）在ABCABC中中, A=40, A=40, ,A=2BA=2B，则则C =C = 。10204001200你真棒！你真棒！已知：三角形三个内角的度数之比为已知：三角形三个内角的度数之比为1:3:51:3:5，求这三个内角的度数。，求这三个内角的度数。 解：设三个内角度数分别为：解：设三个内角度数分别为：x x

7、、3x3x、5x,5x,x+3x+5x=180 x+3x+5x=180解得解得x=20 x=20所以三个内角度数分别为所以三个内角度数分别为 2020,60,60,100,100。由三角形内角和为由三角形内角和为180得得 求出下列图中求出下列图中x的值的值: : xx x x =600比比谁最快比比谁最快x x x =4502 x xx =300我们可以按三角形内角的大小将三角形分为三我们可以按三角形内角的大小将三角形分为三类：类：锐角三角形：三个角都是锐角的三角形。直角三角形：有一个角是直角的三角形。钝角三角形：有一个内角是钝角的三角形。三角形按角的大小分类如下：三角形按角的大小分类如下：

8、三角形三角形直角三角形直角三角形：有一个角是直角的三角形。：有一个角是直角的三角形。斜斜三角形三角形锐角三角形锐角三角形：三个角都是锐角的三角形。：三个角都是锐角的三角形。钝角三角形钝角三角形：有一个角是钝角的三角形。：有一个角是钝角的三角形。回顾回顾与与小结小结本节课里你学到了什么？本节课里你学到了什么？1、三角形内角和的定理：、三角形内角和的定理：三角形三个内角的和等于三角形三个内角的和等于180 180 2、通过思考、去探究、去总结三角形内角和的定理，、通过思考、去探究、去总结三角形内角和的定理，并且发现要证明三角形三个内角的和等于并且发现要证明三角形三个内角的和等于180 需需转化为：

9、转化为：平角或两直线平行同旁内角和等于平角或两直线平行同旁内角和等于180180。3、三角形内角和的定理证明中，添加辅助线的实质、三角形内角和的定理证明中，添加辅助线的实质是通过平行线来移动角是通过平行线来移动角。1 1、如图，直线、如图，直线ABABCD,CD,在在ABAB、CDCD外有一点外有一点P P，连结连结PBPB、PDPD，交交CDCD于于E E点。则点。则 B B、 D D、 P P 之间是否存在之间是否存在 一定的大小关系？一定的大小关系？ 随堂练习随堂练习A AB BC CP PD DE E他们是怎样的，并加以证明他们是怎样的，并加以证明？证明：证明：因为因为 AB CD（1

10、（2所以所以 1 + B =1800(两直线平行，同旁内角互补）两直线平行，同旁内角互补）因为因为2+ P +D=1800 （三角形内角和定理）（三角形内角和定理）1= 2 （对顶角相等）（对顶角相等） 所以所以 B=P +D ( (等量代换）等量代换）练习练习2.如图，求如图，求 A1+ A2+ A3+ A4+ A5的度数。的度数。A2A1A5A3A421拓广探究拓广探究 在这里，为了证明的需要，在原来的在这里，为了证明的需要，在原来的图形上图形上自己加上自己加上的线叫做的线叫做辅助线辅助线。在平面。在平面几何里，辅助线通常画成几何里，辅助线通常画成虚线虚线。注意要说。注意要说明所加辅助线的

11、位置、名称和性质。明所加辅助线的位置、名称和性质。思路总结：思路总结： 为了证明三角形三个内角的和为为了证明三角形三个内角的和为180180, ,通常应用通常应用转化思想。转化思想。转化为：转化为：平角或平角或两直线平行，同旁内角互补两直线平行，同旁内角互补 三角形蓝和三角形红见面了，蓝炫耀的说：三角形蓝和三角形红见面了，蓝炫耀的说：“我的体积比你大，所以我的内角和也比你我的体积比你大，所以我的内角和也比你大！大！”红不服气的说：红不服气的说：“那可不好说噢，你那可不好说噢，你自己量量看！自己量量看！” 蓝用量角器量了量自己的内角和，就不蓝用量角器量了量自己的内角和，就不再说话了！再说话了！

12、同学们，你们知道其中的道理吗？同学们，你们知道其中的道理吗？问题问题1想一想想一想平角的度数是平角的度数是180两直线平行，同旁内角的和是两直线平行，同旁内角的和是180 从刚才拼角的过程你能想出从刚才拼角的过程你能想出证明的方法吗证明的方法吗?3. 邻补角的和是邻补角的和是180 问题：问题：有什么方法可以得到有什么方法可以得到180证明证明：在在ABC中中 A+B+C=180(三角形内角和定理）三角形内角和定理） C= 90（已知）已知） A+B+90=180（等量代换）等量代换） A+B=18090= 90 （等式性质）等式性质） 即即A+B=90ABC已知：在已知：在ABC中，中，C 90 求证：求证：AB90 随堂练习随堂练习