连续型机变量及其概率密度

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1、主要内容（主要内容（2学时）学时）一、概率密度的定义及性质（重点）一、概率密度的定义及性质（重点）二、常见的连续型随机变量（重点）二、常见的连续型随机变量（重点） 1、均匀分布；、均匀分布； 2、指数分布；、指数分布； 3、正态分布。、正态分布。第三节第三节 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度 特点：特点：1 1、随机变量的取值充满某个区间，不能一一列出。、随机变量的取值充满某个区间，不能一一列出。 2 2、随机变量取任一值的概率为、随机变量取任一值的概率为0 0，即，即P(X=x)=0P(X=x)=0。 用直方图近似正态分布的概率密度演示用直方图近似正态分布的概率密度演示矩

2、形宽度代表分组个数，高度代表落在该区间样本的频率矩形宽度代表分组个数，高度代表落在该区间样本的频率高度越大，相应区间的样本数越多，分布越密集，反之亦然高度越大，相应区间的样本数越多，分布越密集，反之亦然分组越多，则分组越多，则频率直方图趋于一光滑曲线：概率密度频率直方图趋于一光滑曲线：概率密度例子：例子：1 1、灯泡（电视机）的寿命；、灯泡（电视机）的寿命； 2 2、股票的收益率等。、股票的收益率等。背景背景:1、概率密度的定义、概率密度的定义 1. ()0. 2. ()=1. 3. , (), (), : ()(.)bafxfx dxa bRabP aXbfXfxXfxXx dx 设设是是随

3、随机机变变量量, , 如如果果存存在在非非负负可可积积函函数数满满足足则则称称为为连连续续型型随随机机变变量量, ,称称为为成成的的概概率率密密度度立立说明：说明：f(xf(x) )、x x轴所围曲边梯形面积等于轴所围曲边梯形面积等于1 1一、概率密度定义及性质一、概率密度定义及性质(重点重点)PaXPaXbb 等于等于 f(xf(x) )、x x轴、直线轴、直线x=ax=a、x=bx=b所围曲边梯形面积所围曲边梯形面积改变改变f(xf(x) )在个别点的值，不影响在个别点的值，不影响Pa 1 10 00 00 0f f( (x x) )= =求求任任取取 只只 至至少少有有1 1只只寿寿命命

4、大大于于的的概概率率x x0 0 其其它它若若已已知知一一元元件件寿寿命命大大于于1 15 50 00 0小小时时, ,则则其其 寿寿命命大大于于2 20 00 00 0小小时时的的概概率率是是多多少少? ?1500(1,2,3,4) i i解解: : X X为为连连续续型型随随机机变变量量, , 设设A A第第 个个元元件件寿寿命命大大于于iidx1 15 50 01 1+ +0 0( (1 1) ) P P = =P P( (X X 1 15 50 00 0) )f f( (x x) )= = 210001000231500 + +1 15 50 00 0= =xxdx1 14 44 4i

5、 i4 42 22 23 3P P( (A A ) ) = =( (2 2) ) P P = =P P P P( (X X 1 15 5A A0 0( (A A) )= =A A0 0) ) A A2441000162381)( ) + +1 15 50 00 0= =( (xdx3 31 12 23 34 4( (3 3) ) P P = =P P( (A AA AA AA A ) )44441i1i4 4=1-P(A ) =1-1-P(A )=1-P(A ) =1-1-P(A )1-1-P(X1500)1-1-P(X1500)= =4 4280280381381=1-1- =1-1- =4

6、 4P P( (X X 2 2( (4 4) ) 所所求求0 00 00 0| |X X 概概1 1率率为为 P P = =5 50 00 0) ) 4 4P P( () )P PP P = =P P X X 1 15 50 00 0 X X 1 15 50 00 0 X X 2 20 00 00 0 P P X XX X 2 2 1 10 00 00 0 5 50 00 0 2 2+ +1 10 00 00 0 x x2 20 00 00 0P P X X 1 15 50 00 0 dx1234 2 23 31 12 23 34 41 1- -P P( (A A ) )P P( (A A )

7、 )P P( (A A ) )P P( (A A= =) )1. 均匀分布均匀分布xo)(xf a b10,( ),( , ),( , ).axbXf xbaXa bXU a b设设连连续续型型随随机机变变量量具具有有概概率率密密度度其其它它则则称称在在区区间间区区间间上上服服从从均均匀匀分分布布 记记为为 , ( ,)( , ), ()( )clcc lRc cla blP cXclf x dxba 对对如如果果 则则说明：说明：X X落在落在(a,b)(a,b)任子区间的概率只与区间宽度有关，与区间位置无关任子区间的概率只与区间宽度有关，与区间位置无关二、常见的连续型随机变量二、常见的连续

8、型随机变量 (重点）重点）34,).aa a3 3例例3 3 向向区区间间 0 0, ,a a 上上任任意意投投点点, , 用用X X表表示示该该点点坐坐标标. . 设设该该点点落落在在( (0 0, ,a a) )中中任任一一子子区区间间的的概概率率与与区区间间长长度度成成正正比比, ,与与区区间间位位置置无无关关. .求求: : ( (1 1) )概概率率密密度度f f( (x x) ); ; ( (2 2) )X X落落在在 的的概概率率: , X0, aU解解 根根据据题题意意(1) f( )x1 1a a 0 0 x x a a= =0 0 其其它它 ()fx dx3 3a a4 4

9、a a3 3a a3 3a a3 34 4( (2 2) ) P P( (X X ) )= = dx3 3a a4 4a a3 31 11 15 5a a5 5a aa a1 12 21 12 2 例例4 4 随机变量随机变量X X 服从服从(2(2，5)5)上均匀分布，现对上均匀分布，现对X X 进行进行3 3次独次独立重复观察，试求至少有立重复观察，试求至少有2 2次观测值大于次观测值大于3 3的概率？的概率？解：令解：令A=A=观测值大于观测值大于3353()(3)()fx dAP XxP 15-132 2 0 0, , P P X X s s+ +t t| |X X s s = =P

10、P X X t t : 简简证证P P X X s s+ +t t| |X X s s P P X X s s+ +t t= = P P X X s s （1 1）适用于各种寿命分布，如电子元件寿命、动物寿命、通话时间等）适用于各种寿命分布，如电子元件寿命、动物寿命、通话时间等 ( (s s+ +t t) )t ts s- - - -e ee e= = =P P = =e eX X t t 如如X X表示元件的寿命，即元件对它已使用过的表示元件的寿命，即元件对它已使用过的s s小时没有记忆小时没有记忆()()0,()1f xf xf x dx+ +- -( (2 2) ) 概概率率密密度度满满

11、足足: : : , 0,1,2,3,4,5, Yb(5, p)Y解解 根根据据题题意意可可能能取取值值251101(1)0.517P YP Ye (10)( )pP Xf x dx+ +1 10 0 52xedxe+ +1 15 51 10 0 2255()() (1) (k=0,1,2,3,4,5)kkkP YkCee 5155() 0( )0 01051.xXexf xxYYP Y 例例 考考研研题题目目顾顾客客到到银银行行窗窗口口等等待待服服务务时时间间 服服从从指指数数分分布布, ,其其概概率率密密度度为为某某顾顾客客在在窗窗口口等等待待服服务务, ,若若超超过过分分钟钟, ,他他就就

12、离离开开. .他他一一月月到到银银行行 次次, ,以以 表表示示一一月月内内他他未未等等到到服服务务而而离离开开的的次次数数, , 求求 的的分分布布律律, , 并并求求 /10011006(38,5) (), 0( ) (1) 2000 ; (2)3200.xPXexf x例例例例某某种种电电子子元元件件的的寿寿命命以以小小时时计计 服服从从指指数数分分布布其其概概率率密密度度求求元元件件寿寿命命至至少少为为小小时时其其它它的的概概率率将将 只只这这种种元元件件联联接接成成为为一一系系统统, ,设设系系统统工工作作的的方方式式是是至至少少2 2只只元元件件失失效效时时系系统统失失效效, ,又

13、又设设3 3只只元元件件工工作作相相互互独独立立. .求求系系统统寿寿命命至至少少为为小小时时的的概概率率:(1) 200()P Xf x dx2 20 00 0解解(2)20032200系系统统寿寿命命至至少少小小时时元元件件中中至至少少有有 只只寿寿命命大大于于小小时时223pP YP YP Y/10021100 xedxe2 20 00 03200Y设设 为为 元元件件中中寿寿命命大大于于小小时时的的个个数数2(3, )Ybe则则 222223423() (1)()(32)0.05Ceeeee1 1、例子：、例子： 某大学男学生身高的频率直方图某大学男学生身高的频率直方图红线红线是拟合的

14、正态分布概率密度曲线，身高服从正态分布是拟合的正态分布概率密度曲线，身高服从正态分布各人身高不等，但中等身材者占大多数，特高和特矮的只是少数，各人身高不等，但中等身材者占大多数，特高和特矮的只是少数，且较高和较矮的人占比大致相近，这正是正态分布的特点。且较高和较矮的人占比大致相近，这正是正态分布的特点。（三）正态分布（重点）（三）正态分布（重点） （1 1）某零件的测量误差、规格大小重量等；）某零件的测量误差、规格大小重量等；其它例子：其它例子：（2 2）一个地区男人、女人的身高、体重）一个地区男人、女人的身高、体重, ,学生的考试成绩学生的考试成绩；（3 3）资产（或投资组合）的收益率。）资

15、产（或投资组合）的收益率。22(2)2, , (0), X1 , ( )2xf xeXx 如如果果连连续续型型随随机机变变量量的的概概率率密密度度为为为为常常数数则则称称服服从从正正态态分分布布X X( (, ,记记N N作作: :) ). .2 2、定义：、定义：0, 1, (0,1)XN 时时 221: ( )2xxe 概概率率密密度度1dx+ +- -f f( (x x) )满满 足足 概概 率率 条条 件件 : : f f( (x x) )0 0, , f f x x) ) ( ( 说明：说明：, , xtxtdxdt - -证证明明( (2 2) ): : 令令则则222222222

16、2, ttuutIedtIedteduedtdu + + + + + +- - - - - -记记则则222rredrd 2 2+ +0 00 022()2221()212txfx dxedtxed + +- -+ + +- - -222I0, tedt + +- -由由于于()1fx dx + +- -课堂练习课堂练习.151510.3 3 设设公公汽汽车车站站每每分分钟钟有有一一辆辆汽汽车车通通过过，乘乘客客在在分分钟钟内内到到车车站站是是等等可可能能的的，乘乘客客候候车车时时间间超超过过分分钟钟的的概概率率1 各设备工作相互独立，发生故障的概率都是各设备工作相互独立，发生故障的概率都是0

17、.01。一台设备的。一台设备的故障由一人处理。求故障由一人处理。求: (1)3名维修工负责名维修工负责90台设备，求出现故障不台设备，求出现故障不能及时修理的概率；能及时修理的概率；(2)现有现有300台设备，至少应配多少维修工，台设备，至少应配多少维修工，才保证出现故障时不能及时维修的概率小于才保证出现故障时不能及时维修的概率小于0.01？(泊松近似泊松近似). 1000,(10001200).XXPX 2 2 某某型型号号电电子子管管的的寿寿命命 服服从从指指数数分分布布, ,如如果果它它的的平平均均寿寿命命小小时时 写写出出 的的概概率率密密度度 计计算算1. 各设备工作相互独立，发生故

18、障的概率都是各设备工作相互独立，发生故障的概率都是0.01。一台设备的。一台设备的故障由一人处理。求故障由一人处理。求: (1)3名维修工负责名维修工负责90台设备，求出现故障不台设备，求出现故障不能及时修理的概率；能及时修理的概率；(2)现有现有300台设备，至少应配多少维修工，台设备，至少应配多少维修工，才保证出现故障时不能及时维修的概率小于才保证出现故障时不能及时维修的概率小于0.01?解：解：(1)设设X为为90设备中同时发生故障的台数，设备中同时发生故障的台数，X b (90, 0.01)3909003130 010 991: ()().* .kkkkCP XP X所所求求概概率率

19、0 9900 01, ., , .nppn可可用用 = =0 0. .9 9的的泊泊松松分分布布近近似似 0 93003110 98709013.!().kkekP X (2) 设设X为为300台设备同时发生故障的台数，台设备同时发生故障的台数，XB(n, p)，n=300, p=0.01设配备设配备N个维修工，所求的是满足个维修工，所求的是满足P(XN) 0.01的最小的的最小的N. 3003000()1()1(0.01) (0.99)NkkkkP XNP XNC 330010.01 330.99!kkNNkkeekk 上上式式n大，大，p小，小，np=3，用，用 =np=3的泊松近似的泊松

20、近似查泊松分布表查泊松分布表，最小，最小N=8。至少配。至少配8名维修工。名维修工。1,015()150 ,xp x其其 它它(015) .XXU解解: : 用用表表示示乘乘客客的的候候车车时时间间，则则，.151510.3 3 设设公公汽汽车车站站每每分分钟钟有有一一辆辆汽汽车车通通过过，乘乘客客在在分分钟钟内内到到车车站站是是等等可可能能的的，乘乘客客候候车车时时间间超超过过分分钟钟的的概概率率 1510151dx31155 10(10)( )P Xp x dx)()(bdcaabcddXcP 或由或由.)1510()10(得结果得结果 XPXP本节重点总结本节重点总结一、概率密度的定义及

21、性质。一、概率密度的定义及性质。三、均匀分布、指数分布的定义及计算。三、均匀分布、指数分布的定义及计算。(1) a : (2) P(0.5x1.5), P(X=1). 备备选选1 1 设设随随机机变变量量X X的的概概率率密密度度为为a ax x 0 0 x x 1 1值值; ;f f( (x x) )= =2 2- -x x 1 1x x 2 2求求0 0 其其它它1dx- -解解: : ( (1 1) ) 由由规规范范性性, , f f( (x x) ) 12011 a ax x( (2 2- -x x) )dxdx1222112201(2)1 a=1 axxx78dxddxx 1 11 1. .5 50 0. .1 10 0. .5 51 1. .5 55 5( (2 2) ) P P( (0 0. .5 5X X 1 1. .5 5) )= =f f( (x xx x( (2 2- -x x) ) )P P ( ( X X = = 1 1 ) ) = = 0 0