1214有限元讲稿第四章四面体单元rev2

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1、第四章第四章 弹性结构静力分析弹性结构静力分析October 9, 2004第四章-1工程数值模拟技术有限元分析方法第四章第四章 弹性结构静力分析弹性结构静力分析October 9, 2004第四章-2工程数值模拟技术有限元分析方法q在工程实际中，许多问题结构形式复杂都难以简化为平面或轴对称问题，必须在工程实际中，许多问题结构形式复杂都难以简化为平面或轴对称问题，必须按三维问题（空间）进行求解。按三维问题（空间）进行求解。在三维问题中，最简单的单元是具有四个角点的在三维问题中，最简单的单元是具有四个角点的四面体单元四面体单元。下面介绍这种单元的位移模式和单元刚度矩阵。下面介绍这种单元的位移模式

2、和单元刚度矩阵。 三维四面体单元三维四面体单元oxyzijmp第四章第四章 弹性结构静力分析弹性结构静力分析October 9, 2004第四章-3工程数值模拟技术有限元分析方法q如图表示一个四面体单元，如图表示一个四面体单元，节点编号为节点编号为(i,j,m,p)。这是最早提出的、也是最简单这是最早提出的、也是最简单的三维空间单元的三维空间单元。每个节点有三个位移分量：。每个节点有三个位移分量： i i=u ui i, v, vi i, , w wi i q每个单元共有每个单元共有1212个自由度（位移分量），个自由度（位移分量），可表示为：可表示为： e e= i i, , j j, ,

3、m, m, p p 假设单元内部的任一点位移可表示为坐标的假设单元内部的任一点位移可表示为坐标的线性插值函数，则有：线性插值函数，则有： oxyzijmpzayaxaawzayaxaavzayaxaau121110987654321第四章第四章 弹性结构静力分析弹性结构静力分析October 9, 2004第四章-4工程数值模拟技术有限元分析方法q将节点节点坐标和位移分量代入上式可得：将节点节点坐标和位移分量代入上式可得： 解上述线性方程组，求出解上述线性方程组，求出系数系数( (a a1 1,a,a2 2,a,a3 3,a,a4 4) )代入上式可得：代入上式可得：oxyzijmpppppm

4、mmmjjjjiiiizayaxaauzayaxaauzayaxaauzayaxaau4321432143214321ppmmjjiiuNuNuNuNu同理可得同理可得v,wv,w得位移关系为：得位移关系为： ppmmjjiippmmjjiiwNwNwNwNwvNvNvNvNv第四章第四章 弹性结构静力分析弹性结构静力分析October 9, 2004第四章-5工程数值模拟技术有限元分析方法qN Ni i(i,j,m,p(i,j,m,p) )为三维四面体单元得形函数。具体表达式如下：为三维四面体单元得形函数。具体表达式如下： qV V为四面体为四面体i,j,m,pi,j,m,p的体积，由下行列

5、式确定：的体积，由下行列式确定： oxyzijmp为保证四面体的体积计算为正值，为保证四面体的体积计算为正值，单元的节点编号必须满足一定的顺单元的节点编号必须满足一定的顺序。序。在右手坐标系中，当节点按在右手坐标系中，当节点按i ij jm m的方向转动时，右手螺旋的方向转动时，右手螺旋应向节点应向节点p p的方向前进。的方向前进。),(61),(61),(61),(61zdycxbaVNzdycxbaVNzdycxbaVNzdycxbaVNpppppmmmmmjjjjjiiiii,111161pppmmmjjjiiizyxzyxzyxzyxV 第四章第四章 弹性结构静力分析弹性结构静力分析O

6、ctober 9, 2004第四章-6工程数值模拟技术有限元分析方法q三维四面体单元节点位移分量可表示为：三维四面体单元节点位移分量可表示为： 式中式中， e e=u ui i, v, vi i, , w wi i, , u uj j, , v vj j, , w wj j, u, um m, , v vm m, w, wm m, u, up p, , v vp p, , w wp p T T，为单为单元节点位移列阵，元节点位移列阵， I 为三阶单位矩阵。为三阶单位矩阵。由于位移模式是线性函数，因此在相邻单元边界上满足位移连续条件。由于位移模式是线性函数，因此在相邻单元边界上满足位移连续条件。

7、 epmjieNININININwvuf 第四章第四章 弹性结构静力分析弹性结构静力分析October 9, 2004第四章-7工程数值模拟技术有限元分析方法q由弹性力学可知，在三维空间问题中，每个节点有六个应变与应力分量。由弹性力学可知，在三维空间问题中，每个节点有六个应变与应力分量。根据根据几何方几何方程应变列阵可表示为程应变列阵可表示为： q将形函数代入上式，可得：将形函数代入上式，可得： TzxyzxyzzyyxxTzuxwywzvxvyuzwyvxuepmjieBBBBBq于是应变矩阵为于是应变矩阵为 BB，其其中子矩阵中子矩阵 B Bi i 为为6 6 3 3的矩阵的矩阵： ),(

8、,00000000061pmjibdcdbcdcbVBiiiiiiiiii可以看出，矩阵可以看出，矩阵 BB中的元中的元素均为常量，所以单元的素均为常量，所以单元的应变分量都是常应变。应变分量都是常应变。第四章第四章 弹性结构静力分析弹性结构静力分析October 9, 2004第四章-8工程数值模拟技术有限元分析方法q利用物理方程（应力利用物理方程（应力- -应变关系），单元应力可用节点位移表示为：应变关系），单元应力可用节点位移表示为： q其中，弹性矩阵其中，弹性矩阵 DD具有如下形式：具有如下形式： 注意单元应变分量为常量，应力分量也为常量，这种单元称为常应变单元。注意单元应变分量为常量

9、，应力分量也为常量，这种单元称为常应变单元。 eTzxyzxyzzyyxxBDD)1 (2210)1 (22100)1 (221000100011000111)21)(1 ()1 (ED对称对称第四章第四章 弹性结构静力分析弹性结构静力分析October 9, 2004第四章-9工程数值模拟技术有限元分析方法q三维条件下单元刚度矩阵普遍公式为：三维条件下单元刚度矩阵普遍公式为： q将矩阵将矩阵 BB和和 DD代入上式，由于这些矩阵元素均为常量，很容易推导出：代入上式，由于这些矩阵元素均为常量，很容易推导出：k=BTDBV 或写成分块形式：或写成分块形式： dxdydzBDBkTpppmpjpi

10、mpmmmjmijpjmjjjiipimijiikkkkkkkkkkkkkkkkk第四章第四章 弹性结构静力分析弹性结构静力分析October 9, 2004第四章-10工程数值模拟技术有限元分析方法q其中，子矩阵其中，子矩阵krs由下式确定：由下式确定： 式中，式中，g1= /(1- )，g2=(1-2 )/2(1- )。 ),( ,)()()()21)(1 (36)1 (221212121221212pmjisrccbbgddcdgdcgbdgdbgdcgcdgdbgbdgddbbgcccbgbcgbcgcbgddccgbbVEVBDBksrsrsrsrsrsrsrsrsrsrsrsrsr

11、srsrsrsrsrsrsrsrsTrrs第四章第四章 弹性结构静力分析弹性结构静力分析October 9, 2004第四章-11工程数值模拟技术有限元分析方法q当单元内作用体积力：当单元内作用体积力： q=q=q qx x, , q qy y, , q qz z T T并且并且体积力为常数体积力为常数时，可由下式求的时，可由下式求的节点节点i,j,m,pi,j,m,p的等效载荷为：的等效载荷为： 其中其中V V为单元的体积，即为单元的体积，即三个方向的体积力都平均分配到单元的四个节点上三个方向的体积力都平均分配到单元的四个节点上。 ,4zyxepemejeiqqqVRRRR第四章第四章 弹性

12、结构静力分析弹性结构静力分析October 9, 2004第四章-12工程数值模拟技术有限元分析方法q由前面的讨论可知，由前面的讨论可知，单元形函数（位移模式）的确定是建立有限元法计算单元形函数（位移模式）的确定是建立有限元法计算公式的关键公式的关键，也即如何选择单元内部位移的近似插值函数。，也即如何选择单元内部位移的近似插值函数。q在建立单元的位移模式时，可以采用在建立单元的位移模式时，可以采用结构的整体坐标系结构的整体坐标系，也可以采用，也可以采用单元单元的局部坐标系，即通过坐标变换，将坐标原点选择在单元上的局部坐标系，即通过坐标变换，将坐标原点选择在单元上。q利用利用单元局部坐标系，可获

13、得推导单元形函数的一般方法，进而建立单元局部坐标系，可获得推导单元形函数的一般方法，进而建立“等等参单元参单元”的概念。的概念。“等参数单元等参数单元”是一种构造单元近似插值函数的方法。是一种构造单元近似插值函数的方法。 q“等参单元等参单元”是有限元法中应用最为广泛的单元是有限元法中应用最为广泛的单元，即适用于，即适用于线性单元线性单元，也很，也很容易推广到容易推广到二次单元二次单元，容易推广于，容易推广于直线和曲线边界直线和曲线边界等各种复杂问题。等各种复杂问题。q为了介绍为了介绍“等参元等参元”的概念的概念，首先分析一下，首先分析一下单元形函数的性质单元形函数的性质，即在确定形，即在确定

14、形函数，应满足那些基本准则。函数，应满足那些基本准则。 第四章第四章 弹性结构静力分析弹性结构静力分析October 9, 2004第四章-13工程数值模拟技术有限元分析方法q单元形函数是定义于单元内部坐标的连续函数，为保证有限元解的收敛于精单元形函数是定义于单元内部坐标的连续函数，为保证有限元解的收敛于精确解，它应满足以下条件：确解，它应满足以下条件： 1 1）在单元节点上有：在单元节点上有：N Ni i=1=1；N Nj j=0=0，（，（j j i i）；）；2 2）用形函数定义的位移模式在相邻单元边界是连续的，即函数单值和连续性；用形函数定义的位移模式在相邻单元边界是连续的，即函数单值

15、和连续性；3 3）形函数应包含任意的线性项，以保证单元位移能够满足常应变条件；）形函数应包含任意的线性项，以保证单元位移能够满足常应变条件；4 4）对某一单元，全部节点的形函数和为）对某一单元，全部节点的形函数和为1 1： N Ni i=0=0。 q以以点、直线、平面为边界的规则形状的单元称为点、直线、平面为边界的规则形状的单元称为“基本单元基本单元”，把固定在单，把固定在单元上的元上的无量纲坐标系称为无量纲坐标系称为“自然坐标系自然坐标系”，也称为定义在单元上的，也称为定义在单元上的“局部坐标局部坐标系系”，仅在单元内有意义，仅在单元内有意义-1-1+1+1，-1-1+1+1，如图所示。，如

16、图所示。 o =0 =+1 =-112o 87654321o 12345678一维单元一维单元二维单元二维单元三维单元三维单元第四章第四章 弹性结构静力分析弹性结构静力分析October 9, 2004第四章-14工程数值模拟技术有限元分析方法q与基本单元相对应，以与基本单元相对应，以点、曲线、曲面为边界的不规则形状单元称为点、曲线、曲面为边界的不规则形状单元称为“实际单实际单元元”，将固定的直角坐标系称为，将固定的直角坐标系称为“整体坐标系整体坐标系”或或“基本坐标系基本坐标系”。实际单元定。实际单元定义在整体坐标系中，如图所示。义在整体坐标系中，如图所示。oyxooxxyyz1212345

17、67812345678一维单元一维单元二维单元二维单元三维单元三维单元第四章第四章 弹性结构静力分析弹性结构静力分析October 9, 2004第四章-15工程数值模拟技术有限元分析方法q由于局部坐标系和基本单元形式简单，其形函数也容易构造，我们希望在获得由于局部坐标系和基本单元形式简单，其形函数也容易构造，我们希望在获得基本单元形函数基本单元形函数的条件下，的条件下，通过一定的坐标变换转换为整体坐标中实际单元的形通过一定的坐标变换转换为整体坐标中实际单元的形函数函数。q在单元局部坐标系中在单元局部坐标系中，利用插值函数很容易构造形函数。，利用插值函数很容易构造形函数。如图所示，两种如图所示

18、，两种一维一维基本单元基本单元，对线性单元有，对线性单元有2 2个节点个节点 1= -1、 2=1，形函数为：，形函数为：21,2121NNo =0 2=+1 1=-112o 3=0 2=+1 1=-1123对二次单元有对二次单元有3个节点个节点 1= -1、 2=1、 3=0，形函数为：形函数为： 23211,21,21NNN一次单元一次单元二次单元二次单元第四章第四章 弹性结构静力分析弹性结构静力分析October 9, 2004第四章-16工程数值模拟技术有限元分析方法q如图示，二维基本单元是如图示，二维基本单元是平面内的正方形平面内的正方形。局部坐标系原点位于正方形的中。局部坐标系原点

19、位于正方形的中心处，心处，单元边界是单元边界是4 4条直线。对平面线性单元有条直线。对平面线性单元有4 4个节点个节点，形函数为：，形函数为： o 4321线性单元线性单元),1)(1 (41),1)(1 (41),1)(1 (41),1)(1 (414321NNNNq特别注意：特别注意：因形函数中存在二次项因形函数中存在二次项项项，实际上已，实际上已不是严格的线性函数。不是严格的线性函数。 第四章第四章 弹性结构静力分析弹性结构静力分析October 9, 2004第四章-17工程数值模拟技术有限元分析方法q如图示，二维基本单元是如图示，二维基本单元是平面内的正方形平面内的正方形。局部坐标系

20、原点位于正方形的中。局部坐标系原点位于正方形的中心处，心处，单元边界是单元边界是4 4条直线。对平面二次单元有条直线。对平面二次单元有8 8个节点个节点，形函数为：，形函数为： 二次单元二次单元o 87654321),1)(1 (21),1)(1 (21),1)(1 (21),1)(1 (2128272625NNNN),1)(1 (41),1)(1 (41),1)(1 (41),1)(1 (414321NNNN第四章第四章 弹性结构静力分析弹性结构静力分析October 9, 2004第四章-18工程数值模拟技术有限元分析方法q上述单元几何形状规则，运算简单，但显然不适用于实际结构复杂形式。为

21、上述单元几何形状规则，运算简单，但显然不适用于实际结构复杂形式。为此，我们可以此，我们可以通过坐标变换方式，将局部坐标系的基本单元转换为整体坐标通过坐标变换方式，将局部坐标系的基本单元转换为整体坐标系的实际单元。系的实际单元。q为进行这种变换，必须在为进行这种变换，必须在局部坐标系和整体坐标系之间建立必要的联系局部坐标系和整体坐标系之间建立必要的联系，借，借助于助于单元形函数就可单元形函数就可以建立这种联系以建立这种联系。第四章第四章 弹性结构静力分析弹性结构静力分析October 9, 2004第四章-19工程数值模拟技术有限元分析方法q对整体坐标系中对整体坐标系中一维单元一维单元，若，若实

22、际单元的节点坐标为实际单元的节点坐标为( (x xi i, , y yi i, , z zi i) )，则单元内则单元内部任一点的坐标部任一点的坐标( (x,yx,y) )可由下式确定：可由下式确定： miiimiiimiiizNzyNyxNx111)()()()()()(q其中，其中，N Ni i为该单元的形函数，为该单元的形函数，( (x,y,zx,y,z) )为实际单元内部任一点整体坐标，为实际单元内部任一点整体坐标，( (x xi i,y,yi i,z,zi i) )为实际单元节点整体坐标，为实际单元节点整体坐标，m m为该单元的节点数为该单元的节点数。q利用形函数的性质可以证明，利用

23、形函数的性质可以证明，当局部坐标当局部坐标 从从-1-1变化到变化到+1+1时，整体坐标时，整体坐标( (x,y,zx,y,z) )从节点从节点1 1变化到节点变化到节点m m，即上述关系式建立了单元局部坐标与整体坐标之间的一一即上述关系式建立了单元局部坐标与整体坐标之间的一一对应映射关系对应映射关系。 第四章第四章 弹性结构静力分析弹性结构静力分析October 9, 2004第四章-20工程数值模拟技术有限元分析方法q如图示的如图示的平面二次一维单元平面二次一维单元，局部坐标与整体坐标间的变换关系为：，局部坐标与整体坐标间的变换关系为： q容易看出，容易看出，当当 =-1=-1时代入上式，

24、可得时代入上式，可得( (x,yx,y)=(x)=(x1 1,y,y1 1) )； =0=0时，时，( (x,yx,y)=(x)=(x3 3,y,y3 3) )； =+1=+1时，时，( (x,yx,y)=(x)=(x2 2,y,y2 2) )； 当当-1-1 +1第四章第四章 弹性结构静力分析弹性结构静力分析October 9, 2004第四章-24工程数值模拟技术有限元分析方法q三维空间问题应变和位移的关系为：三维空间问题应变和位移的关系为：zuxwywzvxvyuzwyvxuzxyzxyzzyyxxq将位移插值函数代入上式，得到：将位移插值函数代入上式，得到： emeBBBBB321第四

25、章第四章 弹性结构静力分析弹性结构静力分析October 9, 2004第四章-25工程数值模拟技术有限元分析方法q其中子矩阵其中子矩阵 B Bi i 为：为： xNzNyNzNxNyNzNyNxNBiiiiiiiiii000000000第四章第四章 弹性结构静力分析弹性结构静力分析October 9, 2004第四章-26工程数值模拟技术有限元分析方法q单元形函数是用单元形函数是用局部坐标局部坐标给出的，根据给出的，根据复合偏微分法则复合偏微分法则，可得：，可得： q同理可得同理可得 N Ni i/ /， N Ni i/ /，合并起来写成矩阵形式：合并起来写成矩阵形式： zzNyyNxxNN

26、iiiizNyNxNJzNyNxNzyxzyxzyxNNNiiiiiiiiiq上式中上式中矩阵矩阵 JJ称为称为雅可比矩阵雅可比矩阵( (Jacobi)Jacobi)，可由可由坐标变换公式求出坐标变换公式求出，即：，即： 第四章第四章 弹性结构静力分析弹性结构静力分析October 9, 2004第四章-27工程数值模拟技术有限元分析方法q矩阵矩阵 JJ称为称为雅可比矩阵雅可比矩阵( (Jacobi)Jacobi)，可由可由坐标变换公式求出坐标变换公式求出，即：，即： 222111112121zyxzyxNNNNNNzNyNxNzNyNxNzNyNxNzyxzyxzyxJiiiiiiiiiii

27、iiiiiii第四章第四章 弹性结构静力分析弹性结构静力分析October 9, 2004第四章-28工程数值模拟技术有限元分析方法q对矩阵对矩阵 JJ求逆后，可得到形函数在整体坐标中的导数为：求逆后，可得到形函数在整体坐标中的导数为： iiiiiiNNNJzNyNxN1q在在局部坐标系局部坐标系中，形函数形式比较简单，但经过坐标变换后，中，形函数形式比较简单，但经过坐标变换后，形函数一般很形函数一般很用整体坐的显式函数将等参元的位移函数表示出来用整体坐的显式函数将等参元的位移函数表示出来，因此，通常很难判断等参，因此，通常很难判断等参元中应变和应力的分布规律。元中应变和应力的分布规律。q为保

28、证为保证等参元坐标变换计算有效等参元坐标变换计算有效，即，即雅可比矩阵雅可比矩阵 JJ-1-1的逆存在的逆存在，等参元的形，等参元的形状应比较均匀，越接近状应比较均匀，越接近正六面体越好正六面体越好，反之计算误差越大。，反之计算误差越大。 第四章第四章 弹性结构静力分析弹性结构静力分析October 9, 2004第四章-29工程数值模拟技术有限元分析方法q根据三维条件下单元刚度矩阵公式：根据三维条件下单元刚度矩阵公式： q进行分块后，子矩阵为：进行分块后，子矩阵为： dxdydzBDBkTdxdydzBDBksTrrsq利用坐标变换，将利用坐标变换，将整体坐标积分整体坐标积分dxdydzdx

29、dydz变换为局部坐标积分变换为局部坐标积分，根据微分矢量，根据微分矢量计算可得：计算可得：dxdydz=det(J)d d d 其中，其中，det(Jdet(J) )表示雅可比矩阵的行列式的值表示雅可比矩阵的行列式的值，代入上式可得：，代入上式可得： 111111111111),()det(dddGdddJBDBkTrrs第四章第四章 弹性结构静力分析弹性结构静力分析October 9, 2004第四章-30工程数值模拟技术有限元分析方法q如上所述，计算等参元刚度矩阵时，如上所述，计算等参元刚度矩阵时，由于被积函数的复杂性，只能采用数值由于被积函数的复杂性，只能采用数值积分代替函数积分积分代

30、替函数积分，即在，即在单元积分区域中选择某些点，称为积分点单元积分区域中选择某些点，称为积分点，计算被，计算被积积函数函数G( , , )在这些积分点的函数值在这些积分点的函数值，然后用加权系数乘以这些函数值，进行，然后用加权系数乘以这些函数值，进行求和作为该积分的近似值。求和作为该积分的近似值。q数值积分方法很多，可参见有关计算方法的专著。数值积分方法很多，可参见有关计算方法的专著。在等参元计算中，广泛采在等参元计算中，广泛采用高斯用高斯(Gauss)积分法积分法，这种方法可以用较少的积分点达到较高的计算精度。，这种方法可以用较少的积分点达到较高的计算精度。 第四章第四章 弹性结构静力分析弹

31、性结构静力分析October 9, 2004第四章-31工程数值模拟技术有限元分析方法q首先介绍一维高斯积分公式：首先介绍一维高斯积分公式： 式中，式中，f( i)为为被积函数被积函数f在积分点在积分点 i处的函数值处的函数值，Hi是是加权系数，加权系数，n为为积分点数积分点数目。目。q在在未知被积函数形式未知被积函数形式的情况下，高斯积分公式的情况下，高斯积分公式假设被积函数假设被积函数f( )为多项式形为多项式形式式进行求解。进行求解。q对于对于n个积分点个积分点，可以选择，可以选择Hi和和 i的的2n个常数个常数，当，当f( )为为2n-1次多项式次多项式时，时，高斯积分公式给出精确积分

32、值高斯积分公式给出精确积分值。 q如如n=2积分点积分点，则有，则有4个常数个常数 H1和和H2、 1和和 2；当当f( )为为3次多项式次多项式时，高时，高斯积分公式给出精确积分值。斯积分公式给出精确积分值。, )()(111niiifHdfI第四章第四章 弹性结构静力分析弹性结构静力分析October 9, 2004第四章-32工程数值模拟技术有限元分析方法q如取如取2个积分点：个积分点：n=2 q假设被积函数假设被积函数f( )为三次多项式为三次多项式，则有：，则有： ),()()(221111fHfHdfI,)(332210ccccfq求出上式的准确积分为：求出上式的准确积分为： 20

33、11332210322)(ccdccccI202211322)()(ccfHfH2032322221023132121101322)()(ccccccHccccH第四章第四章 弹性结构静力分析弹性结构静力分析October 9, 2004第四章-33工程数值模拟技术有限元分析方法q对任意给定的对任意给定的ci多项式多项式，保证上式成立的条件是，保证上式成立的条件是对应对应ci的系数相等的系数相等，则有：，则有： q求解上述方程可得：求解上述方程可得： , 0,32, 0, 2322311222211221121HHHHHHHH00. 1,5773502692. 0312121HH),57735

34、. 0()57735. 0()(11ffdfIq所以所以2 2个积分点的高斯积分公式为：个积分点的高斯积分公式为： 第四章第四章 弹性结构静力分析弹性结构静力分析October 9, 2004第四章-34工程数值模拟技术有限元分析方法);1 , 1(),(;)()(212;)(baxbaabxabbaxdxxfIbaq如果积分限时如果积分限时(a(a，b)b)进行变量替换：进行变量替换： ),57735. 0()57735. 0()(11ffdfI第四章第四章 弹性结构静力分析弹性结构静力分析October 9, 2004第四章-35工程数值模拟技术有限元分析方法q利用一维高斯积分公式，利用一

35、维高斯积分公式，很容易导出二维及三维高斯积分公式，只需分别对很容易导出二维及三维高斯积分公式，只需分别对各自变量应用一维高斯积分公式即可各自变量应用一维高斯积分公式即可。列出二维高斯积分公式为：。列出二维高斯积分公式为： q同理可得，三维高斯积分公式为：同理可得，三维高斯积分公式为： , ),(),(21111111 njnijiijfHHddfI, ),(),(321111111111 nknjnikjiijkfHHHdddfI第四章第四章 弹性结构静力分析弹性结构静力分析October 9, 2004第四章-36工程数值模拟技术有限元分析方法q详细介绍了详细介绍了求解弹性结构承受载荷作用求

36、解弹性结构承受载荷作用的的有限元计算公式的推导过程有限元计算公式的推导过程。q对平面问题：对平面问题：三角形单元：平面应力三角形单元：平面应力 平面应变，平面应变，线性单元、常应变单元线性单元、常应变单元 可用于求解各种平面受力问题；可用于求解各种平面受力问题； 六节点三角形单元六节点三角形单元，平面应力，平面应力， 平面应变，二次单元平面应变，二次单元 q热应力分析计算思路和有限元公式：等效热载荷；平面应力，平面应变。热应力分析计算思路和有限元公式：等效热载荷；平面应力，平面应变。q对轴对称问题：对轴对称问题：三角形单元，线性单元三角形单元，线性单元，q对三维问题：对三维问题：四面体单元四面体单元，线性单元，线性单元，q等参单元：等参单元：形函数的特点，形函数的定义；形函数的特点，形函数的定义； 坐标变换与位移模式选择相同的形函数，坐标变换与位移模式选择相同的形函数， 适应一维、二维和三维单元，线性单元，二次单元；适应一维、二维和三维单元，线性单元，二次单元； 单元刚度矩阵用高斯数值积分计算，没有具体表达式，单元刚度矩阵用高斯数值积分计算，没有具体表达式， 刚度矩阵计算精度依赖于高斯积分公式所选的积分点数刚度矩阵计算精度依赖于高斯积分公式所选的积分点数。