数学物理方程：第3章　波动问题的行波法

《数学物理方程：第3章　波动问题的行波法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学物理方程：第3章　波动问题的行波法（21页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、- 63 -第3章波动问题的行波法第3章波动问题的行波法§3.1二阶线性方程的分类与化简本节讨论：两个自变量方程的分类与化简，多个自变量方程的分类与化简 两个自变量方程的分类与化简二阶方程的一般形式二阶变系数方程可写为 (3.1.1)式中：、为、的函数，为低阶导数项。公式关于二阶导数项为线性的，即称方程为准线性的。若关于及其、为线性的，则称方程为线性的。方程的变换为了简化上述方程，作可逆变换：， (3.1.2)代入方程中，不难得到： (3.1.3)式中： (3.1.4) (3.1.5) (3.1.6)我们化简的目的是使得二次项的项数尽量少，并且值尽量为简单（如或）。顾及的表达式，取关

2、于的一阶非线性偏微分方程 (3.1.7)若该方程有解、，则及；公式大大简化了。特征方程满足上述要求的方程是存在的。不妨设（或，否则已经为简化形式），有如下定理：若是一阶常微分方程 (3.1.8)或是 (3.1.9)的一个一般积分，则为关于的一阶非线性偏微分方程的一个特解。其中：。定理的证明是容易的，故略去。定义：一阶常微分方程称为二阶方程的特征方程，其解称为方程的特征曲线。方程的分类记若对点使得，称方程为双曲型方程。特例：以波动方程为代表；若对点使得，称方程为抛物型方程。特例：以传导方程为代表；若对点使得，称方程为椭园型方程。特例：以调和方程为代表。方程的化简现分别对三类二阶数学物理方程进行讨

3、论。双曲型：当时，特征方程有两根、；取及代入方程中，容易得到并且；此时方程可化为 (3.1.10)这就是双曲型方程的第二种标准形式。如果再作变换、则得 (3.1.11)这就是双曲型方程的第一种标准形式，即标准形式。式中为含及其一阶导数项。抛物型：当时，特征方程仅有一根，取一任意等定函数；作及代入方程中易得并且；选择函数使得。此时方程可化为 (3.1.12)这就是抛物型方程的标准形式。椭园型：当时，特征方程有共轭复根；作及代入方程中易得并且。此时方程可化为 (3.1.13)这就是椭园型方程的标准形式。若作及代入方程中易得并且。此时方程可化为 (3.1.14)再作变换及，容易得到 (3.1.15)

4、即为椭园型方程的标准形式。例著名的特里苛米方程：可以证明：当时方程为双曲型方程，当时方程为椭园型方程。事实上，方程的特征方程为；当时，特征曲线为与对方程作变换与则原方程化为为双曲型方程。类似地可讨论时的情况。 多个自变量方程的分类与化简多维方程的分类与化简二阶数学物理方程（二阶项）为；式中 (3.1.16)作可逆变换：，则： (3.1.17)式中：。采用二次型记法，即、，则：作变换，使得；其中或。记为及其一阶导数项，为已知函数，为阶拉普拉斯算子。有以下结果：若矩阵为正定或负定，即所有的同号，则方程称为椭园型方程，方程可写为。若矩阵为欠定（退化）的，有个，则方程称为抛物型方程。又若矩阵为欠定，有

5、一个且其余的同号，则方程称为狭义抛物型方程，即。若矩阵为非退化且不定的，有一个与其它的异号，则方程称为双曲型方程，即。若有个与其它的异号，则方程称为超双曲型方程，则。§3.2一维柯西问题的行波法本节讨论：达朗贝尔公式与物理意义，非齐次方程问题与特征值问题的行波法。行波法又称为通解法。 即先求方程的通解，再利用定解条件将通解变为定解问题的解。通解法也可用于一维波动方程，本书不作介绍。达朗贝尔公式 无界弦的自由振动问题可表述为一维波动问题： (3.2.1)作自变量的代换，利用复合函数的微分法将化为：并将它两端分别积分得： (3.2.2)将初始条件代入可求得： (3.2.3)将以上结果代入

6、中，有 (3.2.4)这就是无界弦的自由振动问题的解。该公式称为达朗贝尔公式。不难看出，当定解条件为齐次条件时，问题的解为零。例1求解定解问题：解：若将达朗贝尔公式中的改为，即作即可，此时方程的解为特别，定解问题有解：。例2定解问题：解：原问题有解：或写为达朗贝尔公式的物理意义首先，设只有初始位移时其解为 (3.2.5)式中第一项，在时刻位置为处的波形为，而在任意时刻位置为处的波形也为。它表明当观察者以速度沿轴的正向运动中随时可看到相同形状的波；或者说波和观察者一样以速度沿轴的正向运动，称波为图3.1 函数的依赖区间正行波。反之称波为反行波。正行波与反行波的叠加构成弦的位移。由达郎贝尔公式，解

7、在点的值由初始条件在区间内的值决定，称区间为点的依赖区域，在平面上，它可看作是过点，斜率分别为的两条直线在轴上截得的区间。图3.2 函数的依赖区间、决定区域、影响区域当只有初速度时，问题的解为。记，则。可见它仍是正行波与反行波的叠加。因此：达朗贝尔解表示沿x 轴正、反向传播的两列波速为a波的叠加，故称为行波法。特征值问题 达朗贝尔公式是初值问题的解，以下给出另一个用行波法求解的例子，即特征值问题：； 其中： (3.2.6)该问题仍然为初值问题，条件称为相容性条件。初始时刻满足与。简要求解如下，由代入初始条件得： 即： (3.2.7)故有： (3.2.8)容易求得图3.3 特征线的四边形 (3.

8、2.9)上式表明，任意特征四边形中两对角点上值的和相等。如果只在两条特征线上的一段和上给出了的值，则可确定四边形上其它点的值。例3 定解问题的解由公式得定解问题的解由公式得一维非齐次波动方程的初值问题 定解问题 (3.2.10)令，可将此定解分解成下面两个定解问题：， (3.2.11)前一问题的解可由达朗贝尔公式给出： (3.2.12)对于后一问题应用齐次化原理，即设是柯西问题 (3.2.13)的解，则是后一问题的解。则一维非齐次波动方程的初值问题问题的解为 (3.2.14)§3.3半无界波动问题的行波法本节讨论：半无界弦振动问题的行波法，三维波动方程的球面波解。以下给出另几个用行波

9、法求解波动方程混合问题的例子。图3.4 第三问题示意图第三问题：(3.3.1)本例不是初值问题，它有一个边界条件和一个初始条件，但初始时刻与位置相关。简要求解如下，由代入定解条件（顾及了与）得： (3.3.2)即 故有： (3.3.3)本例中边界条件为第一类的，类似地可求得本问题中边界条件为第二类与第三类边界条件时的解。混合问题： （其中） (3.3.4)解：这是一个端点固定的波动问题，即第一边值问题。由达朗贝尔公式图3.5 混合问题示意图 (3.3.5)还满足，即。由函数及的任意性知，它们均为奇函数。将它们延拓（该方法称为延拓法）到整个实数轴上，即， (3.3.6)原问题可重写为。该问题的解

10、为达朗贝尔公式： (3.3.7)即 (3.3.8)公式表明：当波以初值向两边传播时，左行波遇到边界时产生反射的右行波（反射波）。反射的右行波比初始的右行波迟到达任意处。容易验证 (3.3.9)有解 (3.3.10)它的解与混合问题的解一道（叠加）构成一般混合问题的解。考虑非齐次方程的问题： (3.3.11)有结论。当时 (3.3.12)当时，(3.3.13)进一步考虑上述定解问题的端点条件为非齐次的问题，即： (3.3.14)处理方法是：（一）将其端点条件转化为齐次边界条件的形式；（二）是化为两个定解问题。读者自己完成。例4：解下列问题的初边值问题： 解法一：令则：当时：当时：故： =解法二：

11、1）当时：2）当时例5 定解问题的解为同理，定解问题的解为。三维波动方程的球面波解 球面对称的波动问题可以用球坐标写为： (3.3.15)方程写为 (3.3.16)作代换（去掉一阶项）则化为 (3.3.17)所以有解 (3.3.18)则用行波法可得问题的解为： (3.3.19)一些高阶波动方程的通解 举例如下：例6 求解定解问题：解 方程的通解为同理可得的解为例7 求方程的通解。由于，故再积分得：同理可求得的通解为。§3.4高维波动问题的行波法本节讨论：三维波动方程的泊松公式，二维波动方程的行波法 三维波动方程的泊松公式 三维波动方程的柯西问题可用如下定解问题描述：问题： (3.4.

12、1)该问题的求解一般采用球面平均法，即利用函数在球面上的平均值作为过度量来解该定解问题，因此该方法也称为“平均值方法”。球面上的平均值：引入函数 (3.4.2)它称之为函数在球面上的平均值。这里为以点为圆心以为半径的球面；为球面上的面元，且；其表面积为。显然有，在球心处有。可见，若求得球面上的平均值，然后就可求得中心点的值。泊松积分公式： 由上节，三维波动方程的通解为 (3.4.3)那么球面上的平均值：(3.4.4)也满足通解，即： (3.4.5)图3.6 泊松公式示意图将函数对与求导得：(3.4.6) (3.4.7)两式相加得。若上述在关系式中取时得，即： (3.4.8)另一方面，将的积分式

13、代入中得： (3.4.9)令，由边界条件有 (3.4.10)为求得，顾及式，则取得： (3.4.11)此式称为三维波动方程解的泊松公式。式中，为以点为圆心以为半径的球面上的动点，且可表示为 (3.4.12)若顾及则有： (3.4.13)泊松公式的物理意义泊松公式表明，三维波动方程的柯西问题在点时刻的值是由以点为中心以为半径的球面上的初始值而确定的。或者说它是由于初始值以速度在时刻内从球面向球内点移动产生的结果。例1求解定解问题：解由三维波动方程解的泊松公式与有将代入有求以上积分并取得例2求解定解问题： 解由三维波动方程解的泊松公式与有将代入得对上式积分得 二维波动方程的行波法 作为泊松公式的应

14、用，二维波动方程的求解方法可类似进行。二维波动方程的柯西问题可描述为： (3.4.14)降维法：为求解二维问题的解，可借助泊松公式 (3.4.15)这里、为二维函数。将上式改写为图3.7 降维法示意图 (3.4.16)被积函数是二维函数，但积分区域为球面。可把球面积分化为二重积分，即作投影（如右图）将球面投影到平面上变为园，则 (3.4.17)式中顾及了上下两个半球面的投影。为以点为中心以为半径的园，为积分微元至的距离。将写成直角坐标形式(3.4.18)或写为 (3.4.19)这就是二维波动方程柯西问题的解（行波法），公式也称为二维波动方程柯西问题的泊松公式。二维泊松公式的物理意义首先，上述积

15、分中，每一个积分都在中心为半径为的园上进行。三维方程的解是泊松公式，二维问题的解也是形式相同的泊松公式；三维问题的解为球面平均值的“函数”，而二维问题的解形式相同，但不具有（圆周上的）平均值的任何含义。弥射现象问题的解随着时间的推移不断衰减（减小），它表明波传业时有清晰的波前信息，却无明确的波后表现，这种现象称为波的弥射现象。也被认为二维波的传播有后效现象。例3求解问题的解。解由二维波动方程解的公式与，采用柱坐标，当即时或者说当即时§3.5非齐次波动问题的克西霍夫公式本节讨论：非齐次方程的克西霍夫公式。非齐次波动方程柯西问题解的及克希霍夫公式是泊松公式的又一应用。三维柯西问题可描述为

16、： (3.5.1)由叠加原理，该问题分为下列二定解问题之和。（A），（B） (3.5.2)定解问题（A）的解可用泊松公式表示为 (3.5.3)对定解问题（B）的解也可由齐次化原理求得。事实上，定解问题 (3.5.4)有解 (3.5.5)则定解问题（B）的解可写为 (3.5.6)设即代入得 (3.5.7)令，它为球坐标系中的体元，则定解问题（B）的解可写为 (3.5.8)上式中为以点为中心以为半径的球体。因此非齐次波动方程柯西问题解为 (3.5.9)此式称为求解三维非齐次波动方程解的克西霍夫公式。习题三 求下列初值问题的解：； ； 求解（古沙）定解问题： 求下列方程的通解； ；，提示：令；，提示：令。 解初值问题： 利用泊松积分公式求解如下定解问题；