(完整版)高三数学第一轮复习测试及详细解答(8)——圆锥曲线

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1、4 1 高三数学第一轮复习单元测试(7)圆锥曲线 、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中 ，只有一项是 符合题目要求的) 之比等于 1- 3 A . 2 B . 3 C . 2 D . 4 2 4.与y轴相切且和半圆x 寸4(0 x 2)内切的动圆圆心的轨迹方程是 3 2 1 1 A . B . C . D .- 4 3 2 4 2 2 2 2.若抛物线y 2px的焦点与椭圆 x y p的值为 ( ) 6 2 A. 2 B . 2 C . 4 D 4 1 若椭圆经过原点，且焦点为F1(11O),F2(31O)贝淇离心率为 ( ) 2 2 3.已知双

2、曲线3x y 9，则双曲线右支上的点 P 到右焦点的距离与点 P 到右准线的距离 A . 2 y 4(x 1)(0 x 1) 2 B . y 4( x 1)(0 x 1) C. 2 y 4(x 1)(0 x 1) 2 D . y 2(x 1)(0 x 1) 5.直线 y 2k与曲线9k2x2 2 y 18k2 (k R,且k 0)的公共点的个数为 ( A . 1 2 6.如果方程 P B. 2 C. 3 D. 2 / 1 表示曲线，则下列椭圆中与该双曲线共焦点的是 q 7. 曲线 x2 2q p q 2 2 x y 2p q q 2 2 x y B. D. A . 双曲线 10 m 6 焦距相

3、等 2 mx 1(m 6)与曲线 5 B .离心率相等 1的虚轴长是实轴长的 2 X 2q p 2 X 2p q 2 y_ q 2 汁1(5 m 9 m C.焦点相同 2 倍，则m C. 4 1 I 9)的 D .准线相同 1 D.- 4 4 C . 2 ( ) -2 - 9.设过点P x, y的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于 A P 关于y轴对称，O为坐标原点，若 BP 2PA，且OQ AB 1,贝U P点的轨迹方程是B两点，点Q与点 ( ) -3 - 亠 2 3 2 1 x 0,y 0 2 3 2 0,y 0 A . 3x -y B. .3x y 1x 2 2 c 3 2 C .

4、 x 2 3y2 1 x 0,y 0 D 3 2 2 x2 3y2 1 2 x 0,y 0 10抛物线y 2 x 上的点到直线 4x 3y 8 0距离的最小值是 (） 4 7 8 .3 A . B C D 3 5 5 11. 已知抛物线 x2 y 1上 .宀片 定点 A( 1,0）和两动点P,Q当PA PQ是，点Q的横坐标的 取值范围是 ( ) A.(, 3 B . 1, ) C .3,1 D .( ,3U1,) x2 2 y_ 1椭圆 1上有n个不同的:P1, Pn，椭圆的右焦F，数列| PnF | 4 3 1 差大于 的等差数列，则n的最大值为 （ ） 100 A . 199 B. 200

5、 C. 198 D. 201 、填空题（本大题共 4 小题,每小题 4 分，共 16 分.把答案填在题中的横线上） 2 2 13椭圆 12 3 么| PF |是IPF2I的 2 2 14.如图把椭圆 + = 1 的长轴 AB 分成 8 等 25 16 分于 P1,P2,P7七个点,F 是椭圆的焦点，则|P1F|+|P2F|+|P?F|= _ 15 要建造一座跨度为 16 米,拱高为 4 米的抛物线拱桥，建桥时，每隔 4 米用一根柱支撑，两边 的柱长应为 _. 16已知两点M （ 5,0）, N（5,0）,给出下列直线方程：5x 3y 0;5x 3y 52 0 ; x y 4 0 则在直线上存在

6、点 P满足| MP | |PN | 6的所有直线方程是 _ .（只 1的两个焦点为 F1, F2，点P在椭圆上如果线段PF1的中点在y轴上，那 分,过每个分点作 x 轴的垂线交椭圆的上半部 ( ) -4 - 填序号）-5 - 三、解答题(本大题共 6 小题，共 74 分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分)学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验 .设计方案如图: 2 2 航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为 1，变轨(即航天器运行轨迹由 100 25 (1) 求以 F1、F2为焦点且过点 P 的椭圆的标准方程； (2) 设点 P、F1、F2关于直线

7、y = x 的对称点分别为 P、可、F2，求以 F；、F?为焦 点且过点P椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以 y轴为对称轴、 64 为顶点的抛物线的实 线部分，降落点为 D(8, 0).观测点A(4, 0)、B(6, 0)同时跟踪航天器 (1) 求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程； (2) 试问：当航天器在 x轴上方时，观测点 A、B 测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天 器发出变轨指令？ 18.(本小题满分 12 分)已知三点 P (5, 2)、F1 (- 6, 0)、 F2 (6, 0)。 -6 - 的双曲线的标准方程.-7 - 1 19. （本小题满分 12 分）已知椭圆的中心在原

8、点 ，离心率为一，一个焦点是F（ m,O）（m为大 2 于 0 的常数）. （1） 求椭圆的方程； umu uuur （2） 设Q是椭圆上一点，且过点F,Q的直线l与y轴交于点M ,若|MQ | 2|QF |,求直 线I的斜率. 2 X 20. （本小题满分 12 分）已知点 代B分别是椭圆 36 的右焦点.点P在椭圆上，且位于x轴的上方，PA PF . （1）求点P的坐标； （2）设M椭圆长轴AB上的一点，M至煩线AP的距离等于|MB |,求椭圆上的点到点 M的距离d的最小值.2 1长轴的左、右端点，点F是椭圆 20 - 8 - 21. (本小题满分 12 分)已知抛物线 y 8x,是否存在

9、过点 Q(1,1)的弦AB,使AB恰被Q平 分若存在，请求AB所在直线的方程；若不存在，请说明理由 22. (本小题满分 14 分)设x, y R,i,j为直角坐标平面内x, y轴正方向上的单位向量，若向 量 a xir (y 2)r ,b xi (y 2)j，且 |；| |b| 8. (1) 求点 M (x,y) 的轨迹 C 的方程 ； uuur uuur uuur (2) 过点(0,3)作直线l与曲线C交于A,B两点，设OP OA OB，是否存在这样的直线I , 使得四边形OAPB是矩形？若存在,求出直线l的方程;若不存在,试说明理由.-9 - 答案与解析(7) 1. C .原点到FI,F

10、2的距离之和是长轴长 2a 4,又2c 2,所以椭圆的离心率 e - -. a 2 2 x 2. D .椭圆一 2 y 1的右焦点为 2 (2,0), 所以抛物线 2 y 2px的焦点为(2,0)，贝U p 4 , 故选 D. 3.答案选 C 依题意可知 a - 3,c a2 b2 3 9 2 3 , 2，故选 C. 4. A 设动圆圆心为 M (x, y)，动圆与已知半圆相切的切点为 A,点M到y轴的距离为d，则有 | OA| |OM | d，而 d x,所以 2 . x2 y2 x,化简得 y2 4(x 1)(0 x 1). 5. D将 y 2k代入 9k2x2 y2 18k2 x 得：9

11、k2x2 4k2 18k2 x _ 2 _ 一 9| x| 18x 4 0，显然该关于| x|的方程有两正解，即 x 有四解，所以交点有 4 个，故选择答案D . 6. D 由题意知，pq 0若p 0,q 0,则双曲线的焦点在 y轴上，而在选择支 A,C 中椭圆 的焦点都在x轴上，而选择支 B,D 不表示椭圆； 若p 0,q 0,选择支 A,C 不表示椭圆，双曲线的半焦距平方 c2 p q ,双曲线的焦点 在x轴上，选择支 D 的方程符合题意.2 2 x -10 - 1(5 m 9)知该方程表示焦点在 y 轴上的双曲线，故只能选择答案 A. & A . 一看带参，马上戒备：有没有说哪个轴是实轴

12、？没说，至少没有明说。分析一下，因 为等号后为常数“ + ”，所以等号前为系数为“ + ”的对应实轴。y2的系数为“ + ”，所以 这个双曲线是“立”着的。接下来排除 C、D 两过于扯淡的选项 一一 既然说是双曲线， “x2”与“ y2”的系数的符号就不能相同 在接下来是一个“坑儿”：双曲线的标准形式 2 2 2 2 x_ y_ 1 y_ 1 是a2 b2 或a2 b2 ( a,b )，题目中的双曲线方程并不是标准形式，所以要 y2 1 。由题意，半虚轴长的平方：半实轴长的平方 =4. 选 A .当然，我们也可以不算，只利用半虚轴比半实轴长 10 m 1(m 6)知该方程表示焦点在 x 轴上的

13、椭圆，由 x2 1/ |m| 变一下形儿， 1 :1 4 即lml ，所以 即可直接把答案 A 圈出来 变成 uuu 3 AB ( x,3 y),由点 2 UULT UUU 3 OQ AB ( x,3y) Q与点P关于y轴对称知， 3 2 2 (x,y) -x2 3y2 1(x UUU Q( x, y) , OQ = ( x, y)，则 0,y ) 2 2 x -11 - 9.D.由 BP 3 2PA及A, B分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上知，A(?x,0), B(0,3 y), 2 2 2 即 (1 x1 捲)(x2 为，x2 x( ) 0 1 . A .抛物线上任意一点( |4t 3t

14、2 8| 2 d t )到直线的距离 5 |3t2 4t 8| 5 .因为 42 9 所以3t 4t 8 0恒成立.从而有 3t 4t min 2 11. D 由题意知，设P(X1,X1 1),Q(X2,X2 1),又因为 A( 1,0)，由 PA UUU UUUT PQ 知,PA PQ 0, 2 2 2 (1 xj (X2 xj (1 为)(X2 X1 ) 0，因为X1 x2,且 x 1,所以上式化简得 X2 Xi 16 y 2 y_ 时,y 15. 1 米 x2 Xi (1 Xi) 1,由基本不等式可得 X2 1或X2 3. 1 、 12. D .由题意知，要使所求的n最大应使|RF |最

15、小,|PnF |最大，又 F为椭圆的右焦点，设 Pn的横坐标为 Xn故由第二定义可得,| PnF | a exn,其中a 2,e】，所以当为 2时, 2 | RF I 1 ,当Xn 2时，I RF I 3最大.由等差数列的通项公式可得， 13.7 倍.由已知椭圆的方程得 a 2 3,b 3,c 3,斤(3,0), F2(3,0).由于焦点R和F? 关于y轴对称，所以PF2必垂直于X轴.所以 运 73 I 2 73 2 A/3 “于叫亍円(3 3)2 J)2 _2，所以1旳7|呵. 14. 35. 设 P1(X1,y1),P2(X2,y2),P7(X7,y7),所以根据对称关系 X1+X2+ +

16、X7=0,于是 |P1F|+|P2F|+ +|P7F|=a+ex1+a+ex2+a+ex7=7a+e(x1+x2+x7)= 7a=35,所以应填 35. |RF | |RF | (n 1)d,即n - 1,又因为d丄,解得n 201. d 100 2 py(p 0),又抛物线的跨度为 16,拱高为 4,所以点(8,-4)为抛物线上的点，所以p 8.即抛物线方程为 x2 16y .所以当x 4 1，所以柱子的高度为 1 米. 5 4,所以直线与双曲线无交点；直线与直线平行，且在y轴上的截距为 52故 3 3 3 -8 - 由题意可知，0 4 与双曲线的右支有两个交点；直线的斜率1 ，故与双曲线的

17、右支有一个交点 3 2 64 17. (1)设曲线方程为 y ax , 64 a 64 . 7 由题意知，设抛物线的方程为 16 . 2 X 由| MP | |PN | 6可知点P在双曲线 9 1的右支上，故只要判断直线 与双曲线右支的交点个数.因为双曲线的渐近线方程为 -x，直线过原点且斜率 3 1 7 -13 - F( m,0), M (0,km) 由 定 比分点 曲线方程为y -x2 64. 7 7 (2)设变轨点为C(x, y)，根据题意可知 2 x 2 y 1, (1) 一 100 25 1 2 64 2 得4y 7y 36 0, y -x ,7 7 (2) y 4或y 9 4 (不

18、合题意，舍去) y 4. 得 x 6或x 6 (不合题意，舍去) C点的坐标为(6, 4), | AC | 2.5, |BC| 4. 答：当观测点 A、B测得AC、BC距离分别为2 .5 4时，应向航天器发出变轨指令 2 2 18. (1)由题意，可设所求椭圆的标准方程为 笃+每 1 (a b 0)，其半焦距c 6。 a b 2aPF, I PF2 I 1 12 22 、12 22 6.5, / a 3 5 , 2 2 b2 a2 c2 45 36 9，故所求椭圆的标准方程为 + 1; 45 9 (2)点 P (5, 2)、F1 (- 6, 0)、F2 ( 6, 0)关于直线 y= x 的对称

19、点分别为： 2 2 2 2 2 y X d s a1 36 20 16，故所求双曲线的标准方程为 - 1. 20 16 _ 2 2 a 2m,b 3m.故所求椭圆的方程为：- 1. 4m2 3m2 uuiu uur (2 )设 Q(XQ, yo),直线 l: y k(x m),则点 M (0,km) 当 MQ 2QF 时，由于 P (2,5)、F1 (0, -6)、F2 (0, 6) 2 2 设所求双曲线的标准方程为 W 1 (a1 a1 b1 2a1 |PF1| | PF2| 九_F 存 0,bi 22 0)，由题意知半焦距 C1 6 , 4 5, a1 2.5 , 2 2 19 . (1

20、)设所求椭圆方程为：仔七1(a b a b 0).由已知得:c c m,- a -,所以 2 14 - 4 2 k2 2 于是-2 mr 1，解得k 0 故直线I的斜率为 0 或2、6 . 4m 3m uuu mu 20. (1)由已知可得点 A( 6,0), F(0,4),设点 P(x, y),则 AP (x 6, y) , FP (x 4,y), 2 x 2 y 1 36 20 由已知可得 (x 6)(x 4) y2 0 .则 2x2 9x 18 0解得x 3,或x 6 .由于 2 y 0只能x 3 5、3 丄 3 5J3 于y .所以点 P 的坐标是(一， ). 2 2 2 2 (2)直

21、线 AP的方程是 x 、.3y 6 0.设点M(m,0),则M至煩线 AP的距离是 m 6| , om 6| 2 .于是 - 1 |m 6|,又 6 m 6,解得m 2.椭圆上的点(x, y)到点 2 M 的距离 d 有 d2 (x 2)2 y2 x2 4x 4 20 - x2 4(x -)2 15,由于 9 9 2 6 x 6,所以当x -时,d取得最小值 15. 2 21 假设存在这样的直线,则直线的斜率一定存在，设为k，点A(X1, %), B(X2, y2)在抛物线上 8x1 (y1 y2) ,两式作差得,(y1 y2)(w y) 8(花 x?),即( y) 1 - 解得 0 2m 2

22、 m, yQ 1 2 3 UULU k 2、. 6.当 MQ km 0 1 2 mur 2QF 时, 1 km .又点Q在椭圆上 3 XQ 0 ( 2) ( m) 2 2 2 4m km ，所以一 答 1, 4m 3m c km , 2m, yQ km. 丫。1 2 2 所以y1 2 y2 8, 15 - 8x2 人 X2 解得k 4,故直线方程为y 1 4(x 1),即y 4x 3.经验证,直线符合条件. 22. (1) 由 |a| |b| 8得，x2 (y 2)2 . x2 (y 2)2 8 4,设 R(0, 2)应0,2)则 动点M满足| MF1 | IMF2I 8 4 IF1F21 ,

23、所以点M在椭圆上，且椭圆的16 2 2 a 4，c 2，b 23所以轨迹C的方程为y 12 1. (2 )设直线的斜率为 k ,则直线方程为 y kx 3,联立方程组 y kx 3 y2 x2 肖去y 1 16 12 得：(4 3k2)x2 18kx 21 (18k)2 84(4 3k2) 0 恒成立，设 A(xi, yi), B(X2,y2),则 Xi X2 形OAPB为平行四边形 4 .若存在直线 18k l ,使四边形 21 uur 2 .由 AP 4 3k2 OAPB为矩形，则OA OB,即 uuu OB ,所以四边 uun mu OA OB X1X2 yy 2 (1 k )X1X2 3k(X1 X2) 9 0,解得 k 线I的方程为y 5 X 3,此时四边形OAPB为矩形.