2017年分类讨论思想专题

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1、序篇线段中分类讨思想的应用线段及端点位置的不确定性引发讨论。例1已知直线AB上一点C，且有CA=3AB，则线段CA与线段CB之比为_3：2_或_3：4_。ABC1C2 练习：已知A、B、C三点在同一条直线上，且线段AB=7cm，点M为线段AB的中点，线段BC=3cm，点N为线段BC的中点，求线段MN的长.解析：(1)点C在线段AB上： (2)点C在线段AB的延长线上 例2下列说法正确的是（ ）A、 两条线段相交有且只有一个交点。B、如果线段AB=AC那么点A是BC的中点。B、 两条射线不平行就相交。D、不在同一直线上的三条线段两两相交必有三个交点。与角有关的分类讨论思想的应用角的一边不确定性引

2、发讨论。例3在同一平面上，AOB=70，BOC=30，射线OM平分AOB，ON平分BOC，求MON的大小。（20或50） 练习 已知,过O作一条射线OC，射线OE平分，射线OD平分，求的大小。（1）射线OC在内（2）射线OC在外这两种情况下，都有小结：（对分类讨论结论的反思）为什么结论相同？虽然的大小不确定，但是所求的与的大小无关。我们虽然分了两类，但是结果是相同的！这也体现了分类讨论的最后一个环节总结的重要性。三角形中分类讨论思想的应用1、三角形的形状不定需要分类讨论 例4、 在ABC中，B25，AD是BC上的高，并且，则BCA的度数为_。解析：因未指明三角形的形状，故需分类讨论。如图1，当

3、ABC的高在形内时，由， 得ABDCAD，进而可以证明ABC为直角三角形。由 B25。可知BAD65。所以BCABAD65。 如图2，当高AD在形外时，此时ABC为钝角三角形。由，得ABDCAD所以BCAD25BCACADADC25901152、等腰三角形的分类讨论： a、在等腰三角形中求边：等腰三角形中，对给出的边可能是腰，也可能是底边，所以我们要进行分类讨论。例5、已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于_。练习若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm和12cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。简析：已知条件并没有指明哪一部分是9cm，哪一部分是12cm，因此，应有两种情

4、形。若设这个等腰三角形的腰长是cm，底边长为cm，可得或解得或即当腰长是6cm时，底边长是9cm；当腰长是8cm时，底边长是5cm。b、在等腰三角形中求角：等腰三角形的一个角可能指底角，也可能指顶角，所以必须分情况讨论。例6、已知等腰三角形的一个内角为75则其顶角为（ ）A. 30B. 75C. 105D. 30或75练习1、等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45，求这个等腰三角形的顶角的度数。简析：依题意可画出图1和图2两种情形。图1中顶角为45，图2中顶角为135。2、在ABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50，则底角B=_。3、直角三角形中，直角边和斜边

5、不明确时需要分类讨论例7、 已知x，y为直角三角形两边的长，满足，则第三边的长为_。4、相似三角形的对应角(或边)不确定而进行的分类。ACBP例8、如图所示，在中，是的中点，过点的直线交于点，若以为顶点的三角形和以为顶点的三角形相似，则的长为（ ）例2 等腰三角形腰上的高是腰的一半，则该角的度数为.例3 已知BD、CE是ABC的高，直线BD、CE相交所成的角中有一个是50，则BAC_.例4 菱形有一内角为120，有一条对角线为6cm，则此菱形的边长为_cm.按图形的位置分类（如坐标系中点的位置，点与直线的位置关系）例5 在平面直角坐标系中，点A（2,5）B（3，1），C（1，1），请你再找一个

6、点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形.请写出点D的坐标为 .例6 已知在ABC中，AC6，BC8，AB10，ABC绕点B顺时针旋转至ABC的位置，使A、B、C三点在一条直线上，则AA.例7 如图，第一象限的点A在反比例函数的图象上，过A作AB轴，垂足为B，连结AO，已知AOB的面积为4，(1)求反比例函数的解析式；(2)若点A的纵坐标为4，过点A的直线与轴交于点P(异于点0)，且APB与AOB相似，求所有符合条件的点P的坐标.1. 已知A（0,0），B（0,3）两点，在坐标平面内确定某点的坐标，使顺次连接三点所组成的图形是等腰直角三角形（请作出图形，并在图上标出各顶点的坐标）.O

7、DCBA2. 如图，已知正方形ABCD的边长为2，O为BC边的中点，若P为DC上一动点，连结BP，过点O作直线lBP交AB（或AD）于点Q（1）设DPt（0t2），直线l截正方形所得左侧部分图形的面积为S，试求S关于t的函数关系式（2）当点Q落在AD（不含端点）上时，问：以O、P、Q为顶点的三角形能否是等腰三角形？若能，请指出此时点P的位置；若不能，请说明理由例、已知：点A（-1，0），B(0，3)，作直线 x =1，在直线 x =1上找一点P,使ABP 为等腰三角形，并求出P点坐标。二、学以致用变式1 在直线 x =1上是否存在点Q，使ABQ是直角三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不

8、存在，请说明理由 .2、已知在矩形ABCD中，AB=4，BC=，O为BC上一点，BO= ，如图所示，以BC所在直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系，M为线段OC上的一点（1）若点M的坐标为（1，0），如图，以OM为一边作等腰OMP，使点P在矩形ABCD的一边上，则符合条件的等腰三角形有几个？请直接写出所有符合条件的点P的坐标；（2）若将（1）中的点M的坐标改为（4，0），其它条件不变，如图，那么符合条件的等腰三角形有几个？求出所有符合条件的点P的坐标；（3）若将（1）中的点M的坐标改为（5，0），其它条件不变，如图，请直接写出符合条件的等腰三角形有几个（不必求出点P的坐标）4、如图，二次

9、函数的图象经过点D(0，)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB的长为6.求二次函数的解析式；在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；在抛物线上是否存在点Q，使QAB与ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由已知一边构造等腰三角形专题等腰三角形中的分类讨论问题1：如图点A（2，1），在坐标轴上找一点B，使AOB是等腰三角形， 情形1：当OB=AB (即OA为AOB的底边)时，作OA的中垂线，和x、y轴分别交于 ， 情形2：当AB=AO(OA为腰且A为顶点)时，以A为圆心，AO长为半径画圆,情形3：当AO=OB(OA为腰且O为顶点)时，

10、以O为圆心，AO长为半径画圆，请下结论：这样的点B一共有 个.问题2：如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点已知A 、B 是两格点，如果C也是图中的格点，且使得ABC为等腰三角形，则点C的个数是( )A6 B7 C8 D9问题3：正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，在平面内确定一点P，使PAB、PBC、PCD、PDA同时为等腰三角形（保留作图痕迹，不写作法），并写出它们的坐标（看看谁能找全）课堂探究活动如图六，已知点A（-4，-2）和点B（-1，-3），以线段AB为底，作等腰ABC，使顶点C落在坐标轴上，能做几个等腰三角形？以线段AB为腰，作等腰ABC，使顶点C落在坐标轴上，

11、能做几个等腰三角形？作等腰ABC，使顶点C落在坐标轴上，能做几个等腰三角形？题后反思（注意点）： 课堂探究活动2如图七，已知直线AB与x轴交于点A(-2,0)，与y轴交于点B(0,-3)，连接AB，在坐标轴上有一点C，连接AC、BC，使ABC为等腰三角形，你能找到点C的位置吗？ 题后反思（注意点）： 课堂探究活动3如图，已知ABC中，B=90 ，AB=8cm，BC=6cm，P、Q是ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿AB方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿BCA方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒（1）当点Q在边BC上运动时，通过计算说明PQ能否把AB

12、C的周长平分？（2）当点Q在边CA上运动时，求能使BCQ成为等腰三角形的运动时间题后反思（注意点）： 【巩固练习】如图，直线和相交于点B，点A是直线上的点，在直线上寻找一点，使ABC是等腰三角形，请画出所有符合条件的等腰三角形。1. 如图所示，A、B是45网络中的格点，网格中的每个小正方形的边长为1，请在图中清晰标出使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C的位置等腰三角形存在性之夹角固定、两点动3. 如图，在ABC中，ACB=90，AC=4，BC=3动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动；动点Q同时从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，

13、另一点也随之停止运动设运动的时间为t秒，当APQ为等腰三角形时，t的值为( )4.如图，在平面直角坐标系中，AOB的三个顶点坐标分别为O(0，0)，A(4，2)，B(6，-2)，动点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度向点O运动，动点Q同时从点O出发，以每秒个单位长度的速度向点B运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动设运动的时间为t秒，当OPQ为等腰三角形时，t的值为( )4.2. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C已知点B的坐标为（8，0），若在抛物线的对称轴上存在点Q，使ACQ为等腰三角形，则点Q的坐标为( )1.如图，在ABC中，ABC=90，

14、AB=6，BC=8动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AC向点C运动；同时，动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿CB向点B运动当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒，当CPQ为等腰三角形时，t的值为( )4.如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，3），B（6，0）连接AB，E为线段OB上一点，以OE为边在第一象限内作正方形OEFG，其顶点F恰好落在线段AB上将正方形OEFG沿OB向右平移，记平移中的正方形OEFG为正方形DEFG，正方形DEFG的边EF与AB交于点M，DG所在的直线与AB交于点N，连接DM设平移的距离为t，当DMN是等腰三角形时，t的值为

15、( )4.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，且四边形OABC是矩形，OA=5，OC=3已知抛物线经过A，C两点，且与x轴交于点D，连接BD点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿DB匀速运动，同时点Q从点B出发，以同样的速度沿BAD匀速运动，当点P到达点B时，P，Q同时停止运动设运动的时间为t秒，当DPQ是等腰三角形时，t的值为( )直角三角形存在性问题1. 如图，已知点在直线上，P是x轴上一点，若ABP是直角三角形，则点P的坐标为( )解题思路：理解题意，整合信息将A，B两点坐标以及函数解析式都标注在图上分析特征有序思考，设计方案分析定点，动点：A

16、BP中，A，B是定点，P是动点；当定点A或B为直角顶点时，由于AB是定直线，可以利用求解；当动点P为直角顶点时，可以利用相似（三等角模型）或求解根据方案作出图形，有序操作如图当BAP=90时，过点A作 ，交x轴于点 ，如图当ABP=90时，过点B作 ，交x轴于点 ，如图当APB=90时，过点B作BDx轴于点D结果检验，总结作图验证，根据图形对结果进行判断；分析数据，对结果进行验证取舍2.如图，已知A（1，0），B（0，3），P是直线x=2上一点，若ABP是以AB为斜边的直角三角形，则点P的坐标为( )A.B.C.D.3.如图，已知A(0，2)，B(4，0)，点C在x轴上，CDx轴，交线段AB于

17、点D，且点D不与A，B两点重合，将ABO沿CD折叠，使点B落在x轴上的点E处设点C的横坐标为x，则当ADE为直角三角形时，x的值为( )4.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的两邻边OA，OC分别在x轴、y轴上，顶点B的坐标为（5，2），D是点A右侧的x轴上一点，E是y轴负半轴上一点，且OE=2AD=2t连接BD，BE，DE，当BDE是直角三角形时，t的值为( )OyxDEAB2C如图，一次函数的图象与二次函数的图象交于B、C两点；问：在轴上是否存在点P，使得PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由.MCBOAyx如图，抛物线与x轴交于A、B两

18、点，与y轴交于C点（1）用含m的代数式表示抛物线顶点M的坐标（，A、B两点的坐标；（2）是否存在使BCM为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明理由(二) 与等腰、直角三角形有关的几何动点题1 (08山西)如图，已知直线的解析式为，直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，直线经过B、C两点，点C的坐标为（8，0），又已知点P在x轴上从点A向点C移动，点Q在直线从点C向点B移动。点P、Q同时出发，且移动的速度都为每秒1个单位长度，设移动时间为t秒（）。（1）求直线的解析式。（2）设PCQ的面积为S，请求出S关于t的函数关系式。（3）试探究：当t为何值时，PCQ为等腰三角形？2（08

19、宁夏）如图，在边长为4的正方形中，点在上从向运动，连接交于点（1）试证明：无论点运动到上何处时，都有；（2）当点在上运动到什么位置时，的面积是正方形面积的；（3）若点从点运动到点，再继续在上运动到点，在整个运动过程中，当点 运动到什么位置时，恰为等腰三角形3 (08温州)如图，在RtABC中，A90，AB6，AC8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQBC于Q，过点Q作QRBA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动设BQx，QRy（1）求点D到BC的距离DH的长；（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）是否存在点P，使PQR

20、为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由ABCDERPHQ（第4题图）4（08兰州）如图1，是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，为原点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，（1）在边上取一点，将纸片沿翻折，使点落在边上的点处，求两点的坐标；（2）如图2，若上有一动点（不与重合）自点沿方向向点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为秒（），过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点求四边形的面积与时间之间的函数关系式；当取何值时，有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的条件下，当为何值时，以为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点的坐标yxBC

21、OADE图1yxBCOADE图2PMN5（07郴州）如图1，矩形ABCD中，AB3，BC4，将矩形ABCD沿对角线AC平移，平移后的矩形为EFGH（A、E、C、G始终在同一条直线上），当点E与C重合时停止移动平移中EF与BC交于点N，GH与BC的延长线交于点M，EH与DC交于点P，FG与DC的延长线交于点Q设S表示矩形PCMH的面积，S表示矩形NFQC的面积（1） S与S相等吗？请说明理由（2）设AEx，写出S和x之间的函数关系式，并求出x取何值时S有最大值，最大值是多少？（3）如图2，连结BE，当AE为何值时，ABE是等腰三角形6（08河南）如图，直线和x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是（-2，0）（1）试说明ABC是等腰三角形；（2）动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动设M运动t秒时，MON的面积为S 求S与t的函数关系式； 设点M在线段OB上运动时，是否存在S=4的情形？若存在，求出对应的t值；若不存在请说明理由；在运动过程中，当MON为直角三角形时，求t的值