初三数学动点问题

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1、（2015大连）如图1，在ABC中，C=90°，点D在AC上，且CDDA，DA=2，点P，Q同时从点D出发，以相同的速度分别沿射线DC、射线DA运动，过点Q作AC的垂线段QR，使QR=PQ，连接PR，当点Q到达点A时，点P，Q同时停止运动设PQ=x，PQR与ABC重叠部分的面积为S，S关于x的函数图象如图2所示（其中0x，xm时，函数的解析式不同）（1）填空：n的值为；（2）求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围【考点】动点问题的函数图象菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】（1）当x=时，PQR与ABC重叠部分的面积就是PQR的面积，然后根据PQ=，QR=PQ，求出n的值是多少即

2、可（2）首先根据S关于x的函数图象，可得S关于x的函数表达式有两种情况：当0x时，S=×PQ×RQ=x2，判断出当点Q点运动到点A时，x=2AD=4，据此求出m=4；然后求出当x4时，S关于x的函数关系式即可【解答】解：（1）如图1，当x=时，PQR与ABC重叠部分的面积就是PQR的面积，PQ=，QR=PQ，QR=，n=S=×（）2=×=（2）如图2，根据S关于x的函数图象，可得S关于x的函数表达式有两种情况：当0x时，S=×PQ×RQ=x2，当点Q点运动到点A时，x=2AD=4，m=4当x4时，S=SAPFSAQE=APFGAQEQ

3、，AP=2+，AQ=2，AQEAQ1R1，QE=，设FG=PG=a，AGFAQ1R1，AG=2+a，a=，S=SAPFSAQE=APFGAQEQ=（2）（2）（2）（2）=x2+S=x2+综上，可得S=故答案为：【点评】此题主要考查了动点问题的函数图象，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图（2015秋沙河口区期末）RtABC中，ACB=90°，BC=4，如图1，点P从C出发向点B运动，点R是射线PB上一点，PR=3CP，过点R作QRBC，且QR

4、=aCP，连接PQ，当P点到达B点时停止运动设CP=x，ABC与PQR重合部分的面积为S，S关于x的函数图象如图2所示（其中0x，xm，mxn时，函数的解析式不同）（1）a的值为4；（2）求出S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围【考点】动点问题的函数图象菁优网版权所有【分析】（1）由图2可知当x=时S=，且此时Q点在线段AB上，利用三角形面积公式即可求出a的值；（2）由Q点和R点的位置，可将整个移动过程分成三部分，借用三角形相似，找个各边的关系，分割图形，既能找出S和x之间的关系式【解答】解：（1）由图2可知，当x=时，点Q在线段AB上，且此时的S=，PR=3CP=，QR=aCP=a，QR

5、BC，S=PRQR=××a=，即27a=108，解得a=4故答案为4（2）当x=时，Q点在线段AB上，如图3，ACBC，QRBC，ACQR，ABCQBR，=QR=4CP=，PR=3CP=，BR=BCCPPR=，AC=QR=3当点Q在ACB内时，即0x时，如图1，PR=3x，QR=4x，S=PRQR=6x2当点Q在ACB外且R点在线段CB上时，如图4，此时x，且CRBC，CR=CP+PR=4x，x1=，PQRABC，Q=B，DEQ=REB（对顶角），DEQREB在RtACB中，由勾股定理可知AB=5，ACQR，EBRABC，=，RB=BCCPPR=44x，AC=3，BC=4，

6、RE=33xQE=QRRE=4x（33x）=7x3DEQREB，EBRABC，且AC=3，BC=4，AB=5，DE=QE，QD=QE，QDDES=PRQRQDDE=x2+x当点R在线段CB的延长线上时，如图5，此时CR=4xBC=4，得x1；CP=xBC=4即1x4ABCPQR，QPR=A，PBM=ABC，PBMABC，PM=PB，MB=PBPB=BCCP=4x，S=PMMB=（4x）2=x2x+综合可得：S=【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解题的关键是：（1）由图2找出S的面积，套入三角形面积公式；（2）画出图形，结合三角形相似，找到边角关系，分割图形即可（2015秋甘井子区期末）如图

7、1，矩形ABCD，动点E从B点出发匀速沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动，另一动点F同时从B点出发以3cm/s的速度沿着边BCCDDA运动，到达A点停止运动设E点运动时间为x（s），BEF的面积为y（cm2）y关于x的函数图象如图2所示（1）BC=3cm，AB=3cm，点E的运动速度是1cm/s；（2）求y关于x的函数关系及其自变量取值范围；（3）当DFE=90°时，请直接写出x的取值【考点】动点问题的函数图象菁优网版权所有【专题】探究型【分析】（1）根据图2可知，点F由B到C运动时间为1s，由C到D运动时间为1s，从而可以得到BC、CD的长即点E运动的速度；（2）由（1）可知，

8、E一直在AB边上运动，F在BC、CD、DA上运动，所以分类讨论，求出0x1、1x2、2x3时BEF的面积；（3）根据题意可知符合要求的有两种情况，分别画出相应的图形，求出对应的x的值即可解答本题【解答】解：（1）由图2可知，点F由B到C运动时间为1s，由C到D运动时间为1s，点F从B点出发以3cm/s的速度沿着边BCCDDA运动，BC=3×1=3cm，CD=3×（21）=3×1=3cm，AB=CD=3cm，设点E在1s时运动的距离为a，得a=1即点E的速度为1cm/s故答案为：3，3，1cm/s；（2）当0x1时，E、F分别在AB、BC上，BEF为直角三角形，所以

9、y=BEBF=x3x=；当1x2时，E、F分别在AB、CD上，BC的长等于BEF的高，所以y=BEBC=x3=；当2x3时，E、F分别在AB、AD上，AF为BEF的高，所以y=BEAF=x（93x）=x（3x）由上可得，；（3）当DFE=90°时，x的值是或1.5理由：当DFE=90°时，存在两种情况，第一种情况，如下图一所示，DFE=90°，B=C=90°，EFB+BEF=90°，EFB+DFC=90°，BEF=CFD，EFBFDC，即解得，x=；第二种情况，如下图二所示，由题意可得，3x3=x，得x=1.5；由上可得，当DFE=9

10、0°时，x的值是或1.5【点评】本题考查动点问题的函数图象、求函数的解析式，解题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，画出相应的图形，利用数形结合的思想进行解答（2015秋高新区期末）如图1，在ABC中，ACB=90°，AC=3cm，BC=4cm，点D为AB中点，连结CD，动点P、Q从点C同时出发，点P沿BC边CBC以 2a cm/s的速度运动；点Q沿CA边CA以 a cm/s的速度运动，当点Q到达点A时，两点停止运动，以CQ，CP为边作矩形CQMP，当矩形CQMP与CDB重叠部分的图形是四边形使，设重叠部分图形的面积为y（cm2）P、Q两点运动时间为t（s），在点P由C

11、B过程中，y与t的图象如图2所示（1）求a、m的值；（2）求y与t的函数关系式，并写出t的取值范围【考点】相似形综合题；动点问题的函数图象菁优网版权所有【专题】综合题；图形的相似【分析】（1）根据图象可知，当t=时，点M落在AB边上，根据BPMBCA，得到比例式，计算求出a，根据点D为AB中点，DQBC，求出m；（2）分0t、t2、2t3三种情况，根据相似三角形的性质解答即可【解答】解（1）由图象得：当t=时，点M落在AB边上，如图3所示，CP=×2a=a，CQ=a，BPMBCA，=，即=，解得：a=1，根据题意得，当QM过点D时，t=m，如图4所示，点D为AB中点，DQBC，点Q为

12、AC中点t=，m=；（2）当0t时，如图5，CD与QM的交点是点G，CQGACB，=，即=，整理得：QG=t，SCQG=tt=t2，y=2t2t2=t2，当t2时，如图5，PM与BD交点是H，BHPBAC，=，即=，HP=BP，y=SBCDSBHP=3BPBP=3BP2=3（42t）2=t2+6t3；当2t3时，同理得到y=3（2t4）2=t2+6t3【点评】本题考查的是动点问题的函数图象、相似三角形的判定和性质，正确读懂函数图象、正确运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键（2015秋中山区期末）如图1，在ABC中，A=120°，AB=AC，点P、Q同时从点B出发，以相同的速

13、度分别沿折线BAC、射线BC运动，连接PQ当点P到达点C时，点P、Q同时停止运动设BQ=x，BPQ与ABC重叠部分的面积为S如图2是S关于x的函数图象（其中0x8，8xm，mx16时，函数的解析式不同）（1）填空：m的值为8；（2）求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）请直接写出PCQ为等腰三角形时x的值【考点】动点问题的函数图象菁优网版权所有【分析】（1）根据题意求出BC的长即可（2）分三种情形0m8，8x16，8x16，分别求出APQ面积即可（3）分三种情形讨论当点P在AB上，点Q在BC上，PQC不可能为等腰三角形当点P在AC上，点Q在BC上，根据PQ=QC列出方程即可当点P在

14、AC上，点Q在BC的延长线，根据CP=CQ列出方程即可【解答】解：（1）如图1中，作AMBC，PNBC，垂足分别为M，N由题意AB=AC=8，A=120°，BAM=CAM=60°，B=C=30°，AM=AB=4，BM=CM=4，BC=8，m=BC=8，故答案为8（2）当0m8时，如图1中，在RTPBN中，PNB=90°，B=30°，PB=x，PN=xs=BQPN=xx=x2当8x16，如图2中，在RTPBN中，PC=16x，PNC=90°，C=30°，PN=PC=8x，s=BQPN=x（8x）=x2+4x当8x16时，s=8

15、（8x）=2x+32（3）当点P在AB上，点Q在BC上时，PQC不可能是等腰三角形当点P在AC上，点Q在BC上时，PQ=QC，PC=QC，16x=（8x），x=4+4当点P在AC上，点Q在BC的延长线时，PC=CQ，即16x=x8，x=8+4PCQ为等腰三角形时x的值为4+4或8+4【点评】本题考查动点问题、等腰三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是读懂图象信息，学会分类讨论的思想，属于中考常考题型（2016大连模拟）如图1，在ABC中C=90°，ACBC，正方形CDEF的顶点D在边AC上，点F在射线CB上设CD=x，正方形CDEF与ABC重叠部分的面积为S，S关于x的

16、函数图象如图2所示（其中0xm，mx2，2xn时，函数的解析式不同）（1）填空：m的值为；（2）求S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）S的值能否为？若能，直接写出此时x的值；若不能，说明理由【考点】四边形综合题菁优网版权所有【分析】（1）当0xm时，结合图形可知S=x2，把点（m，）代入可求得m的值；（2）结合图形的变换可知当mx2时，点F运动到点B，可求得BC，当x=m时，可得BEFBAC，利用相似三角形的性质可求得AC的长，当mx2，设AB分别交DE、EF于点P、Q两点，可用x分别表示出PE和QE，S=S正方形CDEFSPEQ，可得到S与x的关系式，当2xn时，设AB交DE于点

17、H，可用x表示出AP和PH，则有S=SABCSAPH，可得到S与x的关系式，从而可求得函数解析式；（3）利用（2）中所求得关系式，分别令S=，解相应的方程进行判断即可【解答】解：（1）当0xm时，如图1，则可知点F从C点运动到点E运动到AB上，S=x2，点（m，）在函数图象上，m2=，解得m=或m=（舍去），故答案为：；（2）当x2时，可知点F从E点在AB上运动到B点，BC=2，在图1中，由EFAC，BEFBAC，=，且CF=EF=，BF=BCCF=2=，=，解得AC=6，当0x时，由（1）可知S=x2；当x2时，设AB分别交DE、EF于点P、Q两点，如图2，当CD=CF=DE=EF=x时，B

18、F=2x，AD=6x，EFAC，=，即=，FQ=3（2x），QE=EFFQ=x3（2x）=4x6，同理可得=，即=，PD=（6x），PE=DEPD=x（6x）=（4x6），SPEQ=PEPQ=×（4x6）（4x6）=（4x6）2，S=S正方形CDEFSPEQ=x2（4x6）2=x2+8x6；当2x6时，即点F从B点运动到使A、D重合，设AB交DE于点H，如图3，当CD=x时，则AD=6x，同理可得=，即=，DH=（6x），SADH=DHAD=×（6x）（6x）=（6x）2，且SABC=ACBC=6，S=SABCSAPH=6（6x）2=x2+2x；综上可知S=，且0x6；（3

19、）若S=，则有三种情况，当x2=时，则x=±，当x=时显然不满足条件，当x=时，也不满足条件；当x2+8x6=时，整理可得10x248x+75=0，该方程判别式=4824×10×750，即该方程无实数解；当x2+2x=时，整理可得x212x+39=0，该方程判别式=1224×390，即该方程无实数解；综上可知S的值不能为【点评】本题为四边形的综合应用，涉及知识点有正方形的性质、相似三角形的判定和性质、一元二次方程及分类讨论等确定出正方形所运动到的位置与对应的函数图象中对应的点是解题的关键，在（2）、（3）中确定出AC和BC的长是解题的关键本题考查知识点较

20、多，综合性较强，特别是第（2）问难度较大如图1，在RtABC中，C=90°，B=30°，点P、Q同时从点C出发，以相同的速度分别沿射线CA、射线CB运动，作CPQ关于直线PQ的轴对称图形（记为CPQ）当P点到达A点时，点P、Q同时停止运动设PC=xCPQ与ABC重叠部分的面积为S，S关于x的函数图象如图2所示（其中0xm，mxn时，函数的解析式不同）且当x=m时，S=（1）填空：n的值为3+；（2）求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围【考点】动点问题的函数图象菁优网版权所有【分析】（1）0xm，mxn时，函数的解析式不同可知当x=m时，C在AB上，根据图2得出x2=，

21、求得x=3，由四边形PCQC是正方形，得出PCBC，进一步得出PCA=B=30°，解直角三角形得出AP=PC=，从而求得n=AC=3+；（2）分两种情况分别讨论即可求得【解答】解：（1）0xm，mxn时，函数的解析式不同，当x=m时，C在AB上，如图，即x2=，x=3，四边形PCQC是正方形，PCBC，PCA=B=30°，在RTAPC中，AP=PC=，n=AC=3+；故答案为3+；（2）当0x3时，CPQ在ABC内，S=x2；当3x3+时，如图AC=3+，PC=x，AP=3+x，PD=AP=3+3x，DC=x（3+3x）=（+1）x33，CE=DC=x3，SDCE=（+1）

22、x33（x3）=（x3）2，S=x2（x3）2=x2+（4+6）x69，S=【点评】本题考查了动点问题的函数图象，此题涉及的知识有：正方形的性质，直角三角函数，三角形面积以及四边形面积等，有一定的难度（2016大连）如图1，ABC中，C=90°，线段DE在射线BC上，且DE=AC，线段DE沿射线BC运动，开始时，点D与点B重合，点D到达点C时运动停止，过点D作DF=DB，与射线BA相交于点F，过点E作BC的垂线，与射线BA相交于点G设BD=x，四边形DEGF与ABC重叠部分的面积为S，S关于x的函数图象如图2所示（其中0x1，1xm，mx3时，函数的解析式不同）（1）填空：BC的长是

23、3；（2）求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围【考点】四边形综合题菁优网版权所有【分析】（1）由图象即可解决问题（2）分三种情形如图1中，当0x1时，作DMAB于M，根据S=SABCSBDFS四边形ECAG即可解决如图2中，作ANDF交BC于N，设BN=AN=x，在RTANC中，利用勾股定理求出x，再根据S=SABCSBDFS四边形ECAG即可解决如图3中，根据S=CDCM，求出CM即可解决问题【解答】解；（1）由图象可知BC=3故答案为3（2）如图1中，当0x1时，作DMAB于M，由题意BC=3，AC=2，C=90°，AB=，B=B，DMB=C=90°，BMDBCA

24、，=，DM=，BM=，BD=DF，DMBF，BM=MF，SBDF=x2，EGAC，=，=，EG=（x+2），S四边形ECAG=2+（x+2）（1x），S=SABCSBDFS四边形ECAG=3x22+（x+2）（1x）=x2+x+如图中，作ANDF交BC于N，设BN=AN=x，在RTANC中，AN2=CN2+AC2，x2=22+（3x）2，x=，当1x时，S=SABCSBDF=3x2，如图3中，当x3时，DMAN，=，=，CM=（3x），S=CDCM=（3x）2，综上所述S=【点评】本题考查四边形综合题、等腰三角形的性质、相似三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会分类讨论，正确画出图形，属于中考压轴题