矩阵的分解及应用数学与应用数学专业论文设计

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1、矩阵的分解及应用摘要一般而言，矩阵分解包括加法分解（将一矩阵分解为若干矩阵之和）及乘法分解（将一矩阵分解为若干矩阵之积）.矩阵分解的问题是伴随着求解线性方程组而提出的，许多矩阵的分解被用来求解线性方程组，来达到降低求解线性方程组解的计算复杂度的目的.此外，将矩阵分解为形式比较简单或性质比较熟悉的一些矩阵的和或乘积，这些分解式能够明显反映出原矩阵的有关数值特性，如矩阵的行列式、秩、特征值等.本文主要从矩阵分解的角度，对矩阵的初步理论进行较系统的归纳总结.首先介绍一般矩阵的加法分解和乘法分解，其次以可逆阵、对称阵、正定阵和对合阵为例讨论特殊矩阵的分解.关键词:矩阵；等价分解；相似分解；合同分解；Q

2、R分解39Decomposition and Application of MatrixABSTRACTGenerally speaking，matrix decomposition includes addition decomposition(a matrix is decomposed into the sum of several matrices)and multiplicative decomposition(a matrix is decomposed into the product of several matrices).The problem of matrix deco

3、mposition is presented with the solution of linear equations，the decomposition of many matrices is used to solve linear equations，to reduce the computational complexity of solving linear equations；in addition，the decomposition of a matrix into the sum or products of matrices that are simpler in form

4、 or more familiar in nature，these factorization equations can clearly reflect the related numerical characteristics of the original matrix，like the determinant of a matrix、rank、proper value of a matrix and so on. This paper mainly from the angle of matric decomposition，the preliminary theory of matr

5、ic is summarized systematically. Firstly，the addition and multiplication decomposition of general matrices are introduced，secondly，the decomposition of special matrices is discussed with the examples of invertible matrix，symmetric matrix，position definite matric and involute matric.Keyword：matrix；eq

6、uivalent decomposition；similar decomposition；contract decomposition；QR decomposition目录摘要1ABSTRACT2目录31 引言42 基础知识43 正文43.1 加法分解43.2 乘法分解83.3 特殊矩阵的分解204 结论31参考文献31致谢321 引言矩阵分解是指根据一定的原理将一个矩阵分解成若干矩阵乘积或若干矩阵之和，矩阵分解对矩阵理论及近代计算数学的发展起了关键的作用.矩阵分解是解决线性代数问题的重要方法，也是实现大规模数据降维处理的一种有效工具.寻求各种意义下矩阵的分解形式，对与矩阵有关的数值计算和理论

7、都有着极为重要的意义.在很多文献中，都是研究矩阵分解的某一特性或主要给出矩阵乘法分解的不同模型，却很少提及矩阵的加法分解.本文主要从矩阵分解的角度，对矩阵的初步理论进行了较系统的归纳总结.首先介绍一般矩阵的加法分解和乘法分解，其次介绍一系列特殊矩阵的分解.2 基础知识定义1 如果有级方阵，使得，则级方阵称为可逆的， 是级单位矩阵.定义2 设为级矩阵，满足条件，则称矩阵为对称矩阵.它位于主对角线两侧对称位置上的元素必对应相等，即.定义3 设为级方阵，若有，则称矩阵为反对称矩阵.它的主对角线上的元素全为，而位于主对角线两侧对称的元素反号.定义4 如果一个方阵相似于对角矩阵，即存在一个可逆矩阵使得是

8、对角矩阵，则它就被称为可对角化的.定义5 对于阶方阵，存在正整数，使得，则称为幂零矩阵.定义6 若为方阵，且，则称为幂等矩阵.定义7 若为方阵，则主对角线上所有元素之和叫做矩阵的迹，记作.3 正文3.1 加法分解3.1.1 秩1分解（实例）例1 设，其中.证明：存在秩为的矩阵，满足.证明 由于，故存在数域上级可逆阵和级可逆阵，使.令，则，且满足.3.1.2 小秩分解（实例）例2 设，其中.证明：对任意正整数，若，则存在，满足，且.小秩分解的推广：任一矩阵可分解为若干矩阵之和，使秩之和等于和之秩.例3设是数域上的矩阵，且.证明：存在数域上的个矩阵，满足：，其中且.证明: 对于数域上秩为的矩阵，存

9、在级可逆阵，以及级可逆阵，使.而可写成个矩阵的和的形式.其中表示级单位阵，.现令则，且，.3.1.3 对称反对称分解任一数域上的级方阵可以分解为一反对称阵和一对称阵之和.例4 若是级方阵，且对任意的非零向量，都有.证明存在正定矩阵及反对称矩阵，使得，并且对任意向量，都有，.证明 令，则为对称阵，为反对称阵，且，而，.例5 为数域上级方阵组成的线性空间，为数域上级对称方阵的集合，为数域上级反对称阵的集合.试证：和均为的子空间，且.证明 根据对称阵和反对称阵的性质分别易得和均为的子空间.现证，取，则，且，从而另外，得，即.因此.3.1.4 对角幂零分解（实例）11 定理3.1.1 设是数域上级方阵

10、，则存在数域上的级可对角化方阵及级幂零阵，使，且.证明 设的标准形为，过渡阵为，则，其中，且.首先把块拆为两子矩阵和.其中，.可见是对角阵，是级幂零阵，且.令，.则是可对角化矩阵，是级幂零阵，且.推论3.1.112 假设为阶方阵，并且，则或为可对角化矩阵，或为幂零矩阵.证明 因，则可知矩阵有特征值，且齐次线性方程组的解空间是维的，故属于特征值的特征子空间也是维的，也就是说有个属于特征值的线性无关的特征向量.由此可知，矩阵的特征多项式，其中.若，则相似于对角阵，即可对角化.若，则相似于若当标准形，显然为幂零矩阵.推论给出了方阵秩为时的幂零对角分解形式，是定理的特殊情况.3.1.5 其他分解除上述

11、分解外，还有对迹有特殊要求的加法分解. 例6 设是数域上级方阵.证明：存在数域上的级数量阵及级方阵，使，且，.证明 记，则.取，其中.可以验证，且，.3.2 乘法分解3.2.1 等价分解定义3.2.1矩阵与称为等价的，如果可以由经过一系列初等变换得到.即与等价，则存在级可逆阵及级可逆阵，使得；定理3.2.113 任意一个矩阵都与一形式为的矩阵等价，主对角线上的个数等于的秩.即秩为的矩阵矩阵，有其等价标准形，即存在级可逆阵，及级可逆阵，满足.例7 证明任意方阵可分解为可逆阵与对称阵之积.证明 设，则存在可逆阵，使得.取，.则分别为可逆阵与对称阵，且.例8 设为矩阵，.则有（1）存在阶可逆阵使的后

12、行全为零；（2）存在阶可逆阵使的后列全为零.证明 由知，有阶可逆阵及阶可逆阵使.（1），令，为行，则的后行全为零.（2）令，为列，则的后列全为零.例9 设都是矩阵，且均为阶矩阵.证明：必存在阶可逆阵使.证明 由题设可知，设为，由上题知存在阶可逆阵，使，其中都是矩阵，.令，为矩阵，为矩阵.于是.故.为阶方阵，且，故秩为，从而可逆.于是可逆.3.2.2 相似分解定义3.2.2 级方阵与相似，则存在级可逆阵，满足；定理3.2.2 有其标准形，则存在级可逆阵，满足，其中，且.例10证明：对任一非零级矩阵，存在级可逆阵，使，其中为级可逆阵，为级幂零阵.证明：设的标准形为，过渡阵为，则，其中.且.至此，为

13、可逆阵，或为幂零阵（时，为幂零阵，否则为可逆阵）.我们可以通过相似变换，将所有的可逆块移至左上角，幂零块自然就位于右下角.即有可逆阵，使，其中；.现令，.则是级可逆阵，是级幂零阵，且.例11 证明：任意阶复矩阵和它的转置相似.证明：由若当标准形理论知，存在可逆阵，使得.其中是特征值的若当块，令，其中，则由若当块的性质有.于是，即，所以结论成立.例12 设阶矩阵都相似于对角阵，且.证明：存在阶可逆矩阵使同时为对角阵.证明 由可以对角化，知有可逆阵使为阶单位阵，两两互异.由知，.从而知其中为阶方阵，由可对角化知，的初等因子全为一次的，因而的初等因子也全是一次的，因而每个均相似于对角阵，故有阶可逆阵

14、使为对角阵.令，则可逆，且为对角阵，令即可.3.2.3 合同分解定义3.2.3 级对称矩阵与合同，则存在级可逆阵，满足；定理3.2.3 级实对称矩阵有其合同标准形，即存在级可逆阵，满足其中正，负惯性指数由唯一确定.例13 设都是阶实对称矩阵，且正定，则存在阶实可逆方阵使，.其中是方程的根.证明 由正定，故有实可逆阵使.又实对称，故也实对称，从而有正交矩阵使.令，则实可逆，使，.又，故.而，从而为方程的根.例 14 设为一个级实对称矩阵，且，证明：必存在实维向量使.证明 由可知二次型的秩为，且负惯性指数，即存在可逆阵使得.令，取，即这时，则.例15 设是级正定矩阵，是的列满秩矩阵.令.证明：的正

15、、负惯性指数分别为.证明 记，则.由于正定，存在级可逆阵，使得.另正定，且为列满秩矩阵，故当且仅当.因此，若，则，即也是一个级正定矩阵.故存在级可逆阵，使得.令，则，原命题得证.3.2.4 满秩分解14定理3.2.4 设是秩为的矩阵，则存在列满秩矩阵和行满秩矩阵，使得.证明 由等价分解知，存在可逆阵使得，其中是阶可逆矩阵，是阶可逆矩阵.取，.则结论成立.注 若有另一个满秩分解，则存在阶可逆阵，使得，.下面给出满秩分解的另一种方法.定义3.2.415 设是秩为的矩阵，若经矩阵的初等行变换可化为，且满足：1）的前行中每一行至少含有一个非零元素，且每行的第一个元素是，而后元素均为；2）设中第行的第一

16、个非零元素位于第列，且有；3）的第列构成阶单位矩阵的前列.则称为的标准形.定理3.2.515 设是秩为的矩阵，其标准形为.则在的满秩分解中，可取为的第列构成的矩阵，为的前行构成的矩阵.证明 用矩阵的初等行变换可把化成标准形，即存在阶可逆矩阵，使得. 设其中是的列满秩矩阵，是的列满秩矩阵，则其中是的前行构成的矩阵.根据的构形作矩阵.设，则，其中，为矩阵，于是由可得.由此可知，即为的前列构成的矩阵，也即的第列构成的矩阵.例16 求矩阵的满秩分解.解 对施行初等行变换，化为标准形.于是取的第列组成的矩阵，再取，容易验证.3.2.5 满秩分解与秩不等式16上述定理说明，若是秩为的矩阵，则可以分解为一个

17、列满秩矩阵与一个行满秩矩阵的乘积，下面介绍行满秩与列满秩的若干性质.定理3.2.6 设是的列满秩矩阵，则对任何一矩阵，有；设是的行满秩矩阵，则对任何一矩阵，成立.（左乘列满秩矩阵，右乘行满秩矩阵不改变矩阵的秩.）证明 因为，所以，即存在阶可逆矩阵，使得.其中为阶可逆阵，那么，故.同理可证，证毕.定理3.2.7 设为列满秩矩阵，为行满秩矩阵，则存在行满秩矩阵和列满秩级阵满足：，分别为阶、阶单位矩阵.这时称为的左逆，为的右逆.证明：如果是列满秩矩阵，则存在阶可逆矩阵，使得：.令，其中，显然有，记，则即为所求.如果为行满秩矩阵，则存在阶可逆矩阵，使得：.令，其中，显然有，记，则即为所求，证毕.例17

18、 证明：.证明:设.由满秩定理有：.故有.从而知.例18 设是两个级矩阵，若，则.证明：设的秩为，的满秩分解为，其中为的列满秩矩阵，为的行满秩矩阵.因为，所以.由定理3.2.7，存在，使得.由定理3.2.6的证明过程知其中是级可逆矩阵.于是.令，其中，则.得.由于所以.即，证毕.例19设为秩的矩阵，为秩的矩阵，则.证明：先证右边结论成立.设矩阵的满秩分解为，其中是行满秩矩阵，是列满秩矩阵，则.由于，所以，即.再证左边结论成立.因为，由定理1的证明过程知，为阶可逆矩阵.令，为阶可逆矩阵，则.所以.即，证毕.例20证明.证明 设是秩为的矩阵，的满秩分解为，其中是列满秩矩阵，是行满秩矩阵，则证毕.3

19、.2.6 可逆幂等分解任一矩阵可以分解为一可逆阵与一个幂等阵的乘积.例21 设是数域上的级方阵.证明：存在数域上的级可逆阵，以及级幂等阵，使.证明 设，则有级可逆阵，使.令，则可逆且，满足.3.2.7 voss分解17 例22 证明任一复方阵可分解为两对称之积，且其中一个是可逆阵.证明:（1）（由一般到特殊）设，为其标准形，则存在级可逆阵，使，其中，.且.（2）（由特殊入手）我们验证块矩阵符合题设分解.令，.则，且满足. （3）（由特殊回到一般）其中，.3.3 特殊矩阵的分解以上讨论了一般矩阵的加法分解和乘法分解.本段将以可逆阵、对称阵、正定阵和对合阵为例讨论特殊矩阵的分解.3.3.1 可逆阵

20、的分解可依据是正定阵，通过正定阵的分解实现可逆阵的分解.例23 （正定正交分解）设是实数域上级可逆阵.证明：存在实数域上的级正定阵和级正交阵，使，并且这一分解式是唯一的.证明：由于可逆，故是正定阵，因此存在正定，使，从而，令，只需验证是是正交阵即可.而.下面证明可逆阵的正定正交分解是唯一的.另若存在正定阵及正交阵，使，则，由于分解为正定阵的平方是唯一的，故，从而.此即分解式是唯一的.例24 设是实数域上级可逆阵.证明：存在级正交阵，使，其中，且是的所有特征根.证明：由上题知，存在正定阵及正交阵，使且.因是正定阵，故存在正交阵，使，其中是的特征根.相应地，是的特征根.不妨设（否则，可经过正交变换

21、调整其顺序）.令，则，均为正交阵，且.3.3.2 QR分解若阶实可逆矩阵可以分解为正交矩阵与实可逆上三角矩阵的乘积，即，则称该分解式为矩阵的分解；进而是列满秩矩阵，若，其中是矩阵，（称为列正交矩阵），为可逆上三角矩阵，也称为的分解.下面给出种求矩阵分解的方法.1 对矩阵的列向量进行正交化18例25 证明：任何可逆实方阵都可以分解为正交阵和正线上三角阵（主对角元均为正数）.证明：实方阵的列向量线性无关，由正交化方法知，他们可以正交化为一组正交基，而两组基之间的过渡阵恰是一正线上三角阵.设的列向量为，由正交化方法有，.上式可写为， .将上式写为矩阵形式其中，.2利用初等变换求矩阵的分解19110矩

22、阵的初等变换共有种，其中把数域上矩阵的某一行（列）的倍加到另一行（列），这种初等变换称为第种行（列）初等变换（其中是中任意一个数）.设是一个实矩阵.若是列满秩矩阵，则对称正定，因而有唯一的三角分解式：，其中：是单位下三角矩阵；是对角元全为正数的对角矩阵；表示矩阵的转置.在此基础上，有若是一个列满秩矩阵，则总可经过一对第种行和列的初等变换分解为的形式.其中是一个列正交矩阵，是一个可逆上三角矩阵.证明：首先求出正定对称矩阵，对分别同时实施相应的第种行和列初等变换，可化为对角矩阵且主对角线上的元素全为正实数.又对矩阵施行行初等变换等价于用相应的初等矩阵左乘该矩阵，对矩阵施行列初等变换等价于用相应的初

23、等矩阵右乘该矩阵，故存在下三角矩阵和上三角矩阵（显然可逆），使得.设，则，其中为单位矩阵.令，是一个列正交矩阵，是一个可逆上三角矩阵，得出分解式.例26 设是实数域上秩为的矩阵.证明：存在级正交阵和级正交阵，使，其中为级可逆阵.证明：因，故有级可逆阵及级可逆阵，使.由分解知，存在级正交阵，级正交阵，级上三角阵，级下三角阵，使，.因此，所以.记，（均为级方阵），则，其中，因是上三角可逆阵，是下三角可逆阵，故是级可逆阵.例27 设是实数域上秩为的矩阵.证明：存在级正交阵和级正交阵使，其中，且，（）构成的所有特征根.证明：由上题知，存在级正交阵，使，其中为级可逆阵，存在级正交阵，使，其中，且（）为的

24、特征根.令，则为级正交阵，且，且，的特征根为（）或.3.3.3 对称阵的分解例28 证明任一对称阵可分解为两个半正定阵之差.证明：设，且，则存在可逆阵，使，其中，均为半定阵.例29 是两实对称矩阵，则存在正交阵，使，同为对角阵.证明：实对称，有正交阵使，.由知，为阶实对称矩阵，故有正交阵使. 记则为正交阵，为正交阵且满足其要求.例30 设为阶实对称矩阵，是的特征值.则存在阶实对称矩阵使，其中.证明：由是实对称矩阵知，有阶正交矩阵使，即令，则其中，.例31 是阶实对称矩阵.则半正定存在阶实矩阵使.证明：半正定，故有正交阵使，.所以.，故半正定.例32 设是阶实对称矩阵，（为的阶顺序主子式，），证

25、明存在上三角阵，使.证明：对用归纳法.对记，令，则，.由归纳假设，有阶上三角阵，使，为主对角元全为的上三角阵使有要求的形式.3.3.4 正定阵的分解例33 设是级正定阵，证明：存在正定矩阵与，使得.证明 由题意知，存在正交矩阵使得.这里为的特征值.因为是正定的，从而（）.这样就有.令，得证.例34 设是级正定矩阵，试证：可以写成个半正定矩阵之和.证明 由于，故显然（）为半正定阵，故命题得证.例35 设为阶正定矩阵，则存在唯一的正定矩阵，使，且任一与可交换的矩阵也必与可交换.证明：存在性.有正交阵使.令即可.唯一性.设又有正定阵使，则有正交阵使，于是为的特征值.设.故又有正交阵使.令，则，由，即

26、.令，比较对应元素可得. 由题设，为的互异特征值.为正交阵.若，则，是与同阶方阵，从而.因为.3.3.5 对合阵的分解定义3.3.1 设阶方阵满足，则称方阵为对合矩阵.定理3.3.1111 若阶方阵为对合矩阵，则与对角矩阵相似，其中为的特征值的重数.证明：在维线性空间中任取一组基，定义线性变换在基下的矩阵为，即.假设对合矩阵的个特征值中有个以及个，则其特征多项式为 从而根据定理，可以分解为特征子空间的直和：.先在特征子空间中任取一组基，然后在特征子空间中任取一组基，则就是的一组基，显然，.这就是说.由于线性变换在不同基下的矩阵都是相似的，因此存在可逆阵使得，.此时我们也称为对合矩阵的相似标准形

27、.定理3.3.2 若阶方阵为对合矩阵，则可以分解为两个对称矩阵之积.证明：根据对合矩阵的相似标准形，存在可逆矩阵，使得如果令，那么，其中，.4 结论本文归纳和总结了矩阵分解的类型及其相关的理论应用，首先讨论了一般矩阵的加法分解和乘法分解，其中加法分解包括秩分解，小秩分解，对称反对称分解，对角幂零分解；乘法分解包括等价分解，相似分解，合同分解，满秩分解，可逆幂等分解，voss分解.其次以可逆阵、对称阵、正定阵和对合阵为例讨论了特殊矩阵的分解.这些矩阵分解式的特殊形式，一方面能明显地反映出原矩阵的某些特征，另一方面是分解的方法和过程提供了某些有效的数值计算方法和理论分析依据.这些分解在数值代数和最

28、优化问题中都有着十分重要的角色以及在其他领域方面也起着必不可少的作用.参考文献1 金帅.矩阵加法分解方法探究J.数学学习与研究,2017(17):10.2 姜琴,袁力.矩阵的幂零对角分解及推广J.常州工学院学报,2016,29(03):48-51.3 王萼芳，石生明.高等代数M.第四版.北京：高等教育出版社，2013. 4 房月华,陈萍.矩阵的满秩分解及其方法J.衡水学院学报,2011,13(04):16-18.5 贾周.矩阵的等价标准形及其应用J.南阳师范学院学报,2005(06):29-33.6 章朝庆.满秩分解与秩不等式J.泰州职业技术学院学报,2016,16(02):48-49+52.

29、7 李志慧,李永明.高等代数中的典型问题与方法M.第二版.北京：科学出版社，2016.8 赵礼峰.高等代数解题法M.合肥：安徽大学出版社,2004.9 邓勇.矩阵QR分解初等变换法的改进J.高师理科学刊,2008(03):19-20+37.10 李建东.矩阵QR分解的三种方法J.吕梁高等专科学校学报,2009,25(01):16-19.11 董庆华,颜宁生.对合矩阵的相似标准型与分解形式J.邵阳学院学报(自然科学版),2009,6(04):12-14.致谢感谢我的导师郭志刚老师，从最初的选题到初稿的完成，再到定稿期间对我的耐心指导，感谢老师对我每次询问的认真回答，也要感谢我的辅导员姜广浩老师在不同阶段的提醒，在他们的帮助下最终完成了我的本科毕业论文，在此深表感谢！