教学资料ppt电子教案课件矩阵的基本运算

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1、 例例 某电视机厂生产三种型号的某电视机厂生产三种型号的35厘米厘米(14英寸英寸)彩电彩电TC-1、TC-2、TC-3,它们的主要零部是它们的主要零部是:S1(显显像管像管)、S2(电路板电路板)、S3(扬声器扬声器)、S4(机壳机壳)，而这，而这些零部件的主要原材料为：些零部件的主要原材料为：M1(铜铜)、M2(玻璃玻璃)、M3(塑料塑料)。生产不同型号的彩电所需零部件的数量。生产不同型号的彩电所需零部件的数量以及生产不同的零部件所需原材料的数量以及生产不同的零部件所需原材料的数量在下列两表中给出在下列两表中给出: 10121400140442 111642543111,上述两个数表可简记

2、为上述两个数表可简记为 一、矩阵的基本概念一、矩阵的基本概念 定义定义 mn个数构成的个数构成的m行行n列的矩形数表列的矩形数表 mnmmnnaaaaaaaaa212222111211称为称为mn 矩阵矩阵，简记为，简记为 ；其中；其中,nmija iniiaaa,21 是矩阵是矩阵 的第的第i行行, nmija 是是 aijmn的第的第j列。因此，列。因此，aij 位于位于 aijmn 的第的第i行行j列列mjjjaaa21nmija 称之为矩阵称之为矩阵 的的 (i,j)-元元。行矩阵行矩阵：只有一行的矩阵：只有一行的矩阵列矩阵列矩阵：只有一列的矩阵：只有一列的矩阵零矩阵零矩阵：全部元素均

3、为零的矩阵，记为：全部元素均为零的矩阵，记为0注注： 1阶方阵可视为数阶方阵可视为数 设设 是是n阶方阵阶方阵, 称称 为为A的的主对角元主对角元nnijaA),( niaii21 n阶阶方阵方阵：行数与列数均为：行数与列数均为n的矩阵的矩阵 例例 某县有三个乡镇某县有三个乡镇,县里决定建立一个有线电视县里决定建立一个有线电视网。通过勘察测算，获得一组有关建设费用的预算数网。通过勘察测算，获得一组有关建设费用的预算数据：据：我们也可以用矩阵的形式给出有关建设费用的预算数我们也可以用矩阵的形式给出有关建设费用的预算数据：据： 0512320153210235320. 二、矩阵的基本运算二、矩阵的

4、基本运算 定义定义 设设 与与 是两个矩是两个矩阵，阵，若它们满足若它们满足 （1）m = p 且且 n = q （2）aij = bij，其中，其中i =1,2, ,m; j = 1,2, ,n则称则称A与与B相等相等，记为，记为A=B。nmijaAqpijbB 例例 某公司有三项工作需向社会临时招聘三名人员，某公司有三项工作需向社会临时招聘三名人员，这些工作必须同时进行。现有甲、乙、丙三人前来应这些工作必须同时进行。现有甲、乙、丙三人前来应聘，他们对这些工作提出了各自的费用要求，见下表聘，他们对这些工作提出了各自的费用要求，见下表（单位（单位:百元）百元）问如何安排这三人的工作，可使公司的

5、总付出最小？问如何安排这三人的工作，可使公司的总付出最小？ 解解 根据要求，这些工作需由不同的人员承担，根据要求，这些工作需由不同的人员承担，利用上表，构造一个矩阵利用上表，构造一个矩阵 369260418747379653C每一种安排方案，对应每一种安排方案，对应 中的中的3个元素，它们分属个元素，它们分属3个不同的行与个不同的行与3个不同的列。每一种方案的费用即为个不同的列。每一种方案的费用即为对应对应3个元素的和。于是，问题转化为：个元素的和。于是，问题转化为： 求费用最小的方案，即找求费用最小的方案，即找 中不同行不同列的中不同行不同列的3个元素，使它们的和最小。个元素，使它们的和最小

6、。 中不同行不同列元素的中不同行不同列元素的3元组共有元组共有6个，穷举个，穷举如下如下CCC满足要求的满足要求的3元组有两个，它们的和最小，均为元组有两个，它们的和最小，均为176。由此得有两种方案的总费用最少：由此得有两种方案的总费用最少：184 197 176 608737 604196 924737 179186176364796924153368753 甲工作一甲工作一 甲工作三甲工作三 乙工作二乙工作二 或或 乙工作一乙工作一 丙工作三丙工作三 丙工作二丙工作二 C2362922602412872472372962532 若甲、乙、丙继续承担第二阶段工作，其费用矩若甲、乙、丙继续承

7、担第二阶段工作，其费用矩阵与完全相同，即阵与完全相同，即 ，则对第一阶段的最优安排方案也，则对第一阶段的最优安排方案也是对第二阶段的最优方案。此时，总的费用矩阵为是对第二阶段的最优方案。此时，总的费用矩阵为 若费用矩阵与不相同，例如若费用矩阵与不相同，例如 4682683887504091581C则总的费用矩阵为则总的费用矩阵为1463682926860384187875047403791965853CC 定义定义 设设 令令, ,nmijnmijbBaA nmijijbaC 称矩阵称矩阵C为矩阵为矩阵A与矩阵与矩阵B的的和和，记为，记为 。BAC 定义定义 设设 是矩阵，是矩阵，k是数，令是

8、数，令nmijaAnmijkaB称矩阵称矩阵B为数为数k与矩阵与矩阵A的的数量积数量积，记为，记为 B= kA。称称 为为A的的负矩阵负矩阵，记为，记为 。A)( 1 A 规定：规定： ，称为，称为A与与B的的差差)( BABA 例例 1组与组与2组都需要去教材科领取种类相同但数量组都需要去教材科领取种类相同但数量不同的教材，领书单简记为不同的教材，领书单简记为令令Z = X + Y = 1210711则则1组按组按Z领回书后，通过运算交给领回书后，通过运算交给2组应得的教材组应得的教材 Y = ZX。 例例 设设A = , B = , 计算计算2A- -B 014221 028642 性质性

9、质 矩阵的加法与数量乘法具有下述性质矩阵的加法与数量乘法具有下述性质 （1） A+B=B+A （2）（）（A + B）+ C = A +（B + C） （3） A +（A）= 0 （4） A + 0 = A （5） 1A = A （6）（）（k l）A = k（l A） （7）（）（k + l）A = k A + l A （8） k（A + B）= k A + k B这里，这里， A、B、C是同型矩阵，是同型矩阵， k、 l 是数。是数。 例例 已知已知A2B = 3AC ，其中，其中 A = ， C = 求求B。101221011110 例例 已知平面直角坐标系已知平面直角坐标系 Oxy，把

10、它逆时针绕原，把它逆时针绕原点点O旋转旋转角，得到另一直角坐标系角，得到另一直角坐标系 ，相应的，相应的坐标变换公式为坐标变换公式为yxO cossinsincos :yxyyxx对坐标系对坐标系 绕原点绕原点O再逆时针旋转再逆时针旋转角，得又一角，得又一坐标系坐标系 ，相应的坐标变换公式为，相应的坐标变换公式为yxO yxO cossinsincos :yxyyxx 22211211aaaaA cossinsincosyOx) , (yxyOx),(yxyx, yx设点设点P 在坐标系在坐标系Oxy 中的坐标为中的坐标为（x, y），），在坐标系在坐标系 中的坐标为中的坐标为 ，在坐标系，在

11、坐标系 中的坐标中的坐标为为 ，则，则 把把 变换为变换为 ，称，称为为 的系数矩阵。的系数矩阵。 把把 变换为变换为 ，称，称为为 的系数矩阵。的系数矩阵。 , yx, yx 22211211bbbbB cossinsincos 连续施行连续施行 ， ，可把，可把 变换为变换为 ，对应变换记为对应变换记为 ，即，即 yx, yx )()()()( :ybabaxbabayybabaxbabax22221221212211212212121121121111 的系数矩阵为的系数矩阵为 2221121122221221212211212212121121121111ccccbababababab

12、ababaC 在解析几何及代数学中，称在解析几何及代数学中，称变换变换 为变换为变换 与与 的乘的乘积积，记为记为 。对对等地，自然等地，自然把把 的的矩矩阵阵C 也也记为记为 A B ，即即 222112112221121122211211ccccbbbbaaaa 称称C为为A与与B 的乘积。的乘积。 不难发现，矩阵不难发现，矩阵A、B、C 的元素间有下述关系的元素间有下述关系 1121111211cbbaa 1222121211cbbaa 2121112221cbbaa 2222122221cbbaa定义定义 设设 ，令，令,npijpmijbBaA njmibababacpjipjiji

13、ij, 2 , 1 ; , 2 , 1 2211 称矩阵称矩阵 为为矩阵矩阵 A 与与矩阵矩阵 B 的的积积，记为，记为 nmijcC ABC ijpjjjipiicbbbaaa2121nmnppmCBA 两个重要的关系式：两个重要的关系式： 例例（1）（2） （3） 011101110213012yx4123 4332 例例 生产彩电所需零部件的情况与生产零部件所生产彩电所需零部件的情况与生产零部件所需原材料的情况分别可用矩阵需原材料的情况分别可用矩阵 S与与 M 表示出来，表示出来，S = , M = 111642543111 10121400140442我们如何导出彩电与原材料的直接联系

14、呢？我们如何导出彩电与原材料的直接联系呢？ 例例 某人到商店去买某人到商店去买0.5千克糖，千克糖，1千克水果，千克水果，3千克千克面粉，面粉，2.5千克大米。已知糖、水果、面粉、大米的价格千克大米。已知糖、水果、面粉、大米的价格分别为分别为5元元/千克、千克、4.5元元/千克、千克、3元元/千克、千克、4元元/千克，问千克，问购买这些商品要花多少钱？购买这些商品要花多少钱？ , yxByxyxAyx： 例例 前面坐标旋转的例前面坐标旋转的例 三个坐标变换公式可以矩阵形式表示如下：三个坐标变换公式可以矩阵形式表示如下： yxCyx： 因为因为故故 。 yxAByxAyxABC 性质性质 矩阵的

15、乘法具有下述性质：矩阵的乘法具有下述性质： （1）(AB)C = A(BC) （2）A(B+C)= AB + AC , (B+C)A = BA + CA （3）k(AB)=(kA)B=A(kB) 定义定义 主对角元全为主对角元全为1、其余元素全为、其余元素全为0的的n 阶方阵阶方阵称为称为n 阶阶单位矩阵单位矩阵，记为，记为 或或 I 。nI性质性质 对任一对任一 mn矩阵矩阵 ，均有，均有nmA nmnmmnmnnmAAIAIA ,npnmmpqmqnnmAA 00,00 例例 设AX=B，CA=I，其中 111111100110011100110111BCA,求求X。 定义定义 设设A是方

16、阵，是方阵，k是正整数，称是正整数，称k个个A的连乘积为的连乘积为方阵方阵A的的k次幂，记为次幂，记为 ；我们规定；我们规定 ；称称kAAAIA10,IaAaAaAannnn0111 为为方阵方阵A的多项式的多项式，这里，这里 均为常数。均为常数。naaa, 10 例例 设设A = ，计算，计算 。IAAA3224 性质性质 设设A是方阵，是方阵，k,l是非负整数，是非负整数，f(x)是是x的一元的一元多项式，则有多项式，则有 （1） （2）若）若f(x)=g(x)h(x)，则，则 f (A)=g(A)h(A) kllklklkAAAAA )( , 3021这里这里 f (A) 表示：若表示：

17、若 f(x) = 则则 f (A) = 。0111axaxaxannnn IaAaAaAannnn0111 例例 设设A是方阵，则是方阵，则)(IAAAIAIAnnn 21 例例 设设 ，计算，计算 。 2021AnA解解 因为因为,)( ,)( 3333232222220122120222120122120221AA所以猜想所以猜想,)(21 201221 nAnnn 对对n作归纳法验证此猜想：作归纳法验证此猜想： n =1，结论成立；设结论对，结论成立；设结论对n -1成立；成立； 下面证明结论对下面证明结论对n也成立。也成立。 2021201221111nnnnAAA)(根据归纳法原理，

18、上述猜想对任意根据归纳法原理，上述猜想对任意n均成立。均成立。 例例 设设A=BC，其中，其中,3021 1302 CB计算计算 。101A nn201221)( 解解 因为因为 个101101101)()()()(BCBCBCBCBCBCA CBCCBBCCBCBCBB1001001002)()()()( 个 302190630000604222100100101BCA所以所以 例例（矩阵二项式定理矩阵二项式定理） 设设A与与B是同阶方阵，是同阶方阵，n是正是正整整数。如果数。如果AB=BA，那么，那么nkkknknnnnnnnBACBnABBAnnBnAABA012212) 1()( 这里

19、这里nkkknnnnCkn, 2 , 1 , 0 ,!) 1()2)(1(例例 计算计算n 001001解解 首先首先 000100010000000001001 000100010000100010)(3 ,000000000000100010 000000000000100010 ,00000010000010001032 kk因为因为且且 kkkk 所以所以kknnkknnnC 000100010 0001000100010010 00010001021 000100010221 nnnnnn )( 21121 nnnnnnnnnn )( 注：注： 1一般地，一般地， AB有意义，但不一

20、定有意义，但不一定BA也有意义也有意义 即使即使AB与与BA都有意义，它们也不一定同型都有意义，它们也不一定同型 即使即使AB与与BA同型，它们也不一定相等同型，它们也不一定相等BAAB 例例 已知矩阵等式已知矩阵等式A=B，则有，则有CBBCACBCCBCA , 2 ，这里，这里A与与B是同阶方阵是同阶方阵 kkkBAAB)( 例例 已知已知 ，而，而 但结论但结论 是不对的。是不对的。022 IAA)(2(22IAIAIAAOIAOIA 2或3由由AB=0不能导出不能导出A=0或或B=0、4由由AB=AC，A0不能导出不能导出B=C)(2)(22IAIAAOIAA 同理，由同理，由 也不能

21、导出也不能导出A=2I。 例例 设设A、B是同阶方阵，则等式是同阶方阵，则等式成立的充分必要条件为成立的充分必要条件为 AB=BA。2222)(BABABA定义定义 设设A是是mn矩阵，矩阵， mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211把把A的行写成列，得到的行写成列，得到nm矩阵矩阵 mnnnmmaaaaaaaaa212221212111称之为称之为A的的转置矩阵转置矩阵，简称为，简称为A的的转置转置，记为，记为 。TA 例例 设设 A是实矩阵（元素全为实数），若是实矩阵（元素全为实数），若 ，则则 A = 0。0 TAA证明证明 令令mmmmmmmnnnmmmnmmnnTcc

22、cccccccaaaaaaaaaaaaaaaaaaAA212222111211212221212111212222111211 可得可得2222122222221222121221111 , mnmmmmnnaaacaaacaaac ,因因 C = 0，故，故miaaaciniiii, 2 , 1 , 022221 已知已知 均为实数，所以必有均为实数，所以必有 由此得由此得 A=0 。njmiaij, 2 , 1 ; , 2 , 1 , 0 ija 性质性质 设设A、B是任意两个矩阵，是任意两个矩阵，k是任意数，则有是任意数，则有（1）（2）（3）AATT)(TTkAkA)(TTTABAB)(TTTBABA)(TTTTTBAABBAAB)( 例例 设设A与与B是同阶方阵，则是同阶方阵，则 。 （4）