高中数学第一章三角函数1.9三角函数的简单应用与基本关系课件1北师大版必修

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1、1.9 三角函数的简单应用在我们现实生活中有很多现象在进行周而复在我们现实生活中有很多现象在进行周而复始地变化，用数学语言可以说这些现象具有周期始地变化，用数学语言可以说这些现象具有周期性，而我们所学的三角函数就是刻画周期变化的性，而我们所学的三角函数就是刻画周期变化的典型函数模型，比如下列现象就可以用正弦型函典型函数模型，比如下列现象就可以用正弦型函数模型来研究，这节课我们就来探讨三角函数模数模型来研究，这节课我们就来探讨三角函数模型的简单应用型的简单应用. .正弦型函数简谐运动星体的运动) 0, 0()sin(AxAy日常生活现象涨潮与退潮股票变化心理、生理现象情绪的波动智力变化状况体力变

2、化状况地理情景气温变化规律月圆与月缺物理情景1.1.体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程，体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型型（重点）（重点）2.2.体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学建模思想，从而培养学生的建模、分析问题、数建模思想，从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力形结合、抽象概括等能力. .（难点）（难点）例例水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，如图是一水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，如图是一个水车工作的示意图

3、，它的直径为个水车工作的示意图，它的直径为3m,3m,其中心（即圆心）其中心（即圆心）O O距距水面水面1.2m,1.2m,如果水车逆时针匀速旋转，旋转一圈的时间是如果水车逆时针匀速旋转，旋转一圈的时间是 min.min.在水车轮边缘上取一点在水车轮边缘上取一点P P，点，点P P距水面的高度为距水面的高度为h(mh(m). ). (1) (1)求求h h与时间与时间t t的函数解析式，并作出这个函数的简图的函数解析式，并作出这个函数的简图. . (2)(2) 讨论如果雨季河水上涨或旱季河流讨论如果雨季河水上涨或旱季河流水量减少时，所求得的函数解析式中的参水量减少时，所求得的函数解析式中的参数

4、将会发生哪些变化数将会发生哪些变化. .若水车转速加快或减若水车转速加快或减慢，函数解析式中的参数又会受到怎样的慢，函数解析式中的参数又会受到怎样的影响？影响？43水车问题水车问题解解: :不妨设水面的高度为不妨设水面的高度为0,0,当点当点P P旋转到水面以下时，旋转到水面以下时，P P点距水面的高度为负值点距水面的高度为负值. .显然，显然，h h与与t t的函数关系是周期的函数关系是周期函数的关系函数的关系. .故可列表、描点，画出函数在区间故可列表、描点，画出函数在区间11.8,91.811.8,91.8上的简图：上的简图：t t11.811.831.831.851.851.871.8

5、71.891.891.81.21.22.72.71.21.2-0.3-0.31.21.21.5sin(0.295 )1.240ht 面对实际问题建立数学模型，是一项重要的面对实际问题建立数学模型，是一项重要的基本技能基本技能. .这个过程并不神秘，就像这个例题，这个过程并不神秘，就像这个例题，把问题提供的把问题提供的“条件条件”逐条地逐条地“翻译翻译”成成“数学数学语言语言”，这个过程是很自然的，这个过程是很自然的. .解答应用题关键是将实际问题转解答应用题关键是将实际问题转化为数学模型化为数学模型.如图，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转一圈需要 12 分钟，其中心 O 距离地面40.5 米，半

6、径为 40 米，如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：(1)求出你与地面的距离 y(米)与时间 t(分钟)的函数关系式；(2)当你第 4 次距离地面 60.5 米时，用了多长时间？【变式练习】【解题关键】 (1)依题意可知应建立余弦型函数模型解题，由摩天轮的转动周期是 12 分钟， 振幅是 40， 当 t0 时， y40.5，可求得函数解析式； (2)将 y60.5 代入(1)中求出的函数解析式，即可求出第 1 个周期内满足题意的时间，再加上周期即可【解析】(1)由已知可设 y40.540cos t，t0，由周期为 12

7、分钟可知，当 t6 时，摩天轮第 1 次到达最高点，即此函数第1 次取得最大值，所以 6，即6.所以 y40.540cos6t(t0)(2)设转第 1 圈时，第 t0分钟时距地面 60.5 米，由 60.540.540cos6t0,得 cos6t012，所以6t023或6t043，解得 t04或 t08.所以 t8(分钟)时，第 2 次距地面 60.5 米，故第 4 次距离地面60.5 米时，用了 12820(分钟)建立三角函数模型解决实际问题时，首先寻找与角有关的信息，确定选用正弦、余弦还是正切型函数模型；其次是搜集数据，建立三角函数解析式并解题；最后将所得结果翻译成实际答案，要注意根据实际

8、作答【特别提醒】将实际问题抽象为三角函数模型的一般步聚:理解题意建立三角函数模型求解还原解答BCD D 4. 4. 一半径为一半径为3m3m的水轮如图所的水轮如图所示，水轮圆心示，水轮圆心O距离水面距离水面2m2m，已，已知水轮每分钟转动知水轮每分钟转动4 4圈，如果当圈，如果当水轮上一点水轮上一点P P从水中浮现时从水中浮现时( (图中点图中点P P0 0) )开始计算开始计算时间时间.(1).(1)将点将点P P距离水面的高度距离水面的高度z z(m(m) )表示为时间表示为时间t(st(s) )的函数的函数. .(2)(2)点点P P第一次达到最高点大约要多长时间？第一次达到最高点大约要

9、多长时间？OPP023OPP023xy解解: :(1)不妨设水轮沿逆时针方向旋不妨设水轮沿逆时针方向旋转转, ,如图所示如图所示, ,建立平面直角坐标系建立平面直角坐标系. . 设角设角 ( 0) )是以是以Ox为为始边，始边，OP0为终边的角为终边的角. .2由由OP在在ts内所转过的角为内所转过的角为 ，可知以可知以Ox为始边，为始边， OP为终边的角为为终边的角为 , ,4 22()t =t60152t +15，则则2z3sin(t + )2.15当当t=0t=0时，时，z z =0=0，可得，可得2sin.3 因为因为 ，所以，所以 -0.73-0.73， 02故所求函数关系式为故所求

10、函数关系式为2z = 3sin(t0.73)+2.152t +15故故P P点纵坐标为点纵坐标为3sin( )3sin( )，(2)令令 得得23sin(t0.73)2515z，2sin(t0.73)1.152t0.73152，取取解得解得t5.5.答答: :点点P第一次达到最高点大约需要第一次达到最高点大约需要5.5s.三角函数应用题在阅读理解实际问题时的注意事项：(1)反复阅读，通过关键语句领悟其数学本质(2)充分运用转化思想，深入思考，联想所学知识确定变量与已知量(3)结合题目的已知和要求，建立数学模型，确定变量的性质与范围及要解决的问题的结论【特别提醒】解决实际问题的步骤:实际问题读懂问题抽象概括数学建模推理演算数学模型的解还原说明实际问题的解读懂概念丶字母读出相关制约.在抽象、简化、明确变量和参数的基础上建立一个明确的数学关系. 审题 关键把学问过于用作装饰是虚假；完全依学问上的规则而断事是书生的怪癖. 培根