[理学率论与数理统计课件

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1、概率论与数理统计目录 第一章第一章 随机事件及其概率随机事件及其概率 1.1 随机事件及其运算随机事件及其运算 1.2 随机事件的概率随机事件的概率 1.3 条件概率与全概率公式条件概率与全概率公式 1.4 随机事件的独立性随机事件的独立性 第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 2.1 离散型随机变量及其分布律离散型随机变量及其分布律 2.2 随机变量的分布函数随机变量的分布函数 2.3 连续型随机变量及其密度连续型随机变量及其密度 2.4 几种常见的连续型随机变量几种常见的连续型随机变量 2.5 随机变量函数的分布随机变量函数的分布 2.6 二维随机变量及其联合分布函数二维随机变量

2、及其联合分布函数 2.7 二维离散型随机变量二维离散型随机变量 2.8 二维连续型随机变量二维连续型随机变量概率论与数理统计目录 2.9 随机变量的相互独立性随机变量的相互独立性 2.10 两个随机变量函数的分布两个随机变量函数的分布 第三章第三章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 3.1 数学期望数学期望 3.2 方差方差 3.3 协方差与相关系数协方差与相关系数 第四章第四章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理概率论与数理统计目录 4.1 大数定律大数定律 4.2 中心极限定理中心极限定理 第五章第五章 统计量及其分布统计量及其分布 5.1 总体和随机样本总体和随机样本 5.

3、2 统计量与抽样分布统计量与抽样分布 第六章第六章 参数估计参数估计 6.1 点估计点估计概率论与数理统计目录 6.2 估计量的评价标准估计量的评价标准 6.3 区间估计区间估计 6.4 正态总体参数的区间估计正态总体参数的区间估计 第七章第七章 假设检验假设检验 复复 习习概率论与数理统计目录 理学院李建峰 概率论与数理统计课件N李李o建建t峰峰e: 61.1 1.1 随机事件及其运算随机事件及其运算1 概率论中一般研究的是随机试验,以后简称简称试验试验,用字母E,E1,E2,表示。理解教材P3例子。2. 基本事件和样本空间是集合，样本点是元素。3. 样本空间可能会随着试验目的的不同而不同(

4、如例2，考虑正面出现的次数).Definition 1.1现象(确定性现象,随机现象)统计规律性试验随机试验：1. 可以在相同的条件下重复进行；2. 每次实验的可能结果不止一个，并且能事先明确实验的所有可能结果；3. 进行一次实验之前不能确定哪一个结果会出现。一、基本概念一、基本概念Definition 1.2将随机试验 E 的每一种结果称为该试验的基基本事件本事件,其所有可能结果组成的集合称为 E 的样本空间样本空间,记为 或U .样本空间的元素,即 E 的每个结果,称为样本点,记为 或e . 理学院李建峰 概率论与数理统计课件N李李o建建t峰峰e: 71 事件中的样本点一般是满足某种条件的

5、人们常关心的某些样本点。2. 理解事件发生与否的意义：随机事件发生当且仅当它所包含的一个样本点在试验中出现。3. 注意应用事件发生与否来理解事件间的关系和运算结果。4. A B C?5. 牢记差事件的几种等价形式。Definition 1.3 样本空间的子集称为随机事件随机事件(简称事件事件).常用大写字母A,B,C,D表示。注意理解下述概念的区别：随机事件 : 样本空间的子集；基本事件 : 由一个样本点组成的单点集；必然事件 : 样本空间 本身；不可能事件 : 空集。1.包含：包含：AB(B发生则A发生) 2.相等：相等：A=B(B发生当且仅当A发生)3.和和(并并)事件：事件：AB(A、B

6、至少发生一个)4.积积(交交)事件：事件：AB(A、B都发生)5.差事件：差事件：A-B=A-AB=AB6.互斥事件：互斥事件：AB=7.对立事件：对立事件：AB=,AB=,此时A=B,B=A.8.完备事件组：完备事件组：样本空间的一个划分。二、随机事件间的关系二、随机事件间的关系 理学院李建峰 概率论与数理统计课件N李李o建建t峰峰e: 81 运算律的作用是化为需要的形式。2. 对偶律的作用是交并互转。1.交换律：交换律：AB=BA,AB=BA2.结合律：结合律：A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C3.分配律：分配律：A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC)三、随

7、机事件间的运算三、随机事件间的运算nnnnnnnnAAAABABABABA,4.对偶律：对偶律：Example 1.1 有一个问题,甲先答,若甲答错,由乙答,若记事件A=甲答对,事件B=乙答对,求此问题最终由乙答出的表示法.Example 1.2 教材P10例6.Example 1.3 教材P10例7. 理学院李建峰 概率论与数理统计课件N李李o建建t峰峰e: 91.2 1.2 随机事件的概率随机事件的概率1. 频率性质：非负频率性质：非负性、规范性、可性、规范性、可加性。加性。2. 频率具有频率具有“稳定稳定性性”，即第一节，即第一节所讲的所讲的 “统计规统计规律性律性”，见教材，见教材P1

8、5。3. 概率的统计定义概率的统计定义可以帮助理解概可以帮助理解概率，但利用这个率，但利用这个定义求解具体问定义求解具体问题的概率比较困题的概率比较困难。难。4. 概率也有相应概率也有相应的的3条性质。条性质。一、概率的统计定义一、概率的统计定义频 率 稳 定 值 概率 事件发生事件发生的频繁程度的频繁程度事件发生事件发生的可能性的大小的可能性的大小频率的性质概率的性质Definition 1.4 在相同的条件下,进行了n 次试验, 在这 n 次试验中,事件A发生的次数 nA称为事件 A 发生的频数频数.比值 nA /n 称为事件A 发生的频率频率,并记成 fn(A) .Definition

9、1.5 设随机事件E的重复次数n充分大时,事件A发生的频率fn(A)总在区间0，1上的一个确定的常数p附近作微小摆动,并逐渐稳定于p,则称常数p是事件A 发生的概率,记为P(A). 理学院李建峰 概率论与数理统计课件N李李o建建t峰峰e: 101.计算时一定要认清计算时一定要认清试验结果试验结果(基本事件基本事件)是等可能性是等可能性的本质的本质.例例：掷二枚骰子掷二枚骰子,求求事件事件A为出现点数之为出现点数之和等于和等于3的概率。的概率。2. 一般来说求分母一般来说求分母相对简单相对简单,但分子在但分子在特定要求下较繁琐特定要求下较繁琐.3.为了以后计算的方为了以后计算的方便我们首先便我们

10、首先复习：复习：排列与组合的基本排列与组合的基本概念。概念。Definition 1.6 若试验具有下列两个特征： 样本空间的元素只有有限个；样本空间的元素只有有限个； 每个样本点发生的可能性相同每个样本点发生的可能性相同.则称此试验为古典概型试验古典概型试验(等可能概型等可能概型) 。二、概率的古典定义二、概率的古典定义乘法原理乘法原理:设完成一件事需分两步,第一步有n1种方法,第二步有n2种方法,则完成这件事共有n1n2种方法.Definition 1.7 设古典概型试验E的样本空间中包含n个样本点，随机事件A中包含m个样本点，则事件A发生的概率 P(A)=m/n.从从n个中抽取个中抽取k

11、个的排列组合公式个的排列组合公式:排列:Pkn=Akn(无重复) ,nk(有重复);组合:Ckn 理学院李建峰 概率论与数理统计课件N李李o建建t峰峰e: 111.牵涉到排列组合牵涉到排列组合的概率问题一般的概率问题一般都是古典概型，都是古典概型，可按定义求解概可按定义求解概率。率。2. 抽签原理：抽抽签原理：抽到签与抽签的次到签与抽签的次序无关。序无关。3.此模型称为此模型称为超几超几何分布何分布。Example 1.5 一口袋装有 a 只白球,b 只红球,求无放回取球中第k次取出的是白球的概率.模型一：随机取球模型模型一：随机取球模型Example 1.4 一口袋有外型相同的10个球，4个

12、白球，6个红球,现从中任取3个，试求：取出的3个球都是红球的概率；取出的3个球中恰有一个是白球的概率。Example 1.6 设有 N 件产品,其中有 M 件次品,今从中任取 n 件,问其中恰有 k ( k M ) 件次品的概率是多少(不放回抽样)? 理学院李建峰 概率论与数理统计课件N李李o建建t峰峰e: 12Example 1.7 将 n 只球随机的放入 N (N n) 个盒子中去,求每个盒子至多有一球的概率(设盒子容量不限）(P22，例6).Example 1.8 将 15 名新生随机地平均分配到 3 个班中去,这15 名新生中有 3 名是优秀生.问:(1) 每个班各分配到一 名优秀生的

13、概率是多少?(2) 3 名优秀生分配到同一个班级的概率是多少?模型二：分房问题模型二：分房问题1.生日问题：生日问题：n个个人的班级里没有人的班级里没有两人生日相同的两人生日相同的概率是多少？概率是多少？ 理学院李建峰 概率论与数理统计课件N李李o建建t峰峰e: 131. 测度可能是长测度可能是长度、面积、体积，度、面积、体积，甚至是质量。甚至是质量。Definition 1.8 若试验具有下列两个特征： 样本空间的元素有无限个；样本空间的元素有无限个； 每个样本点的发生具有某种等可能性每个样本点的发生具有某种等可能性.则称此试验为几何概型试验几何概型试验。三、概率的几何定义三、概率的几何定义

14、Definition 1.9 设试验的每个样本点是等可能落入区域上的随机点M ，且D ( ) ，则M点落入子区域D(事件A)上的概率为:P(A)=m(D)/m().其中m()为自然测度. 理学院李建峰 概率论与数理统计课件N李李o建建t峰峰e: 14Example 1.10 (会面问题会面问题)甲、乙二人约定在点到点之间在某地会面,先到者等30分钟后即离去，设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的,且二人互不影响.求二人能会面的概率.Example 1.9 (对表问题对表问题).小明的表停了，他打开收音机，想听电台定点报时，求等待时间不超过10分钟的概率.1.一维情形：测度一维情形：测度是长度

15、。是长度。2.二维情形：测度二维情形：测度是面积。是面积。 理学院李建峰 概率论与数理统计课件N李李o建建t峰峰e: 151. 这这3条公理是基条公理是基础，应用最多的础，应用最多的是由此推出的性是由此推出的性质。质。四、概率的公理化定义四、概率的公理化定义Definition 1.10 设 是给定试验E的样本空间,对于任一事件 A 赋予一个实数P(A),若P(A)满足 非负性：0 P(A) 1； 规范性：P() =1； 可列可加性：当事件A1,A2, ,An两两互斥时 P(A1+A2+An+) = P(An)则称P(A)为事件事件A的概率的概率。 理学院李建峰 概率论与数理统计课件N李李o建

16、建t峰峰e: 162. 还可以考虑还可以考虑n个个事件的情形，见事件的情形，见教材教材P30。概率的性质：概率的性质：1. P() =0;2. 若若A1, A2 , An两两互斥，则两两互斥，则 P(A1+A2+An) = P(An)3. P(A) = 1P( A)4. 若若A B,则则P(A B) = P(A) P(B)5. P(A B) = P(A)+P(B) P(AB) 推广推广: P(A B C)=P(A)+P(B)+P(C) P(AB) P(AB) P(AB)+P(ABC) 理学院李建峰 概率论与数理统计课件N李李o建建t峰峰e: 17Example 1.11 设在12件产品中有3件

17、次品，现 从中随机抽取5件，试求：取出的5件产品中至少有一件次品的概率；取出的5件产品中至多有一件次品的概率。Example 1.12 在 1099 的整数中随机的取一个数，问取到的整数能被 2 或 3 整除的概率是多少？ 理学院李建峰 概率论与数理统计课件N李李o建建t峰峰e: 181.3 1.3 条件概率与全概率公式条件概率与全概率公式1. 条件概率等同条件概率等同于样本空间缩小于样本空间缩小后求解的概率。后求解的概率。一、条件概率一、条件概率Example 1.12 设箱内有100件电子元件，其中有甲厂生产的正品30件，次品5件，乙厂生产的正品50件，次品15件。现从箱内任取一件产品，设

18、A=取到甲厂的产品，B=取到次品，试求：取到甲厂的产品且为次品的概率；已知取到甲厂的产品下，取到次品的概率。 理学院李建峰 概率论与数理统计课件N李李o建建t峰峰e: 192. 条件概率仍是条件概率仍是一种概率，具有一种概率，具有概率的一般结论概率的一般结论(3条公理条公理,5条性质条性质)。3. 求条件概率的求条件概率的典型语句形式：典型语句形式：将条件语句将条件语句(若若,且且,已知已知)删去删去,仍然是仍然是一个完整的概率一个完整的概率问题问题.一、条件概率一、条件概率Definition 1.11 在E的样本空间上有两事件A,B,且P(A)0,则称P(B|A)=P(AB)/P(A)为已

19、知事件A 发生条件下,事件B发生的条件概条件概率率.Example 1.13 某灯泡按设计要求使用寿命超过10年的概率为0.8，超过15年的概率为0.5，试求该灯泡在使用10年之后，将在5年内损坏的概率是多少？ 理学院李建峰 概率论与数理统计课件N李李o建建t峰峰e: 20乘法公式不仅乘法公式不仅仅是条件概率定仅是条件概率定义的简单变形义的简单变形,它它还给出了求交集还给出了求交集概率的另一种求概率的另一种求法。法。2.注意注意Example 1.14 将并集转交将并集转交集的方法：对偶集的方法：对偶公式。公式。 若P(A)0，则P(AB)=P(A)P(B|A) 若P(B)0，则P(AB)=

20、P(B)P(A|B) 称上式为概率的乘法公式乘法公式。推广到多个事件：当P(A1A2An-1)0时， P(A1A2 An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(An|A1A2An-1)二、乘法公式二、乘法公式Example 1.14 小明忘记电话号码的最后一个数字，因而任意地按最后一个数，试求：不超过三次能打通电话的概率；若已知最后一个是偶数，则不超过三次能打通电话的概率。 理学院李建峰 概率论与数理统计课件N李李o建建t峰峰e: 21 运用运用全概公式全概公式的关键：找到样的关键：找到样本空间的一个恰本空间的一个恰当划分。当划分。2.当已知试验结果当已知试验结果并且要推测并且要

21、推测“原原因因”时，一般使时，一般使用用逆概公式逆概公式。三、全概率公式与贝叶斯公式三、全概率公式与贝叶斯公式Theorem 1.1 设E的样本空间为，事件A1A2 An为的一个划分，且P(Ai)0,(i=1,2,n)，则对任一事件B，有：全概率公式全概率公式:)|()()(1iiniABPAPBP贝叶斯公式贝叶斯公式:（逆概公式）（逆概公式）)0)()|()()|()()|(1BPABPAPABPAPBAPiinijjjExample 1.15 一商店销售的某公司三个分厂生产的同型号空调，而这三个分厂的空调比例为3:1:2，它们的不合格率依次为0.01，0.12，0.05。某人从这批空调中任

22、选一台，试求： 此人购得不合格空调的概率；若已知购到不合格空调，则这空调是哪个分厂生产的可能性较大？ 理学院李建峰 概率论与数理统计课件N李李o建建t峰峰e: 22Example 1.16（肺结核确诊率问题）假设患肺结核的人通过接受胸部透视，被诊断出的概率为0.95；而未患肺结核的人通过接受胸部透视，被诊断出的概率为0.002.又设某城市成年居民患肺结核的概率为0.1%，若从中任选一人，通过透视被诊断为肺结核，则此人确实患有肺结核的概率为多少？ 理学院李建峰 概率论与数理统计课件N李李o建建t峰峰e: 231.4 1.4 随机事件的独立性随机事件的独立性1. 独立可直观解独立可直观解释为：释为

23、：A发生对发生对B无影响无影响.类似类似, A不不发生对发生对B也无影响也无影响,即若即若P( A)0, P(B| A)=P(B)。2.注意注意独立、互斥、独立、互斥、对立对立概念的区别。概念的区别。一、事件的相互独立性一、事件的相互独立性Definition 1.13 对于事件A,B,若P(AB)=P(A)P(B) 则称事件A ,B相互独立相互独立.Theorem 1.2 设P(A)0,则A、B相互独立的充要充要条件条件是 P(B|A)=P(B). 两个两个事件相互独立的定义事件相互独立的定义问题：问题：设袋中有外型相同的6个红球，4个白球，现有放回地抽取两次，每次抽取一个。A=第一次取到白

24、球， B=第二次取到白球，求P(A)， P(B)， P(AB)， P(B|A)。 理学院李建峰 概率论与数理统计课件N李李o建建t峰峰e: 243. 用定义判断独用定义判断独立性常用在理论立性常用在理论推导和证明，而推导和证明，而在实际问题中，在实际问题中，往往根据问题的往往根据问题的实际意义来判断实际意义来判断独立性。独立性。Theorem 1.3 下列命题等价(独立性性质)(1)A与B相互独立; (2)A与B相互独立； (3)A与B相互独立;(4)A与B相互独立。Example 1.17 设甲乙两个射手，他们每次射击命中目标的概率分别为0.8，0.7。现两人同时向一目标射击一次，试求 ：(

25、1)目标被命中的概率；(2)若已知目标被命中，则它是甲命中的概率是多少？ 理学院李建峰 概率论与数理统计课件N李李o建建t峰峰e: 25Definition 1.14 对于事件A,B,C，若下面四个式子都成立 P(AB)=P(A)P(B) , P(BC)=P(B)P(C), P(AC)=P(A) P(C), P(ABC)=P(A)P(B)P(C)则称事件事件A ,B,C相互独立相互独立. 三个三个事件相互独立的定义事件相互独立的定义 n个个事件相互独立的定义事件相互独立的定义Definition 1.15 设有n个事件A1,A2,An, k为任意整数,且1k n,若恒有 P(Ai1Ai2 Ai

26、k)=P(Ai1)P(Ai2)P(Aik)成立,则称n个事件个事件A1,A2,An相互独立相互独立.1. 独立条件下独立条件下,能能把积事件的概把积事件的概率化为概率的率化为概率的积。积。2.一共有一共有2n-n-1个个表达式表达式,必须同必须同时成立时成立,思考思考P53.4 。3. n个事件个事件两两独两两独立立与与n个事件个事件相相互独立的互独立的区别。区别。 理学院李建峰 概率论与数理统计课件N李李o建建t峰峰e: 261. 对对 n个事件，个事件， Th 1.3仍成立，只仍成立，只需将其中任意需将其中任意s个个事件换成它们的事件换成它们的对立事件即可。对立事件即可。 Theorem

27、1.4 设n个事件A1,A2,An相互独立， k, s为任意整数,且10( )( )xf t dtF x上升的连续函数，( )( )( )f xF xf x在的连续点：,()0aP Xa R不一定为,()=0aP Xa R 理学院李建峰 概率论与数理统计课件N李李o建建t峰峰e: 402.4 2.4 几种常见的连续型随机变量几种常见的连续型随机变量1. 若若X服从服从 (a，b)区间上的均匀分区间上的均匀分布，则布，则X出现在出现在 (a，b)区间内的概率为区间内的概率为1。2.均匀分布随机变均匀分布随机变量量X落入落入(a，b)子子区间上的概率和区间上的概率和子区间的位置无子区间的位置无关，

28、仅与子区间关，仅与子区间长度成正比。长度成正比。3. 应用：数值计应用：数值计算中，研究四舍算中，研究四舍五入引起的误差。五入引起的误差。Definition 2.6 若随机变量 X 的密度函数为则称随机变量 X 服从区间(a，b)上的均匀分布均匀分布.记作 X U (a，b)。 1,0,axbf xba其它性质：性质：(1) P(Xa)=P(Xb)=0.(2) ( )c lclP cXclf x dxba 0,(3),1,xaxaF xaxbbaxb 理学院李建峰 概率论与数理统计课件N李李o建建t峰峰e: 411. 可利用简捷的可利用简捷的方式计算概率。方式计算概率。Example 2.1

29、4 设公共汽车站从上午设公共汽车站从上午7时起每隔时起每隔15分钟来一班车分钟来一班车,如果某乘客到达此站的时间是如果某乘客到达此站的时间是 7:00 到到7:30之间的均匀随机变量试求该乘客之间的均匀随机变量试求该乘客候车时间不超过候车时间不超过5分钟的概率。分钟的概率。Example 2.15 设随机变量设随机变量 服从区间服从区间(-3，6)上上的均匀分布的均匀分布,试求方程试求方程 4x2+4 x+ +2=0有实根的概率有实根的概率 理学院李建峰 概率论与数理统计课件N李李o建建t峰峰e: 421. 指数分布又称指数分布又称为为“永远青年永远青年”的分布。的分布。2.性质性质4称为称为

30、“无无记忆性记忆性”。3. 应用：描述衰应用：描述衰老作用不明显的老作用不明显的寿命分布；寿命分布； 1/ 为为寿命寿命X的的平均值。平均值。Definition 2.7 若随机变量若随机变量 X 的密度函数为的密度函数为则称随机变量则称随机变量 X 服从参数为服从参数为 的的指数分布指数分布( 0).记作记作 X E ( ). ,00,0 xexf xx性质：性质：(2) ;tP Xte 0,0(1)1,0 xxF xex1212(3) ;ttP tXtee(4),0, t sP Xst XsP Xt 理学院李建峰 概率论与数理统计课件N李李o建建t峰峰e: 43Example 2.15 某

31、电子元件的寿命某电子元件的寿命X(小时小时)满足满足 X E (1/100)。求。求5个同类型的元件在使用的前个同类型的元件在使用的前150小时内恰有小时内恰有2个需要更换的概率。个需要更换的概率。 理学院李建峰 概率论与数理统计课件N李李o建建t峰峰e: 441.密度函数的特征：密度函数的特征：关于关于x= 对称对称; 的大小反映峰的大小反映峰值的大小值的大小, 愈愈小峰值愈大小峰值愈大,随随机变量的取值就机变量的取值就愈集中愈集中.定义定义2.8 若随机变量 X 的密度函数为 则称 X 服从参数为( ， 2)的正态分布正态分布, 记作 X N ( , 2). 2221,02xxf xe ，

32、 221,2xxex 221,2txx xt dtedtx )( x 若 =0， 2=1,则称N(0，1)为标准正态分布标准正态分布： 理学院李建峰 概率论与数理统计课件N李李o建建t峰峰e: 451. 应用标准正态应用标准正态分布密度函数的分布密度函数的图形特征容易说图形特征容易说明相关结论。明相关结论。2. 定理的证明思定理的证明思想和下一节内容想和下一节内容息息相关息息相关,要掌握。要掌握。正态分布的概率计算：正态分布的概率计算：(4)P(|X| a) =2(1 (a).x0( )xa-a定理定理 2.1 (一般正态分布的标准化一般正态分布的标准化)(2)P(X a) = ( a)=1

33、(a)；(3)P(|X| a) =2 (a) 1； 设设XN(0，1)，a0，则：，则：(1)P(X a) = (a)； 2*( ,),(0,1).XXNXN 设 则 理学院李建峰 概率论与数理统计课件N李李o建建t峰峰e: 461. 企业管理中，企业管理中，经常应用经常应用3 -规则规则进行质量检查进行质量检查。2. 这个定义将在这个定义将在第六章经常用到。第六章经常用到。 设设XN( ， 2)，则，则()P aXb设XN( , 2), 则 P( -3 X +3 ) =()aXbP()()ba3 -规则：规则：x0( )xz1z0.9973 (0,1)(,(01) ),P XZZXNZ2.9

34、设 若满足则称点为标上定义准正分态分布的位点. 理学院李建峰 概率论与数理统计课件N李李o建建t峰峰e: 47例例 2.17 公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在0.01以下来设计的。设男子身高XN(170,62),问车门高度应如何确定? 1.正态分布的重要正态分布的重要性：性：大量的随机现大量的随机现象服从或近似服象服从或近似服从正态分布；从正态分布；当一个量可以当一个量可以看成由许多看成由许多微小微小的的独立独立的随机因的随机因素作用的总后果，素作用的总后果，这个量都服从这个量都服从或或近似服从正态分近似服从正态分布布。 理学院李建峰 概率论与数理统计课件N李李o建建t峰峰e:

35、482.5 2.5 随机变量函数的分布随机变量函数的分布1. 离散型随机变离散型随机变量的函数仍然为量的函数仍然为离散型随机变量，离散型随机变量，其分布常表现为其分布常表现为分布律形式。分布律形式。一、离散型随机变量函数的分布一、离散型随机变量函数的分布例例 2.18 设随机变量设随机变量 X 具有以下的分布律，具有以下的分布律，(1)(2)(),XYg XY问题：已知的分布，求 的分布。pkX1 0 1 2 0.2 0.3 0.1 0.4试求试求:(1) Y1=2X+1，(2)Y2 = X2 的分布律的分布律.12ixxx12ipppXP12()()()ig xg xg x12ipppYP若

36、若X的分布律为：的分布律为：则则1(),()ig xg x若有相同值，则合2.并同值列。 理学院李建峰 概率论与数理统计课件N李李o建建t峰峰e: 491. 若若X连续，则一连续，则一般般Y=g(X) 也连续也连续.2.分布函数法：分布函数法： 先求先求Y的分布函数的分布函数,然后求导。然后求导。3. 掌握掌握变上下限变上下限积分求导公式积分求导公式。二、连续型随机变量函数的分布二、连续型随机变量函数的分布 YFyP Yy(2) ( )( )Xg xyfx dx YYfyFy(3) 分布函数法：分布函数法：( )( )( )( ),yyF yf x dx若( ) ( ) ( ) ( )( )F

37、yfyyfyy则特别：特别：P g XyXY(1)由确定，2.19 (0,1)XXNYe例设，求的概率密度。 理学院李建峰 概率论与数理统计课件N李李o建建t峰峰e: 50公式法：公式法：2.19 (0,1)XXNYe例设，求的概率密度。(1)( ),( )xhyg xy当是一处处可导的单调函数时，其反函数为则( )( ) ,( )0,YYYf h yh yyfyy 1122( )( )( )( ) ,( )0,YYYf h yh yf hyhyyfyy 1212( ),( )( )( )2XXxhxhygyyx当是分段单调函数时，且设其在上单调，反函数分别为和，则有：1. 要注意要注意公式法

38、公式法的条件。的条件。 理学院李建峰 概率论与数理统计课件N李李o建建t峰峰e: 51例例 2.21 P95 A.4定理定理 2.2 设设 XN( , 2)， Y=aX+b (a 0)，则：，则：YN(a +b, a2 2 ) 。 2.20 (0, )sinXUYX例设,求的概率密度。 理学院李建峰 概率论与数理统计课件N李李o建建t峰峰e: 522.6 2.6 二维随机变量及其联合分布函数二维随机变量及其联合分布函数1. (X, Y) 应看成一应看成一个整体个整体,它的二个它的二个分量是有内在联分量是有内在联系的。系的。2. 从几何上可以从几何上可以将将(X, Y) 看成二维看成二维平面上的

39、一个随平面上的一个随机点。机点。一、一、二维随机变量的概念二维随机变量的概念定义定义 2.10 设设 = 是某一个随机试验是某一个随机试验E的样本的样本空间，空间，X=X()和和Y=Y()是定义在是定义在上的随机变上的随机变量。称有序二元总体量。称有序二元总体 (X, Y) 为一个为一个二维随机变二维随机变量量(或或二维随机向量二维随机向量)，并称，并称X和和Y是是二维随机变二维随机变量量 (X, Y)的的两个分量两个分量。举例举例:(1)某地区学龄儿童的身体发育状况：某地区学龄儿童的身体发育状况：需采集身高需采集身高X和体重和体重Y的分布组成二维随机变量的分布组成二维随机变量(X, Y);(

40、2) 向一平面靶射箭：向一平面靶射箭： 击中点需用二维随机变量击中点需用二维随机变量(X, Y)来刻画。来刻画。 理学院李建峰 概率论与数理统计课件N李李o建建t峰峰e: 531. F(x,y)在点在点(x,y)处的函数值就是处的函数值就是随机点随机点(X,Y)落在落在以以(x,y)为顶点为顶点, 位位于该点左下方的于该点左下方的无穷矩形域内的无穷矩形域内的概率概率 。定义定义 2.11 设设(X, Y)是一个二维随机变量是一个二维随机变量,对于任对于任意一对实数意一对实数(x, y), 称称F(x,y)=P(X x,Y y)=P(X x) (Y y)为为(X, Y)的的联合分布函数联合分布函

41、数, 简称为简称为分布函数分布函数.一个重要的公式：一个重要的公式：二、联合分布函数的定义与意义二、联合分布函数的定义与意义yxox1x2y1y2(X, Y )(x2 , y2)(x2 , y1)(x1 , y2)(x1 , y1)1212,P xXxyYyyo(x, y)(X, Y )x22211211(,)(,)(,)(,)F xyF xyF x yF x y 理学院李建峰 概率论与数理统计课件N李李o建建t峰峰e: 541.若某二元函数具若某二元函数具有这四条性质有这四条性质,则则它必是某二维随它必是某二维随机变量的分布函机变量的分布函数，并且这四条数，并且这四条性质缺一不可性质缺一不可

42、.2.性质性质4还给出了还给出了由联合分布求分由联合分布求分量分布的表达式。量分布的表达式。3.联合分布包含更联合分布包含更多的信息多的信息,由联合由联合分布可以求出边分布可以求出边缘分布缘分布, 由边缘分由边缘分布一般无法求出布一般无法求出联合分布联合分布.三、联合分布函数的性质三、联合分布函数的性质(2) F (x,y )是变量 x或y 的单调不减右连续函数；(1) 0( , )1,(,)1F x yF ；22211211(3)(,)(,)(,)(,)0;F xyF xyF x yF x y（相容性）(,)( ,)(, )0;FF xFy (4) ( ,)()( )XF xP XxFx -

43、X的边缘分布函数的边缘分布函数(, )()( )YFyP YyFy-Y的边缘分布函数的边缘分布函数 理学院李建峰 概率论与数理统计课件N李李o建建t峰峰e: 55例例 2.23 P99.1例例2.22 问二元函数是否可作为某二维随机变量的联合分布函数？1,0( , )0,0 xyF x yxy当当 理学院李建峰 概率论与数理统计课件N李李o建建t峰峰e: 562.7 2.7 二维离散型随机变量二维离散型随机变量一、二维离散型随机变量及联合分布律一、二维离散型随机变量及联合分布律定义定义 2.12 如果二维随机变量(X, Y)可能取的值只有有限个有限个或可列个可列个，则称(X, Y)为二维离散型

44、随二维离散型随机变量机变量。 定义定义 2.13 设二维离散型随机变量(X, Y)所有可能取的值为(xi, yj) ， (i=1,2, j=1,2,) 则称 PX =xi,Y =yj=pij, (i, j=1,2,)为(X, Y)的联合分布律联合分布律，或称为(X, Y)的分布律分布律。 理学院李建峰 概率论与数理统计课件N李李o建建t峰峰e: 57二维离散型随机变量(X, Y) 分布律也可表为： 联合分布律的性质：联合分布律的性质：(1)0( ,1,2,)ijpi j(2)1ijijp (3) ( , )ijxx yyijF x yp 理学院李建峰 概率论与数理统计课件N李李o建建t峰峰e:

45、 58例例 2.23 一个口袋中有外型相同的2红、4白6个球,从袋中不放回地抽取两次球，每次取一个.设X=第一次取得白球的个数, Y=第二次取得白球的个数, 试求： (X, Y)的分布律；F(0.5，1)；P(XY). 理学院李建峰 概率论与数理统计课件N李李o建建t峰峰e: 591. 试求试求例例2.23中中X,Y 的的边缘边缘分分布律布律.二、边缘分布律二、边缘分布律定义定义 2.14 设 (X, Y)是二维离散型随机变量， X的分布律： (),iiijijjjPP XxP Xx Yyp (),jjijijiiPP YyP Xx Yyp Y的分布律：称为(X, Y)关于X的边缘分布律边缘分

46、布律； 称为(X, Y)关于Y的边缘分布律边缘分布律。 1,2,i 1,2,j 理学院李建峰 概率论与数理统计课件N李李o建建t峰峰e: 601. 条件分布律仍条件分布律仍然是分布律然是分布律,和一和一般分布律相比般分布律相比,在在形式上多了一个形式上多了一个条件条件. 它满足性质：它满足性质：三、条件分布律三、条件分布律 定义定义 2.15 设 (X, Y)是二维离散型随机变量，对于固定的 j ，若PY= yj0， 则Y= yj已发生的条件下，X= xi发生的概率：PX=xi|Y=yj=pij/pj (i=1,2,),称为在在Y= yj下下X的的条件分布律条件分布律；类似，若PX= xi0，

47、则称 PY=yj|X=xi=pij/pi (j=1,2,)为在在X= xi下下Y的条的条件分布律件分布律。(1)/0.ijjpp例例2.24 p104,A.1(2)/1.ijjipp 理学院李建峰 概率论与数理统计课件N李李o建建t峰峰e: 612.8 2.8 二维连续型随机变量二维连续型随机变量1. 和一维情形一和一维情形一样样,要求：要求：明了明了密度的形式密度的形式会会求解积分。求解积分。2. 从定义可看出从定义可看出此时的分布函数此时的分布函数关于关于x或或y均是连续均是连续的。的。3. 几何上几何上 z = f (x,y)表示空间的一个表示空间的一个曲面曲面, P(X,Y) G 表示

48、表示以以 G 为底为底,以以曲面曲面z = f (x,y)为顶为顶的曲顶柱体的体的曲顶柱体的体积。积。一、联合概率密度一、联合概率密度定义定义 2.16 设二维随机变量(X,Y) 的分布函数为F(x,y),如果存在非负实值函数 f (x,y),使得对于任意实数 x,yR,有则称(X,Y)为二维连续型随机变量二维连续型随机变量，f(x,y)为(X,Y)的联合概率密度联合概率密度，简称为概率密度概率密度或密度密度。( , )(,), )(xyfdF x yP XxudvvYyu yo(x, y)(X, Y )x 理学院李建峰 概率论与数理统计课件N李李o建建t峰峰e: 621.性质给出了二维性质给

49、出了二维连续型随机变量连续型随机变量问题一般和二重问题一般和二重积分有关积分有关,要熟练要熟练求解二重积分求解二重积分.2(4)( , )( , )( , )( , );f x yx yF x yf x yxy若在点连续，则有(5)()0.LP XYL对任一条平面曲线有，(1)( , )0;f x y (2)( , )1;f x y dxdy (3)(, )( , );GPX YGf x y dxdy二、密度函数的性质二、密度函数的性质(,)( , );P xXxx yYyyf x yx y 理学院李建峰 概率论与数理统计课件N李李o建建t峰峰e: 63例例 2.25 设二维随机变量设二维随机

50、变量 (X, Y) 的密度为的密度为,()0,0( , )0,x ycexyf x y 其它x+y=1例例 2.26 设二维随机变量设二维随机变量 (X, Y) 的密度为的密度为2101 023( , )0 xxyxyf x y ，其它求：1YXPx=1(1)(2) 1;cP XY求： 常数 ； (3)(, )X Y 的联合分布函数1yxoyxo1x+y=12y=2 理学院李建峰 概率论与数理统计课件N李李o建建t峰峰e: 641.联合分布包含更联合分布包含更多的信息多的信息,由联合由联合分布可以求出边分布可以求出边缘分布缘分布,但由边缘但由边缘分布一般无法求分布一般无法求出联合分布出联合分布

51、.2. 注意求解积分注意求解积分,二维情形最好画二维情形最好画出草图。出草图。三、边缘概率密度三、边缘概率密度 ,XFxP XxF x ,YFyP YyFy ( ),XXfxFxfx y dy ( ),YYfyFyfx y dx,xf u y dy du ,yfx v dx dv例例 2.27 设二维随机变量设二维随机变量 (X, Y) 的密度为的密度为2101 023( , )0 xxyxyf x y ，其它试求两个边缘概率密度。试求两个边缘概率密度。 理学院李建峰 概率论与数理统计课件N李李o建建t峰峰e: 651.条件密度仍然是条件密度仍然是密度密度,和一般密度和一般密度函数相比函数相比

52、,在形式在形式上多了一个条件。上多了一个条件。四、条件概率密度四、条件概率密度定义定义 2.17 设 (X, Y)是二维连续型随机变量,对于固定的 y , 若fY(y)0, 则称f(x|y)= fX|Y (x|y)= f(x,y)/fY(y)为在在Y= y下下X的条件概率密度的条件概率密度；类似,对于固定的 x , 若fX(x)0, 则称f(y|x)= fY|X (y|x)= f(x,y)/fX(x) 为在在X= x下下Y的条件概率密度的条件概率密度.条件概率密度的性质条件概率密度的性质:(1) ( | )0;f x y (2)|1.f x y dx 理学院李建峰 概率论与数理统计课件N李李o

53、建建t峰峰e: 66定义定义 2.18 设 (X, Y)是二维连续型随机变量,对于固定的 y , 若fY(y)0, 则称为在在Y= y下下X的条件分布函数的条件分布函数；类似,对于固定的 x , 若fX(x)0, 则称,)|()|()|(xduyufyYxXPyxF为在在X= x下下Y的条件分布函数的条件分布函数.,)|()|()|(ydvxvfxXyYPxyF1. 利用条件密度利用条件密度可以求解形如可以求解形如PX x|Y=y的概率的概率,但要注意形如但要注意形如PX x|Y y的概率的概率求解方法的不同求解方法的不同. 理学院李建峰 概率论与数理统计课件N李李o建建t峰峰e: 67例例

54、2.28 设二维随机变量 (X, Y) 的密度为46,0,0,(1)( , )0,.xyx yf x y 其它: 1( );Yfy求 （）|(2)0( | );X Yyfx y当时，(3) 01|1;PXY(4) 1/2|0P XY 理学院李建峰 概率论与数理统计课件N李李o建建t峰峰e: 681. 若若(X,Y)服从区服从区域域D上的均匀分布上的均匀分布, (X,Y)出现在出现在 D内内的概率为的概率为1.2.若若(X,Y)服从区域服从区域D上的均匀分布上的均匀分布, 则(X,Y)落入落入D内子内子区域区域D1上的概率上的概率与与D1的位置及形的位置及形状无关状无关,仅与仅与D1的的面积呈正

55、比面积呈正比,比例比例系数是系数是1/A。3. 虽然虽然(X, Y)的联的联合分布是二维均合分布是二维均匀分布匀分布,但其边缘但其边缘分布却不是一维分布却不是一维均匀分布均匀分布.定义定义 2.19 设设D是平面上的有界区域是平面上的有界区域,面积为面积为A,若随机变量若随机变量 (X,Y) 的密度函数为的密度函数为则称随机变量则称随机变量 (X,Y) 服从区域服从区域D上的上的均匀分布均匀分布.五、两种重要的二维连续型分布五、两种重要的二维连续型分布., 0,),(,/1),(其它DyxAyxf例例 2.29 设区域设区域D由由y=x2及及y=x所围所围, 随机变量随机变量 (X, Y) 服

56、从区域服从区域D上的均匀分布上的均匀分布,求求(X, Y)的联合概率的联合概率密度和各自的边缘概率密度密度和各自的边缘概率密度.y=xy=x21yxo 理学院李建峰 概率论与数理统计课件N李李o建建t峰峰e: 691. 二维正态分布二维正态分布的密度不要求强的密度不要求强记记;但要理解但要理解5个参个参数范围及其顺序数范围及其顺序.2. 通过定理要掌通过定理要掌握：握：二维正态二维正态分布分布的边缘分布是一的边缘分布是一维正态分布维正态分布, ,并且并且参数有相应的对参数有相应的对应关系；应关系；两个边缘分布两个边缘分布和第和第5 5个参数个参数 没没有关系；有关系；联合分布能唯联合分布能唯一

57、确定边缘分布一确定边缘分布, ,反之不成立。反之不成立。定义定义 2.20 若随机变量 (X,Y) 的密度函数为则称随机变量 (X,Y) 服从参数为(1,2,12,22,) 的正态分布正态分布.记作(X,Y) N( 1, 2, 12, 22, ) .其中, 1+, 20,20,|1. 2212221122112211exp2(1)21()2() fxyxxyy ，定理定理 2.4 若(X,Y) N( 1, 2, 12, 22, ) ， 则X N( 1, 12)， Y N( 2, 22). 理学院李建峰 概率论与数理统计课件N李李o建建t峰峰e: 702.9 2.9 随机变量的相互独立性随机变量

58、的相互独立性1. 可以引申为：可以引申为：由由X和和Y分布构成分布构成的的任意任意事件事件A与与B相互独立。相互独立。2. 由定义易见由定义易见:在在相互独立条件下相互独立条件下,联合分布与边缘联合分布与边缘分布相互决定。分布相互决定。3. 必须对所有的必须对所有的i，j都成立都成立.一、随机变量相互独立的定义一、随机变量相互独立的定义定义定义 2.21 设设 X ,Y是两个随机变量是两个随机变量,若对任意实若对任意实数数x, y,都有都有 F(x,y)=P(X x,Y y)=P(X x)P(Y y)=FX(x)FY(y)则称则称 X与与Y 相互独立相互独立，简称，简称X与与Y 独立独立.二、

59、离散型随机变量独立的充要条件二、离散型随机变量独立的充要条件定理定理 2.5 若若(X , Y ) 是离散型随机变量，则是离散型随机变量，则X与与Y相互独立的充分必要条件是：相互独立的充分必要条件是：pij=pi p j ,(i,j=1,2,). 理学院李建峰 概率论与数理统计课件N李李o建建t峰峰e: 711. 对于实际问题对于实际问题也可以由实际意也可以由实际意义判断独立性。义判断独立性。例例 2.30 一个袋中有外型相同的一个袋中有外型相同的1红、红、4白白5个球个球,从袋中连抽取两次球，每次取一个从袋中连抽取两次球，每次取一个.令令1,1,0,0,XY第一次取到白球第二次取到白球；第一

60、次取到红球第二次取到红球现采取：现采取：(1) 不放回抽取；不放回抽取； (2) 有放回抽取；有放回抽取；试判断试判断X与与Y的独立性的独立性。 理学院李建峰 概率论与数理统计课件N李李o建建t峰峰e: 721.一般当联合分布一般当联合分布函数或联合密度函数或联合密度函数能分解成函数能分解成变变量量x与与y各自无关的各自无关的函数的积函数的积,随机变随机变量量X与与Y相互独立。相互独立。三、连续型随机变量独立的充要条件三、连续型随机变量独立的充要条件试判断随机变量试判断随机变量X、Y是否相互独立是否相互独立定理定理 2.6 若若(X , Y ) 是连续型随机变量，则是连续型随机变量，则X与与Y

61、相互独立的充分必要条件是：相互独立的充分必要条件是：f(x,y) =fX(x) fY(y). 在联合密度与边缘密度的所有公共连续点处成立在联合密度与边缘密度的所有公共连续点处成立.例例 2.31 设二维随机变量设二维随机变量 (X, Y) 的密度为的密度为2101 02,30 xxyxyf x y，其它定理定理 2.7 若若(X,Y) N( 1, 2, 12, 22, ) ，则随机变量则随机变量X 、 Y相互独立的充要条件是相互独立的充要条件是 =0. 理学院李建峰 概率论与数理统计课件N李李o建建t峰峰e: 732.10 2.10 两个随机变量函数的分布两个随机变量函数的分布一、离散型情况一

62、、离散型情况令令Z=XY,求求Z的分布的分布. 例例 2.32 设二维离散型随机变量设二维离散型随机变量 (X, Y) 的分布律的分布律1. 离散型随机变离散型随机变量的函数仍然为量的函数仍然为离散型随机变量，离散型随机变量，其分布常表现为其分布常表现为分布律形式分布律形式,故求故求出其取值及其对出其取值及其对应概率即可。应概率即可。例例 2.33 P.126,3. (1)( , )(2)( , ),:X YZg X YZ问题已知的分布，求 的分布。 理学院李建峰 概率论与数理统计课件N李李o建建t峰峰e: 74，的取值都是与因210YX，的取值也是故210YXZnZPnYXPnkknYkXP

63、0，nkknYkXP0， nkknYPkXP0独立性nkknkeknek02121!nkknkknknne021!21nne21!21即：)(21PYXZ互斥性 理学院李建峰 概率论与数理统计课件N李李o建建t峰峰e: 75二、二、连续型情况连续型情况 (2)(, )ZFzP ZzP g X Yz例例2.34 设设X, Y相互独立相互独立,XN(0,1),YN(0,1) 令令Z=(X2+Y2)1/2,求求Z的密度函数的密度函数. ZZdfzFzdz(3),XYZ(1)由确定，分布函数法：分布函数法：( , )( , )g x yzf x y dxdy 理学院李建峰 概率论与数理统计课件N李李o

64、建建t峰峰e: 76 Z=X+Y 的分布的分布 ,Zfzfx zx dxfzy y dy当当X, Y相互独立时相互独立时,有有卷积公式卷积公式: dyyfyzfdxxzfxfzfYXYXZ例例 2.35 设设X, Y相互独立，相互独立，XN(0,1)，YN(0,1) 令令Z=X+Y，求，求Z的密度函数。的密度函数。 两种常用的分布：两种常用的分布：y=z-xyxou=zuxou=y+x 理学院李建峰 概率论与数理统计课件N李李o建建t峰峰e: 77定理定理 2.8（正态分布的可加性）（正态分布的可加性） 设设X N( 1, 12), Y N( 2, 22)， 且且X，Y相互独立相互独立,则则X

65、Y N( 1+ 2, 12+ 22) .1. 可将定理可将定理 2.8的的结果推广到到结果推广到到n个个相互独立相互独立随机变随机变量情形。量情形。 理学院李建峰 概率论与数理统计课件N李李o建建t峰峰e: 78 M=max(X, Y)及及N=min(X, Y)的分布的分布1. 可将该结果推可将该结果推广到到广到到n个相互独个相互独立立随机变量情形。随机变量情形。 2. 若若X,Y不具有不具有独立性也可处理独立性也可处理,见见P127.B.4.( ),MFzP MzP Xz Yz设设X, Y相互独立，分布函数分别为相互独立，分布函数分别为FX(x),FY(y)，求求M=max(X, Y)及及N

66、=min(X, Y)的分布的分布. ( )1NFzP NzP Nz P Xz P Yz( )( )XYFz Fz1,P Xz Yz 1 P Xz P Yz 1 1( )1( )XYFzFz ()独立性()独立性 理学院李建峰 概率论与数理统计课件N李李o建建t峰峰e: 79例例 2.36 系统系统L是由两个相互独立的子系统是由两个相互独立的子系统L1,L2并联而成，并联而成，Li的寿命为随机变量的寿命为随机变量 (i=1,2)，试求系统，试求系统L的寿命的寿命Z的密度函数。的密度函数。若系统是串连而成的呢？若系统是串连而成的呢？()XEii 理学院李建峰 概率论与数理统计课件N李李o建建t峰峰e: 803.1 3.1 数学期望数学期望 (Mathematical expectation)1.甲甲,乙两人射击乙两人射击的的平均环数平均环数反映反映了两人射击水平了两人射击水平的差异。的差异。2. 定义定义3.1给出计给出计算均值的条件、算均值的条件、方式。方式。例例 3.1 甲,乙进行射击，成绩如下：一、离散型随机变量数学期望一、离散型随机变量数学期望环数 8 9 10发数 2 4 3甲甲