高中数学第四章圆与方程4.1.1圆的标准方程教学课件新人教A版必修

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1、Ar xyO4.1.1 4.1.1 圆的标准方程圆的标准方程复习引复习引入入探究新探究新知知应用举应用举例例课堂小课堂小结结课后作课后作业业复习引入复习引入问题问题1：平面直角坐标系中，如何确定一个：平面直角坐标系中，如何确定一个圆？圆？圆心：确定圆的位置圆心：确定圆的位置半径：确定圆的大小半径：确定圆的大小问题问题2：圆心是圆心是A(A(a a, ,b b),),半径是半径是r r的圆的方程是什么？的圆的方程是什么？xyOCM( (x, ,y) )rbyax22)()(x-a)2+(y-b)2=r2三个独立条件三个独立条件a a、b b、r r确定一个圆的方程确定一个圆的方程. .设点设点M

2、 ( (x, ,y) )为圆为圆C上任一点上任一点，则则|MC|= r。探究新知探究新知 问题问题：是否在圆上的点都适合这个方程？是否适是否在圆上的点都适合这个方程？是否适合这个方程的坐标的点都在圆上？合这个方程的坐标的点都在圆上？222)()(rbyax 点点M(x, y)在圆上，由前面讨论可知，点在圆上，由前面讨论可知，点M的坐的坐标适合方程；反之，若点标适合方程；反之，若点M(x, y)的坐标适合方程，的坐标适合方程，这就说明点这就说明点 M与圆心的距离是与圆心的距离是 r ，即点，即点M在圆心为在圆心为A (a, b)，半径为，半径为r的圆上的圆上想一想想一想?xyOCM( (x, ,

3、y) )圆心圆心C( (a, ,b),),半径半径r特别地特别地,若圆心为若圆心为O（0，0），），则圆的方程为则圆的方程为：222)()(rbyax标准方程标准方程222ryx知识点一：圆的标准方程知识点一：圆的标准方程 1.说出下列圆的方程：说出下列圆的方程： (1)圆心在点圆心在点C(3, -4), 半径为半径为7.(2) 经过点经过点P(5,1)，圆心在点，圆心在点C(8,-3).2. 说出下列方程所表示的圆的圆心坐标和半径：说出下列方程所表示的圆的圆心坐标和半径：(1) (x + 7)2 + ( y 4)2 = 36 (2) x2 + y2 4x + 10y + 28 = 0 (3)

4、 (x a)2 + y 2 = m2 应用举例应用举例特殊位置的圆的方程特殊位置的圆的方程: 圆心在原点圆心在原点: x2 + y2 = r2 (r0)圆心在圆心在x轴上轴上: (x a)2 + y2 = r2 (r0) 圆心在圆心在y轴上轴上: x2+ (y b)2 = r2 (r0) 圆过原点圆过原点: (x a)2 + (y-b)2 = b2 (b0)圆心在圆心在x轴上且过原点轴上且过原点: (x a)2 + y2 = a2 (a0)圆心在圆心在y轴上且过原点轴上且过原点: x 2 + (y-b)2 = b2 (b0)圆与圆与x轴相切轴相切: (x a)2 + (y-b)2 = a2+b

5、2 (a2+b20)圆与圆与y轴相切轴相切: (x a)2 + (y-b)2 = a2 (a0)圆与圆与x,y轴都相切轴都相切: (x a)2 + (ya)2 = a2 (a0) 例例1 1 写出圆心为写出圆心为 ，半径长等于，半径长等于5的圆的方的圆的方程，并判断点程，并判断点 ， 是否在这个圆上。是否在这个圆上。)3, 2( A)7, 5(1M) 1, 5(2M 解：解：圆心是圆心是 ，半径长等于，半径长等于5的圆的标准方的圆的标准方程是：程是：)3, 2(A 把把 的坐标代入方程的坐标代入方程 左右两边相等，点左右两边相等，点 的坐标适合圆的方程，所以点的坐标适合圆的方程，所以点 在这个

6、圆上；在这个圆上；)7, 5(1M25) 3()2(22yx1M1M) 1, 5(2M2M2M 把点把点 的坐标代入此方程，左右两边的坐标代入此方程，左右两边不相等，点不相等，点 的坐标不适合圆的方程，所以点的坐标不适合圆的方程，所以点 不不在这个圆上在这个圆上25)3()2(22yx跟踪训练跟踪训练已知两点已知两点M(3,8)和和N(5,2)(1)求以求以MN为直径的圆为直径的圆C的方程；的方程；(2)试判断试判断P1(2,8)，P2(3,2)，P3(6,7)是在圆上，在是在圆上，在圆内，还是在圆外？圆内，还是在圆外？知识探究二：点与圆的位置关系知识探究二：点与圆的位置关系 探究：在平面几何

7、中，如何确定点与圆的位置关探究：在平面几何中，如何确定点与圆的位置关 系？系？M MO O|OM|OM|r r点在圆内点在圆上点在圆外(x(x0 0-a)-a)2 2+(y+(y0 0-b)-b)2 2r r2 2; ;(x(x0 0-a)-a)2 2+(y+(y0 0-b)-b)2 2=r r2 2(x(x0 0-a)-a)2 2+(y+(y0 0-b)-b)2 2r r2 2时时, ,点点M M在圆在圆C C外外; ;(x(x0 0-a)-a)2 2+(y+(y0 0-b)-b)2 2=r r2 2时时, ,点点M M在圆在圆C C上上; ;(x(x0 0-a)-a)2 2+(y+(y0

8、0-b)-b)2 2r r2 2时时, ,点点M M在圆在圆C C内内. .点与圆的位置关系点与圆的位置关系: :知识点二：点与圆的位置关系知识点二：点与圆的位置关系待定系数待定系数法法解：设所求圆的方程为解：设所求圆的方程为：因为因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上都在圆上所求圆的方程为所求圆的方程为例例2 ABC2 ABC的三个顶点的坐标分别是的三个顶点的坐标分别是A(5,1),A(5,1), B(7,-3),C(2,-8), B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程。求它的外接圆的方程。222222222)8()2()3()7()1 ()5(rbarbarb

9、a,. 53, 2rba25)3()2(22yx222)()(rbyax例例3 3 己知圆心为己知圆心为C C的圆经过点的圆经过点A(1,1)A(1,1)和和B(2,-2),B(2,-2),且圆心在且圆心在直线直线l:x-y+1=0l:x-y+1=0上上, ,求圆心为求圆心为C C的圆的标准方程的圆的标准方程. .圆经过圆经过A(1,1),B(2,-2)解解2:设圆设圆C的方程为的方程为222()(),xaybr圆心在直线圆心在直线l:x-y+1=0上上22222210(1)(1)(2)( 2)ababrabr 325abr 22(2)25.Cy圆心为 的圆的标准方程为(x+3)待定系数法待定

10、系数法解解: :A(1,1),B(2,-2)例例3 3 己知圆心为己知圆心为C C的圆经过点的圆经过点A(1,1)A(1,1)和和B(2,-2),B(2,-2),且圆心在且圆心在直线直线l:x-y+1=0l:x-y+1=0上上, ,求圆心为求圆心为C C的圆的标准方程的圆的标准方程. .312 1( ,),3.222 1ABABDk 线段的中点113().232ABx线段的垂直平分线CD的方程为：y+即：即：x-3y-3=0103,3302xyxlxyy 联立直线 CD的方程：解得：圆心圆心C(-3,-2)22(1 3)(12)5.rAC 22(2)25.Cy圆心为 的圆的标准方程为(x+3)

11、练习练习2.2.根据下列条件，求圆的方程：根据下列条件，求圆的方程：（1 1）求过两点）求过两点A A(0,4)(0,4)和和B B(4,6),(4,6),且圆心在直线且圆心在直线x x- -y y+1=0+1=0上的圆的标准方程。上的圆的标准方程。（2 2）圆心在直线）圆心在直线5x-3y=85x-3y=8上，又与两坐标轴相上，又与两坐标轴相切，求圆的方程。切，求圆的方程。（3 3）求以）求以C C(1,3)(1,3)为圆心，且和直线为圆心，且和直线3x-4y-7=03x-4y-7=0相切的直线的方程。相切的直线的方程。1.点点(2a, 1 a)在圆在圆x2 + y2 = 4的内部的内部,求

12、实数求实数 a 的的取值范围取值范围.思考思考例例 已知圆的方程是已知圆的方程是x2 + y2 = r2，求经过圆上一求经过圆上一 点点 的切线的方程。的切线的方程。),(00yxMXY0),(00yxM解解: :)(,00 xxkyy设切线方程为如图,00 xykOMOM的斜率为半径00,yxkOM所以垂直于圆的切线因)(0000 xxyxyy切线方程为202000,yxyyxx整理得,22020ryx200ryyxx所求圆的切线方程为1.1.圆的标准方程圆的标准方程222)()(rbyax（圆心（圆心C( (a, ,b),),半径半径r）2.2.点与圆的位置关系点与圆的位置关系3.3.求圆的标准方程的方法：求圆的标准方程的方法： 待定系数法待定系数法 几何法几何法小结小结