二重积分概念80564

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1、 第十章第十章 重重 积积 分分 一元函数积分学一元函数积分学多元函数积分学多元函数积分学重积分重积分曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分第十一章第十一章推广推广 第十章 三、二重积分的性质三、二重积分的性质 一、引例一、引例 二、二重积分的定义与可积性二、二重积分的定义与可积性 10.1 二重积分的概念与性质 第十章 解法解法: 类似定积分解决问题的思想类似定积分解决问题的思想:一、引例一、引例1.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体给定曲顶柱体:0),(yxfz底：底： xoy 面上的闭区域面上的闭区域 D顶顶: 连续曲面连续曲面侧面：侧面：以以 D 的边界为准线的边界为准线 , 母线平

2、行于母线平行于 z 轴的柱面轴的柱面求其体积求其体积.“分割分割, 近似近似, 求求(近似近似)和和, (取取)极限极限” D),(yxfz D),(yxfz 1)“分割分割”用用任意任意曲线网分曲线网分D为为 n 个区域个区域n,21以它们为底把曲顶柱体分为以它们为底把曲顶柱体分为 n 个个2)“近似近似”在每个在每个k, ),(kk3)“3)“求（近似）和求（近似）和”nkkVV11(,)nkkkkf ),(kkf),2, 1(),(nkfVkkkk则则中中任取任取一点一点小曲顶柱体小曲顶柱体k),(kk4)“4)“( (取取) )极限极限”的直径为定义kkk,PPPP2121max)(令

3、令)(max1knknkkkkfV10),(lim),(yxfz ),(kkfk),(kk2. 平面薄片的质量平面薄片的质量 有一个平面薄片有一个平面薄片, 在在 xoy 平面上占有区域平面上占有区域 D ,( , )x y计算该薄片的质量计算该薄片的质量 M .度为度为),(),(常数若yx设设D 的面积为的面积为 , 则则M若若),(yx非常数非常数 , 仍可用仍可用其面密其面密 “分割分割, 近似近似,求求(近似近似)和和, (取取)极限极限” 解决解决.1)“分割分割”用用任意任意曲线网分曲线网分D 为为 n 个小区域个小区域,21n相应把薄片也分为小区域相应把薄片也分为小区域 .Dy

4、x(连续连续),2)“近似近似”中中任取任取一点一点k在每个),(kk3)“求求(近似近似)和和”nkkMM1nkkkk1),(4)“(取取)极限极限”)(max1knk令nkkkkM10),(limk),(kk),2, 1(),(nkMkkkk则第则第 k 小块的质量小块的质量yx两个问题的两个问题的共性共性：(1) 解决问题的步骤相同解决问题的步骤相同(2) 所求量的结构式相同所求量的结构式相同“分割分割, 近似近似, 求求(近似近似)和和,(取取)极限极限”nkkkkfV10),(limnkkkkM10),(lim曲顶柱体体积曲顶柱体体积: 平面薄片的质量平面薄片的质量: 二、二重积分的

5、定义及可积性二、二重积分的定义及可积性定义定义:),(yxf设将区域将区域 D 任意任意分成分成 n 个小区域个小区域),2,1(nkk任取任取一点一点,),(kkk若极限若极限可积可积 , ),(yxf则称Dyxfd),(),(yxfI为称在在D上的上的二重积分二重积分.称为积分变量yx,积分和积分和Dyxfd),(积分域积分域被积函数被积函数积分表达式积分表达式面积元素面积元素记作记作是定义在有界区域是定义在有界区域 D上的有界函数上的有界函数 , Df或或01lim(,)nkkkkf 存在存在(记为记为I)（黎曼和）（黎曼和）DyxfVd),(引例引例1中曲顶柱体体积中曲顶柱体体积:Dy

6、xMd),(引例引例2中平面薄板的质量中平面薄板的质量:如果如果 在在D上可积上可积,),(yxf也常也常d,ddyx二重积分记作二重积分记作.dd),(Dyxyxf,kkkyx 这时这时分区域分区域D , 因此面积元素因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划可用平行坐标轴的直线来划 记作记作Dyxyxfdd),(Dyxyxdd),( , )d dDf x yx y或或二重积分存在定理二重积分存在定理:若函数若函数),(yxf),(yxf定理定理2.),(yxf上可在则Dyxf),(证明略证明略)定理定理1.在在D上可积上可积.限个点或有限条光滑曲线外都连续限个点或有限条光滑曲线外都连续 ,积积.

7、在有界闭区域在有界闭区域 D上连续上连续, 则则若有界函数若有界函数在有界闭区域在有界闭区域 D 上除去有上除去有 三、二重积分的性质三、二重积分的性质Dyxfkd),(. 1( k 为常数为常数)Dyxgyxfd),(),(. 221d),(d),(d),(. 3DDDyxfyxfyxf, 1),(. 4yxfD上若在DDdd1 为为D 的面积的面积, 则则 ),(2121无公共内点DDDDDDyxfkd),(DDyxgyxfd),(d),(有和定积分完全对应的性质有和定积分完全对应的性质:7条条)假定下列性质中出现的二重积分存在假定下列性质中出现的二重积分存在特别特别, 由于由于),(),

8、(),(yxfyxfyxf( , )dDf x y则则Dyxfd),(Dyxd),(5. 若在若在D上上),(yxf, ),(yxDyxfd),(6. 设设),(min),(maxyxfmyxfMDDD 的面积为的面积为 ,MyxfmDd),(则有则有( , )dDf x y( , ) dDf x y( , ) dDf x y即即7.(二重积分的中值定理二重积分的中值定理),(yxf设函数,),(D),(),(fdyxfD证证: 由性质由性质6 可知可知,MyxfmDd),(1由连续函数介值定理由连续函数介值定理, 至少有一点至少有一点D),(Dyxffd),(1),(),(d),(fyxfD

9、在闭区域在闭区域D上上 为为D 的面积的面积 ,则至少存在一点则至少存在一点使使使使连续连续,因此因此例例1. 比较下列积分的大小比较下列积分的大小:d)(,d)(32DDyxyx其中其中2) 1()2( :22yxD解解: 积分域积分域 D 的边界为圆周的边界为圆周1 yx332)()(yxyx2) 1()2(22yx它与它与 x 轴交于点轴交于点 (1,0) ,.1相切与直线 yx而域而域 D 位位, 1 yx从而从而d)(d)(32DDyxyx于直线的上方于直线的上方, 故在故在 D 上上 1y2xo1D例例2. 设设D 是第二象限的一个有界闭域是第二象限的一个有界闭域 , 且且 0 y

10、 1, 则则,d31DxyI,d322DxyI1233dDIy x的大小顺序为的大小顺序为 ( ).)(;)(;)(;)(213123312321IIIDIIICIIIBIIIA提示提示: 因因 0 y 1, 故故122;yyyD故在故在D上有上有, 03x又因123323y xyxy xyox1D例例3. 估计下列积分之值估计下列积分之值10:coscos100ddI22yxDyxyxD解解: D 的面积为的面积为200)210(2由于由于yx22coscos1001积分性质积分性质6100200I102200即即: 1.96 I 210101010D10011021xyoxyo D性质性质

11、8. 设函数设函数),(yxfD 位于位于 x 轴上方的部分为轴上方的部分为D1 , ),(),() 1 (yxfyxf),(),()2(yxfyxfd),(Dyxf0d),(Dyxf当区域关于当区域关于 y 轴对称轴对称, 函数关于变量函数关于变量 x 有奇偶性时有奇偶性时, 仍仍1D在在 D 上上d),(21Dyxf在闭区域上连续在闭区域上连续, 域域D 关于关于x 轴对称轴对称,则则则则有类似结果有类似结果.在第一象限部分在第一象限部分, 则有则有1:,221 yxDD 为圆域如Dyxyxdd)(22Dyxyxdd)(1dd)(422Dyxyx0(关于关于y为偶函数为偶函数)d dd d

12、DDx xyyxy例例4. （总习题十（总习题十1.(2)解：解：D3关于关于x轴对称轴对称,且被积函数关于且被积函数关于y为奇函数为奇函数(cos sin )d dDxyxyxyaaxyoD91年考研题）年考研题）23DD2D3D1( , ) 0,Dx yxa xya3(cos sin )d d0Dxyxyxy所以所以D2关于关于y轴对称轴对称,且被积函数关于且被积函数关于x: xy(奇奇),cosxsiny (偶偶) 21(cos sin )d d02cos sind dDDxyxyxyxyxy例例5.计算计算,dd)1ln(2yxyyxID其中其中D 由由,42xy1,3xxy所围成所围

13、成.oyx124xyxy32D1D1x解解: 令令)1ln(),(2yyxyxf21DDD(如图所示如图所示)显然显然,1上在D),(),(yxfyxf,2上在D),(),(yxfyxfyxyyxIDdd)1ln(120yxyyxDdd)1ln(224xbad 四、曲顶柱体体积的计算四、曲顶柱体体积的计算设曲顶柱的底为设曲顶柱的底为bxaxyxyxD)()(),(21任取任取, ,0bax 平面平面0 xx 故曲顶柱体体积为故曲顶柱体体积为DyxfVd),(yyxfxAxxd),()()()(000201截面积为截面积为yyxfxxd),()()(21baxxAd )(截柱体的截柱体的)(2x

14、y)(1xyzxyoab0 xDydcxo)(2yx)(1yxyydcd dycyxyyxD),()(),(21同样同样, 曲顶柱的底为曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算则其体积可按如下两次积分计算DyxfVd),(xyxfyyd),()()(21xyxfyyd),()()(21dcyd例例6. 求两个底圆半径为求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积的直角圆柱面所围的体积.xyzRRo解解: 设两个直圆柱方程为设两个直圆柱方程为,222Ryx利用对称性利用对称性, 考虑第一卦限部分考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为其曲顶柱体的顶为则所求体积为则所求体积为yxxRVDdd822220dxRyxxRRd)(80223316R222Rzx22xRz 00:),(22RxxRyDyxxxRRd8022222Ryx222RzxD内容小结内容小结1. 二重积分的定义二重积分的定义Dyxfd),(iiinif),(lim10)dd(dyx2. 二重积分的性质二重积分的性质与定积分完全对应的性质与定积分完全对应的性质:7条条;补充一条对称性补充一条对称性.作业作业 习题10-1 2（可用性质8），43，54