信号与系统分析PPT电子教案第四章 连续时间系统的复频域分析

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1、线性系统的拉氏变换分析法 拉氏变换是分析线性连续系统的有力工拉氏变换是分析线性连续系统的有力工具具, ,它将描述系统的时域微积分方程变换为它将描述系统的时域微积分方程变换为s s域的代数方程域的代数方程, ,便于运算和求解便于运算和求解; ;同时同时, ,它它将系统的初始状态自然地含于象函数方程将系统的初始状态自然地含于象函数方程中中, ,既可分别求得零输入响应、零状态响应既可分别求得零输入响应、零状态响应, ,也可一举求得系统的全响应。也可一举求得系统的全响应。 微分方程的拉氏变换解微分方程的拉氏变换解 设设LTILTI系统的激励为系统的激励为f(t),f(t),响应为响应为y(t),y(t

2、),描述描述n n阶系统的微分方程的一般形式可写为阶系统的微分方程的一般形式可写为1110111101( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnnnmmmmmmd y tdy tdy taaaa y tdtdtdtd f tdf tdf tbbbb f tdtdtdt 对上式两边取拉普拉斯变换对上式两边取拉普拉斯变换,并假定并假定f(t)是因是因果信号（有始信号），即果信号（有始信号），即t0时时,f(t)=0,因而因而 (1)(0 )(0 )(0 )(0 )0nffff 利用时域微分性质利用时域微分性质, ,有有 1(1)2112(2)1111100( )( )(0 )(0 )

3、(0 )( )( )(0 )(0 )( )( )(0 )( )( )nLnnnnnnnnLnnnnnnLLd y taa s Y ssysyydtdy taasY ssyydtdy taa sY sydta y ta Y s 111111100( )( )( )( )( )( )( )( )mLmmmmmLmmmmLLd f tbb s F sdtdf tbbsF sdtdf tbbsF sdtb f tb F s 1110111012112312(2)1(1)() ( ) ( )() (0 )()(0 )()(0 )(0 )nnnnmmmmnnnnnnnnnnnnna sasa sa Y s

4、b sbsbsb F sa sasa ya sasaya saya y111011101( )0() ( )() ( )( )(0 )nnnnmmmmniiia sasa sa Y sb sbsbsb F sA s y 可见可见, ,时域的微分方程通过取拉氏变时域的微分方程通过取拉氏变换化成复频域的代数方程换化成复频域的代数方程, ,并且自动地引并且自动地引入了初始状态。响应的拉普拉斯变换为入了初始状态。响应的拉普拉斯变换为1( )111001111110110( )(0 )( )( )( )( )nimmimminnnnnnnnzsziA s yb sbsbsbY sF sa sasa sa

5、a sasa saYsYs111011110( )( )( )( )( )mmzsmmnnnnYsb sbsbsbN sH sF sa sasa saD s 例：描述某LTI连续系统的微分方程为 y(t)+3y(t)+2y(t)=2f(t)+6f(t) 已知输入f(t)=(t),初始状态y(0-)=2,y(0-)=1。试求系统的零输入响应 解 对微分方程取拉普拉斯变换,可得 s2Y(s)-sy(0-)-y(0-)+3sY(s)-3y(0-)+2Y(s) =2sF(s)+6F(s)即 (s2+3s+2)Y(s)-sy(0-)+y(0-)+3y(0-)=2(s+3)F(s) 可解得22( )( )

6、( )(0 )(0 )3 (0 )2(3)( )3232zsziY sYsYssyyysF sssss 将将 和各初始值代入上式和各初始值代入上式,得得1( ) ( )F sLts222(3)12(3)( )32(1)(2)341122727( )32(1)(2)5312zszissYsssss sssssssYsssssss 对以上二式取逆变换对以上二式取逆变换, ,得零状态响应和零输得零状态响应和零输入响应分别为入响应分别为1212212( )( )(34)( )( )( )53,0( )( )( )32,0( ) ( )32,0ttzszsttzizittzszittytLYseetytLYseeety tytyteety tLY seet系统的全响应系统的全响应 或直接对或直接对Y(s)取拉氏反变换取拉氏反变换,亦可求得全响应。亦可求得全响应。 直接求全响应时直接求全响应时, ,零状态响应分量和零输零状态响应分量和零输入响应分量已经叠加在一起入响应分量已经叠加在一起, ,看不出不同看不出不同原因引起的各个响应分量的具体情况。原因引起的各个响应分量的具体情况。这时拉氏变换作为一种数学工具这时拉氏变换作为一种数学工具, ,自动引自动引入了初始状态。简化了微分方程的求解。入了初始状态。简化了微分方程的求解。 l 零、极点图零、极点图