D18函数的连续性和间断点

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1、四、四、 函数的间断点及其分类函数的间断点及其分类一、一、 函数连续性的定义函数连续性的定义 第八节函数的连续性与间断点 第一章 三、三、 初等函数的连续性初等函数的连续性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、二、 连续函数的运算性质连续函数的运算性质 例例1.1. 设函数设函数010)(2xxxxexfx一、一、 函数连续的概念函数连续的概念定义定义:)(xfy 在在0 x的某邻域内有定义的某邻域内有定义 , , )()(lim00 xfxfxx则称函数则称函数.)(0连续在xxf设函数设函数且且，讨论，讨论)(xf在在0 x处的连续性。处的连续性。xyo机动 目录 上页 下页 返回 结

2、束 由例题可见由例题可见 , 函数函数)(xf在点在点0 x(1) )(xf在点在点0 x即即)(0 xf(2) 极限极限)(lim0 xfxx(3). )()(lim00 xfxfxx连续必须具备下列条件连续必须具备下列条件:存在存在 ;有定义有定义 ,存在存在 ;例例2.2. 设函数设函数22cos)(xxxxxf，讨论，讨论)(xf2x处的连续性。处的连续性。yxo在在机动 目录 上页 下页 返回 结束 则称则称在在或称它为该区间上的或称它为该区间上的连续函数连续函数 . ,baC在闭区间在闭区间,ba上的连续函数的集合记作上的连续函数的集合记作)()(lim00 xfxfxx0 x)(

3、xf称称在在点处左连续点处左连续)()(lim00 xfxfxx0 x)(xf称称在在点处右连续点处右连续如果如果)(xf在开区间在开区间内每一点都连续内每一点都连续 , ),(ba)(xf上连续上连续 , ),(ba则称则称且在且在 a 点右连续，点右连续，如果如果)(xf在开区间在开区间上连续上连续 , ),(ba)(xf在在 b 点左连续，点左连续，在闭区间在闭区间,ba上连续。上连续。机动 目录 上页 下页 返回 结束 )()(lim, ),(000 xPxPxxx例如例如,nnxaxaaxP10)(在在),(上连续上连续 .有理整函数（多项式函数）有理整函数（多项式函数） 又如又如,

4、 有理分式函数有理分式函数)()()(xQxPxR在其定义域内连续在其定义域内连续.只要,0)(0 xQ都有)()(lim00 xRxRxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 对自变量的增量对自变量的增量,0 xxx有有函数的增量函数的增量)()(0 xfxfy)()(00 xfxxf)(xfy xoy0 xxxy)()(lim00 xfxfxx)()(lim000 xfxxfx0lim0yx函数函数0 x)(xf在点在点连续有下列连续有下列等价命题等价命题:机动 目录 上页 下页 返回 结束 )()(lim00 xfxfxx0lim0yx函数函数0 x)(xf在点在点连续有两种形式的定义：连

5、续有两种形式的定义：用于判断一个具体函数在一个已知点处的连续性用于判断一个具体函数在一个已知点处的连续性用于证明函数在任意点处的连续性；用于证明函数在任意点处的连续性； 或用于函数连或用于函数连续的理论分析续的理论分析机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 证明函数证明函数xysin在在),(内连续内连续 .证证: ),(xxxxysin)sin()cos(sin222xxx)cos(sin222xxxy122 xx0 x即即0lim0yx这说明这说明xysin在在),(内连续内连续 .同样可证同样可证: 函数函数xycos在在),(内连续内连续 .0机动 目录 上页 下页 返回 结束

6、定理定理2. 连续单调递增连续单调递增 函数的反函数函数的反函数xx cot,tan在其定义域内连续在其定义域内连续定理定理1. 在某点连续的在某点连续的有限个有限个函数经函数经有限次有限次和和 , 差差 , 积积 , 连续xx cos,sin商商(分母不为分母不为 0) 运算运算, 结果仍是一个在该点连续的函数结果仍是一个在该点连续的函数 .例如例如,例如例如,xysin在在,22上连续单调递增，上连续单调递增，其反函数其反函数xyarcsin(递减递减).(证明略证明略)在在 1 , 1 上也连续单调递增上也连续单调递增.递增递增(递减递减)也连续单调也连续单调二、连续函数的运算性质二、连

7、续函数的运算性质机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理3. 由连续函数构造的复合函数也是连续函数由连续函数构造的复合函数也是连续函数.xey 在在),(上连续上连续 单调单调 递增递增,反函数反函数xyln在在),0(上也连续单调递增上也连续单调递增. 又如又如, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,xy1sin是由连续函数链是由连续函数链),(,sinuuy,1xu *Rx因此因此xy1sin在在*Rx上连续上连续 .复合而成复合而成 ,xyoxy1sin机动 目录 上页 下页 返回 结束 三三 . 初等函数的连续性初等函数的连续性基本初等函数在定义区间内连续基本初等函数在定

8、义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续连续函数的复合函数连续一切初等函数一切初等函数在在定义区间内定义区间内都连续都连续例如例如,21xy的连续区间为的连续区间为1, 1(端点为单侧连续端点为单侧连续)xysinln的连续区间为的连续区间为Znnn, ) 12( ,2(1cosxy的定义域为的定义域为Znnx,2因此它无连续点因此它无连续点而而机动 目录 上页 下页 返回 结束 在在在在四、四、 函数的间断点及其分类函数的间断点及其分类(1) 函数函数)(xf0 x(2) 函数函数)(xf0 x)(lim0 xfxx不存在不存在;(3) 函数函数)(

9、xf0 x)(lim0 xfxx存在存在 , 但但)()(lim00 xfxfxx 不连续不连续 :0 x设设0 x在点在点)(xf的某去心邻域内有定义的某去心邻域内有定义 ,则则这样的点这样的点0 x下列情形下列情形之一之一时时, 函数函数 f (x) 在在点点 虽有定义虽有定义 , 但但虽有定义虽有定义 , 且且称为称为间断点间断点 . 在在无定义无定义 ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 xytan) 1 (2x为其无穷间断点为其无穷间断点 .0 x为其振荡间断点为其振荡间断点 .xy1sin) 2(1x为可去间断点为可去间断点 .11)3(2xxyxoy1例例4. 4. 求下列函数的

10、间断点求下列函数的间断点xytan2xyoxyxy1sin0时无定义，时无定义，,tanlim2xx且且2x0 x时无定义，时无定义，xx10sinlim且且不存在，不存在，1x时无定义，时无定义，, 211lim21xxx且且机动 目录 上页 下页 返回 结束 1) 1 (1)(lim1fxfx且且1x为其可去间断点为其可去间断点 .1,1,)(21xxxxf(4)xoy211(5) 0,10,00,1)(xxxxxxfxyo11, 1)0(f1)0(f0 x为其跳跃间断点为其跳跃间断点 .1x是分段点是分段点0 x是分段点是分段点机动 目录 上页 下页 返回 结束 初等函数的间断点只能产生

11、在函初等函数的间断点只能产生在函数孤立的无定义点上数孤立的无定义点上 分段函数的间断点往往产生在分段点上分段函数的间断点往往产生在分段点上（具（具体判别）体判别）机动 目录 上页 下页 返回 结束 间断点的寻找：间断点的寻找：间断点分类间断点分类: :第一类间断点第一类间断点:)(0 xf及及)(0 xf均存在均存在 , )()(00 xfxf若若称称0 x, )()(00 xfxf若若称称0 x第二类间断点第二类间断点:)(0 xf及及)(0 xf中至少一个不存在中至少一个不存在 ,称称0 x若其中有一个为振荡若其中有一个为振荡 , 称称0 x若其中有一个为若其中有一个为,为为第一类可去间断

12、点第一类可去间断点 .为为第一类跳跃间断点第一类跳跃间断点 .为为第二类无穷间断点第二类无穷间断点 .为为第二类振荡间断点第二类振荡间断点机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5.5. 讨论函数讨论函数231)(22xxxxfx = 2 是第二类无穷间断点是第二类无穷间断点 .间断点间断点例例6 . 设设0,)1 (0,0,sin)(cos1121xbxxaxxxfxx2e,0ba提示提示:,0)0(f,e)0(2bf)0(fa为连续函数为连续函数,求求 a，b .答案答案: x = 1 是第一类可去间断点是第一类可去间断点 ,及类型。及类型。机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 确定函数确定函数间断点的类型间断点的类型. .xxexf111)(解解: 间断点间断点1,0 xx)(lim0 xfx,0 x为无穷间断点为无穷间断点;,1 时当x xx1,0)(xf,1 时当x xx1,1)(xf故故1x为跳跃间断点为跳跃间断点. ,1,0处在x.)(连续xf机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P41 1( 2，3 )；2（2，3）； 4（3，4，5）；5第九节 目录 上页 下页 返回 结束