第7部分矩阵的特征值和征向量

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1、数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS第7章 矩阵的特征值和特征向量 很多工程计算中，会遇到特征值和特征向量的计算，如：机械、结构或电磁振动中的固有值问题；物理学中的各种临界值等。这些特征值的计算往往意义重大。数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS特征值：0)det()(AIPA的根 为矩阵A的特征值特征向量：满足Avvi的向量v为矩阵A的对于特征值 的i)(AP称为矩阵A

2、的特征多项式 是高次的多项式，它的求根是很困难的。没有数值方法是通过求它的根来求矩阵的特征值。通常对某个特征值，可以用些针对性的方法来求其近似值。若要求所有的特征值，则可以对A做一系列的相似变换，“收敛”到对角阵或上（下）三角阵，从而求得所有特征值的近似。)(AP特征向量数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS7.1 幂法幂法 矩阵的按模最大特征值往往表现为阈值。如：矩阵的谱半径。幂法就是一种求矩阵按模最大特征值的方法，它是最经典的方法。 幂法要求A有完备的特征向量系，即A有n个线性无

3、关的特征向量。在实践中，常遇到的实对称矩阵和特征值互不相同的矩阵就具有这种性质。设A的特征值和特征向量如下：nnvvv 2121特征值：特征向量：幂法可以求11 v，基本思想很简单。数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS设 n1iiv线性无关，取初值)0(x，作迭代)0(1)()1(xAAxxkkk设：nnvvvx2211)0(nknnkknknkknnkkvvvvAvAvAvvvAx22211122112211)( )(则有：数 学 系University of Science a

4、nd Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS（1）若：n21nnknkkkvvvx12212111)(01则k足够大时，有111)(vxkk1111)1(vxkk可见)1()(,kkxx几乎仅差一个常数1)1(1)()1(1/kkkxvxx所以：任意分量相除特征向量乘以任意数，仍是特征向量数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS（2）若：21321,nnnknkkkvvvx122111)(122111)(1vvxkkk则k足够大时，有2

5、1)12()12(21)2()22(/kkkkxxxx所以：)(1)1(2)(1)1(1kkkkxxvxxv所以：数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS算法：算法：1、给出初值，计算序列)()1(kkAxx2、若序列表现为，相邻两个向量各个分量比趋向于常数)(1)()1(1/kkkxvxx若序列表现为，奇偶序列各个分量比趋向于常数，则(1)(1)1(1)( )11(1)( )21/kkkkkkxxvxxvxx若序列表现为其他，退出不管数 学 系University of Scienc

6、e and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS求矩阵A的按模最大的特征值解解 取x(0)=(1,0)T ,计算x(k)=Ax(k-1), 结果如下例例61515141Akx1(k)x2(k)x1(k)/x1(k-1)x2(k)/x2(k-1)01010.250.220.102500.0833330.410.4166530.0422920.0343890.412600.4126740.0174510.0141900.412630.41263可取 0.41263 ,x1 (0.017451,0.014190)T .数 学 系University

7、 of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS( )(1)111knkkkiiiixAxv决定收敛的速度，特别决定收敛的速度，特别是是 | 2 / 1 | 希望希望 | 2 / 1 | 越小越好。越小越好。不妨设不妨设 1 2 n ，且，且 | 2 | | n |。 1 2 nOp = ( 2 + n ) / 2思思路路令令 B = A pI ，则有，则有 | I A | = | I (B+pI) | = | ( p)I B | A p = B 。而而 ，所以求，所以求B的特征根收的特征根收敛快。敛快。|1212 pp数

8、 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICSnnknkkkvvvx12212111)(在幂法中，我们构造的序列可以看出1 , 1 , 0,11)(kxk因此，若序列收敛慢的话，可能造成计算的溢出或归0数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS改进幂法的规范运算改进幂法的规范运算)1()1()1()()1(/kkkkkxxyAyx则，易知：( )(1)( )(0)( )(0)( )/1k

9、kkkkkyAyxA yxxy)0()0()(/yAyAykkk所以，有：最大分量为1数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICSnnknkknnknkkkvvvvvvy1221211112212111)(即（1）若：n210 , 0 , 1111111111)(vvvvyk111111)(vvykkk数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS01时，有)(1)1(1kkyvx01时

10、，有)(1)1(1kkyvx)(ky收敛) 12()2(,kkyy分别收敛到反方向的两个向量)(1)()1(kkkyAyx1)(1)1(kkyx数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS（2）若：21321,nnnknkknnknkkkvvvvvvy122111122111)(11)12()2(,kkyy分别收敛到两个向量，且不是互为反号。数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS

11、(1)()(2)(1)mmmmxAyxAx借助幂法来求特征值和特征向量。计算：则：(2)()1/mmxy(2)(1)11(2)(1)21mmmmvxxvxx数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS算法：算法：1、给出初值，计算序列)(ky2、若序列收敛，则(1)( )11 , kkxvy若序列的奇偶序列分别收敛，且两个数互为反号，则(1)( )11 , kkxvy 若序列的奇偶序列分别收敛，且两个数不互为反号，则(2)()1(2)(1)11(2)(1)21/mmmmmmxyvxxvxx

12、)1()2()()1(mmmmAxxAyx数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS反幂法反幂法vvAvAv11所以，A和A1的特征值互为倒数nnAA21121 : : 1ii这样，求A1的按模最大特征值，就可以求出A的按模最小特征值)1()1()1()(1)1(/kkkkkxxyyAx为避免求逆的运算，可以解线性方程组)()1(kkyAx数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS

13、若知道某一特征根若知道某一特征根 i 的大致位置的大致位置 p ，即对任意，即对任意 j i 有有| i p | | j p | ，并且如果，并且如果 (A pI) 1存在，则存在，则可以用反幂法求可以用反幂法求(A pI) 1的主特征根的主特征根 1/( i p ) ，收，收敛将非常快。敛将非常快。思思路路数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS7.1 Jacobi方法对称阵方法对称阵P为n阶可逆阵，则A与P1AP相似，相似阵有相同的特征值。若A对称，则存在正交阵Q(QTQ=I)，使

14、得nTAQQ21直接找Q不大可能。我们可以构造一系列特殊形式的正交阵Q1,.,Qn对A作正交变换使得对角元素比重逐次增加，非对角元变小。当非对角元已经小得无足轻重时，可以近似认为对角元就是A的所有特征值。Jacobi方法就是这样一类方法。数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS1、Givens旋转变换对称阵),(qpQ为正交阵1cossinsincos1),(qpQp列q列数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTM

15、ENT OF MATHEMATICS记：)(),(),( , )(ijTijbqpAQqpQBaA则：2sin22cos2sincossin2sinsincos,cossin,sincos2222qqpppqqppqpqqqpppppqqqppppqipiqiiqqipipiipaaabbaaabaaabqpiaabbqpiaabb变换的目的是为了减少非对角元的分量，则02sin22cosqqpppqqppqaaabb数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICStan,2taaaspqpp

16、qq记则1 , 0012 , 02ststst的按模较小根所以：dttct221sin11cos数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS0,qppqpqqqpppqppppqipiqiiqqipipiipbbtaabtaabqpicadabbqpidacabb数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS2、Jacobi方法取p,q使ijjipqaa max，则),(),()()1(

17、qpQAqpQAkTk定理： 若A对称，则,1)1(nkdiagA提示：可以证明)() 1(21)()1()(kkASnnAS2)1()1()()(2)()(kpqkkaASAS)(kA其中 是 的非对角元素的平方和)()(kAS数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS 解解 记 A A(0)=A,A,取p=1,q=2,apq(0)=a12(0)=2,于是有例例 用Jacobi 方法计算对称矩阵的全部特征值.612152224A25. 02)0(12)0(22)0(11aaa78077

18、6. 0)1|/(|)sgn(,2t788206. 0)1 (cos212t615412. 0cossin,t从而有数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS所以再取p=2,q=3,apq(1)=a23(1)=2.020190,类似地可得1000788206. 0615412. 00615412. 0788206. 01000cossin0sincos)(1pqRR(1)(0)112.43844800.96106.5615522.0201900.9612.0201906TAR AR241

19、166. 40724794. 00320386. 8631026. 0724794. 0631026. 0438448. 2)2(A数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS496424. 4209614. 00209614. 0320386. 8595192. 00595192. 0183185. 2)3(A496424. 4208653. 0020048. 0208653. 0377576. 80020048. 00125995. 2)4(A485239. 40020019. 003

20、88761. 8001073. 0020019. 0001073. 0125995. 2)5(A数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS485401. 4000009. 0001072. 0000009. 0388761. 800001072. 0125825. 2)6(A485401. 4000009. 00000009. 0388761. 8000125825. 2)7(A从而A的特征值可取为 1 2.125825, 2 8.388761, 3 4.485401数 学 系Unive

21、rsity of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS为了减少搜索非对角线绝对值最大元素时间, 对经典的Jacobi方法可作进一步改进.1.1.循环循环JacobiJacobi方法方法: : 按(1,2),(1,3),(1,n), (2,3),(2,4), (2,n) ,(n-1,n)的顺序, 对每个(p,q)的非零元素apq作JacobiJacobi变换,使其零化,逐次重复扫描下去,直至 (A) 为止.2.2.过关过关JacobiJacobi方法方法: : 取单调下降收敛于零的正数序列k ,先以 1为关卡值,依照1中顺序,将绝对值超过 1的非对角元素零化,待所有非对角元素绝对值均不超过 1时,再换下一个关卡值 2 ,直到关卡值小于给定的精度 .数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICSHouseholder 变换1,2nRTIH2若，称如下H为Householder矩阵22yx特性1、 H是正交阵， det(H)=-12、 若 ，则取 的H满足2yxyxyHx