高考数学复习点拨 重视导数应用的常考题型
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1、重视导数应用的常考题型导数的应用在新高考中已成为新的热点,特别是对实际问题的解答,更应予以重视.下面就具体例题谈谈导数的应用题型及应对策略.1求切线斜率根据导数的几何意义,函数在点处的导数是曲线在点处的切线斜率.因此求函数在某点处的切线斜率,只要求函数在该点处的导数.例1 求曲线在点处的切线方程.分析 利用隐函数求导法则,得出在点处的切线斜率,从而可求出切线方程.解 对方程两边关于求导,得.解之得.易知点在曲线上,.曲线在点处的切线方程为,即.评注:(1)两边对求导,特别要注意是的函数.(2)隐函数的导数表达式中常包含,两个变量.2求单调性利用可导函数判断函数单调性的基本方法:设函数在某个区间
2、内可导,如果导数,则函数在这个区间上为增函数;如果导数,则函数在这个区间上为减函数.例2 已知求函数的单调区间.解 函数f(x)的导数:(I)当时,若,则0.所以当时,函数f(x)在区间(,0)内为减函数,在区间(0,+)内为增函数.(II)当由所以,当时,函数f(x)在区间(,)内为增函数,在区间(,0)内为减函数,在区间(0,+)内为增函数;(III)当时,由,解得,由,解得或.所以当时,函数在区间(,0)内为减函数,在区间(0,)内为增函数,在区间(,+)内为减函数.3求极值利用可导函数求函数极值的基本方法:设函数在点处连续且.若在点附近左侧,右侧,则为函数的极大值;若在点附近左侧,右侧
3、,则为函数的极小值.例3 已知函数,当,时,取得极值,且极大值比极小值大4.(1)求,的值;(2)求的极大值和极小值.解 (1) .时有极值,则.代入得.且.对任意实数成立,.00极大极小当时取得极大值,时取极小值.即.再由,解出,.(2)为极大值, 为极小值.4求最值在闭区间上连续的函数,在上必有最大值与最小值,设函数在上连续,在内可导,先求出在内的极值,然后将的各极值与、值比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.例4 (2004湖南理)已知函数为自然对数的底数.()讨论函数的单调性;()求函数在区间0,1上的最大值.解 ()(i)当时,令 若上单调递增;若上单调递减.(ii)当a0时,令若上单调递减;若上单调递增;若上单调递减.()(i)当时,在区间0,1上的最大值是(ii)当时,在区间0,1上的最大值是.(iii)当时,在区间0,1上的最大值是5求实际应用问题中的最值在实际问题中,有时会遇到函数在某区间内只有一个点使,如果函数在这一点有极值,那么可不与区间端点处的函数值比较,即可断定该极值就是最值.例5 用总长m的钢条制做一个长方体容器的框架,如果所制做容器的底面的一边比另一边长m,那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积.解 设容器底面边长为m,另一边长为m,高为,由和.设容器的容积为m3,则有即令,有即,(不合题意,舍去)所以当时,(m3).
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