高考数学复习点拨 导数中错的反思

《高考数学复习点拨 导数中错的反思》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学复习点拨 导数中错的反思（3页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、导数中错的反思导数是研究函数性质（单调性、极值、最值等）的有力工具，但如果对导数的概念掌握不牢固, 对导数的性质理解不到位，就容易造成会而不对、对而不全的现象本文结合具体例子辨析在学习导数中比较容易出错的几个问题。一、混淆“曲线过一点的切线”与“曲线在该点处的切线”两个概念例1.求曲线y=x33x2-5过点M(1,-1)的切线方程错解：由y=x33x2-5知=3x26x， |x=1=9. 故所求切线方程为y十1=9(x-1)， 即9x-y-10=o.错解反思: 曲线过点M的切线与曲线在点M处的切线是不同的，曲线在点M处的切线是指切点在M处的切线，曲线过点M的切线还可能存在切线不在M处的另一条切

2、线，两者是有区别的正确解法: 由y=x33x2-5知=3x26x， 设切点为P(x0,y0).则=3 x02+6 x0.曲线在点P处的切线方程为: y- y0=(3 x02+6 x0）(x-x0） 又切线过点M（1，-1）， 则-1- y0=(3 x02+6 x0）(1-x0） 整理得y0=3 x03+3 x02-6 x0-1 而点P(x0,y0)在曲线上，则 y0= x03+3 x02-5 x03+3 x02-5=3 x03+3 x02-6 x0-1 整理得x03-3 x02+2=0. 即(x0-1)2( x0+2)0. x0=1或x0=-2.则切点为P(1,-1)或P(-2,-1),故所求

3、的切线方程为9x-y-10=0或 y=-1.二、因忽视解题顺序而致错例2.求函数在的导数错解：，错解反思: 在点处的导数，实际上是导函数在处的函数值，即故求在处的导数，应先求的导函数，再将代入求值，顺序不能颠倒正确解法: ，三、在求函数单调区间时用“”连接致误例3.求函数y=x3(xR)的单调区间错解：令=3x20，得x0；令=3x20，得x不存在故y=x3的递增区间为（-,0)和(0,） 错解反思:这与我们知道的“y=x3是R上的增函数”相矛盾(a, b)内可导的函数f(x)在(a, b)上递增（递减）的充要条件是：对任意的x(a,b),有(x)0(x) 0),且(x)在(a, b)的任意子

4、区间内都 不恒等于零(若(x)恒等于零，则f (x)为常数函数），即函数f (x)在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有(x0)=0，甚至可以有无穷多个点处有(x0)=0,只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间利用导数求单调区间时要注意两点：(1)多个增（减）区间之间用“、”或“和”相连接，而不用“”;(2)若多个增（减）区间之间有公共区间端点，且函数在端点处连续，一定要合并 正解：令令=3x20，得x0.又f(x)在x=0处连续，则f(x)是R上的增函数四、对题意理解不清而致错例4.求曲线的过点的切线方程错解：显然点在曲线上，且，故所求切线方程为，即错解反思:曲线过点的切线与曲线在

5、点处的切线不同，前者既包括点处的切线，也包括过点但切点为另一点的切线因此，解题时必须理清头绪，弄清题意正解：设切点为，在点处的切线方程为又切线过点，整理，得，即或当时，切线方程为，当时，切线方程为五、忽视导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件例5求函数f(x)=的极值 错解：f(x)的定义城为（-，十) (x)= 。 令(x)=0，得x=1 当x0, f(x)为增函数； 当x1时，(x)0, f(x)为减函数 f(x)只在x=1处取得极大值f(1)=1.错解反思:可导函数的极值点一定是它的导数为零的点，但导傲为零的点，不一定是该函傲的极值点也就是说，导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件，同时还要注意定义域内导数不存在的点正确解法: f(x)的定义域为（-，十), 令(x)=0，得x=1，而x=0和x=2是(x)不存在的点列表考察(x)的符号:由上表可知：函数f (x)的极小值为f(0)=f(2)=0，极大值为f (1)=1.