再探“一道折叠试题”

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1、）再探“一道折叠试题”一道折叠试题的探究之旅引发的思考浙江省宁波市曙光中学章剑雄研读中学数学教学参考 2012 年第 6 期刊登的余旭红老师撰写的一道折叠试题的探究之旅一文后，笔者对作者循循善诱、层层引导的教学态度深表敬意，也对这道“折叠试题” 进行了细细咀嚼， 联想日常教学， 激起笔者再探这道折叠试题的强烈欲望， 现把自己的一些思考和想法呈现如下，以求教于大方1 关于折叠问题原题呈现如图 1，将边长为 4cm 的正方形纸片 ABCD 沿 EF 折叠（点 E、 F 分别在边 AB、CD 上），使点 B 落在 AD 边上的点 M 处，点 C 落在点 N 处，MN 与 CD 交于点 P随着落点 M

2、 在 AD 边上取遍所有的位置（点M 不与 A、 D 重合），试求 PDM 的周长AMDAMDHPPENENFFBCBC图 1图 2原文中，作者示例了两类解法，解法一：利用相似直接用计算方法求PDM 的周长；解法二：猜想周长为 AD +DC =8，从而学生把问题转变成用 “截长补短” 法证明 MP=MA +PC而第二类解法正是作者文章重点之所在，面对学生苦苦探索，穷尽多种方法， 从课内到课外依然无法找到解决问题的有效突破口，甚至师生人为地增加条件MBP=45 0也无济于事，无法越过“障碍” ，完成证明笔者以为在这道折叠问题中，作者忽略了“折叠即轴对称”这一折叠类问题的基本思想，即对称轴（折痕）

3、两侧对应图形全等，其中对应边相等，对应角相等也正因为如此，面对题目，学生有猜想、有直觉，甚至都准备好了“截长补短”法这一证明线段和、差的最直接的方法跃跃欲试时卡在那儿了，只好绕道行之， 并且直至文章结尾都没有解决好，学生“悱”而老师未“发” 事实上，此题在其折叠背景下（图2），直击“折叠即轴对称”，得EB=EM 、 EBC = EMN =900 这两个基本备用结论学生想用截长补短的方法，在线段MP上已截取 MH =MA 的情形下还需证明剩余的PH=PC，故想及证明 PHB PCB，而它们全等所需要的一些条件还需先证明MA MHB ，在已有两对等边 MH =MA 、MB=MB 的B情形下最快的路

4、就是证它们的夹角AMB 和 HMB 相等，此时只需设动角AME=，由EB=EM 得 EMB=900，可得 AMB=90 0900；再由 EBC= EMN=90 0222得 HMB = 90090 0900，则得 AMB= HMB ，接下来拉上已知的公共边22MB=MB，所作的 MH =MA，立马可得 MAB MHB ，则得 HB=AB 且 A= MHB =90 0，又因为正方形ABCD ，所以 C= PHB= MHB =90 0 且 HB=AB=CB ，轻松证得 PHBPCB，所以 PH =PC 至此，学生的“悱”畅快而“发” ！并且我们看到证明过程中根本无需额外再加条件，诸如MBP=45 0

5、 等，相反，“ MBP=45 0”显而易见可在这两对三角形全）等后 MBP= 1 ABC= 450 畅快得之！22 关于“ K ”形相似基本图形2 1 “ K ”形相似基本图形在这道折叠图形问题中，隐含着一个巧妙而又实用的相似基本图形（图3）：BPCDA图 3其有性质：若B= C= APD =900，则 ABBPAP PCCDPD结论的推导较简单：由 B = APD=90 0 得： A+ APB= APB+ DPC =90 0，即 A= DPC ，又 B= C=90 0，则 ABP PCD ，即 AB BP AP 成立这个图形极像英文PCCDPD字母“ K”，我们不妨称之为“ K ”形相似基本

6、图形 “ K”形图小块头有大用处：相似就能得到对应角、 尤其是对应边的数量关系， 这往往让我们在一些涉及边的数量关系的复杂图形题目中有着“柳暗花明又一村”的功效题 1（某区 2012 年初中毕业生学业测试）如图（图4），已知点A、B 分别在反比例函数 yn ( x0) 、 ym ( x0)的图像上，且OA OB，则 tanB=()xx(A)m(B)m(C)n(D)nnnmmyyAGAnnyyxxOxmOxmyxHyxBB图 4图 5乍一眼看去，这题目整一个云雾缭绕：不确定的函数图像，不确定的点A、点 B，不确定的 AOB，似乎也不确定的B，怎么会有确定的tanB 值呢？一时无从下手，再细细观察

7、所给图形，这些不确定因素中，有一个确定的AOB=90 0，和 y 轴一整合，不就是一张亲切的“ K”形图么！那就分别过A、B 两点作 y 轴的垂线段 AG、BH （图 5），易得 AGOBHO ，可得 AGOGOA ，设 A( a , n )， B( b , m )可得ana ，即 ab 2mn ，OHBHOBabmbb）故 Rt AOB 中 tanB= OA =AG =a=ab =n ，所以选 DOBOHmmmb2 2“ K ”形图的巧妙运用巧用、活用“ K ”形图，关键在于图形中找到或构造以同一条直线上的三个点为顶点的三个直角题 2如图（图6）， ABC 中， B=90 0， C=30 0

8、，点 A 的坐标为（ 1， 23 ），点 C在 x 轴上，若双曲线ykx过点 A、 B，求点 B 的坐标yyAABGBOCxOCH图6图7xyAMGBOCH图 8x本题很容易过度关注条件B=90 0， C=300，它迅即让人想到 AB： BC： AC=1： 3 ：2，然后按常规思路，要求点B 坐标，则过点B 分别作 x 轴、 y 轴的垂线段 BH 和 BG，但再往下点B 的纵、横坐标找不到数量关系了，不少学生觉得茫然无路但也会有冷静的学生看出症结所在，作这两条垂线段有不当之处：既把线段AC 无谓地拦腰截断，又把特殊的直角 B“破”了，导致原条件反而用不上，这种添线无异于添乱再转头来看，图7 中

9、B=90 0，过点 B 横、纵两条垂线段中，搞破坏的是横的那条垂线段BG，但它的长度又是我们所要求的点 B 的横坐标，不能变，而要达到既保持长度不变又不破坏线段AC 和直角 B的目的，那只能平移 BG，在把 BG 上下平移的尝试中， (图 8)看到当 BG 过点 A 时，又现“K ”形图！我们在已有一个直角B 的基础上通过作合适的垂线，构造了一张完整的“K ”形图这一解决线段数量关系的好工具！具体解析过程如下：分别过点A、 B 作 y 轴、 x 轴的垂线 AG、 BH，交于点 M，由ABC=90 0，易得 AMB BHC ，可得 AM = AB =1 ，又由A（1， 2 3）得双曲线解BHBC

10、3析式为 y2 3 (x 0) ，则设点 B( t , 2 3) ，综合得t11 ，可得 t1= 1( 舍 ) ，t2=2，xt233t所以点 B 的坐标为（ 2，3 ）2 3 “ K ”形图的大胆拓展“ K ”形图的适用条件需要顶点在同一直线上的三个直角。这三个角都必须、 只能是直角吗？笔者联想到这三个直角只是证明两个三角形相似用，其中的直角“900 ”并无特殊作）用，那是否意味着“ K”形图的适用条件可放宽为只需“顶点在同一直线上的三个角相等”即可？模型探究：如图（图9），在 ABP 和 PCD 中，点 P 在 BC 边上，当 B= C= APD时，结论 BP = AB = AP CD P

11、C DPA仍成立吗？DBCP图 9我们思考：要证边的比例关系，最直接、有效的方法首推相似而要证明ABP 和PCD 相似，在此模型背景下只能从“角”入手，B= C 这一对等角给了，只需再找一对等角即可类比当APD =900 时，利用它两侧的一对互余角证得等角A= DPC ，现下APD 900，但它两侧的一对角仍然还在，互余角没了，但互补角永远都在，有DPC +APD+ APB=1800，同时在 ABP 中有 A+ B+ APB=1800，又已知 B =APD ，综合可得 A = DPC ，且 B= C，则仍然可得 ABP PCD ，则 BP = AB = AP 仍成立！由CDPC DP此，我们惊

12、喜地发现， “ K”形图还有它的“经济适用图”呢，当B=C=APD 900 时各边的数量关系仍然成立！教师在日常教学中不断地培养学生发掘、提炼、总结基本图形的能力，让学生“思”，进而“悟”，就一定会切实提高学生的数学素养和创造性发现和解决问题的能力让我们小试牛刀：题 3如图（图10）， M 为 AB 的中点， AE 与 BD 交于点 C， DME = A= B=450 且DM 交 AC 于 F， ME 交 BC 于 G，AB = 42 ， AF=3，连接 FG，求 FG 的长AMBFGCD图 10E我们观察图 10，想求 FG 的长，下意识的反应就去找是否有包含FG 的一对潜在相似三角形，搜索

13、后发现：相似的三角形跟FG 无关，带 FG 的三角形却不相似再审视题意观察图形，有“ A= B=450 ”，这两个特殊角意味着FCG=90 0，那也可以在 Rt FCG 中利用勾股定理求斜边FG ，如此需要先准备好两直角边FC 、GC。而线段 FC 、GC 分别在边 AC、BC 上，且题中易知AC=BC=4，那现在要求的目标就转变成边AF 、BG 了。再看看图中同一直线 AB 上的三个等角 DME = A= B，哈，我们的“ K”形“经济适用图” ，正好用来求 AF 、 BG 等这些边长！）具体解析过程如下： 点 M 在边 AB 上则有 AMF +DME+ GMB=180 0，同时在 MGB

14、中有 BGM+ B+ GMB=1800，又已知 B = APD ，综合可得 AMF = BGM ，且 A=B，则可得 AFM BMG ，得 AM =AF ，而 M 为 AB 中点知 AM =BM= 22 ，即得：BGBM2 2=3，得 BG= 8 ；而 A=B=450 且 AB= 4 2 可得等腰直角 FCG ，且 FCG=90 0，BG2 23则 AC=BC=4 ，综合可得： FC =1、GC= 4 ，所以 FG = 12425 =333在日常的几何教学中，灵活地探究、运用一些基本图形及其结论，往往可将复杂、繁难的问题简单化、具体化，防止无关信息的负面干扰，在较短时间内直击问题的本质，一方面

15、很好地挖掘习题深层次的知识点，螺旋上升， 让学生会解一道题， 也会解一类题， 实现“以题梳理，以题论法” ；另一方面让学生从单一的思维模式中解放出来，促进对数学知识的灵活运用，提高思维的敏捷性、发散性、广阔性美题共享：1如图（图 11），点 P 在双曲线 y6（ x 0）上，以点 P 为圆心的 P 与两坐标轴都x相切， E 为 y 轴负半轴上的一点，PF PE 交 x 轴于点 F，则 OF OE 的值是yPOF xE图 112已知：如图（图12）一次函数 y1 x1的图像与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B；1 x 221 x 1的图像交于 B、 C 两点，与 x 轴交二次函数 ybxc

16、 的图像与一次函数 y22于 D 、E 两点且 D 点坐标为（ 1，0），问在 x 轴上是否存在点P，使得 PBC 是以点 P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由yC2BAOD Ex图 123如图（图 13），在平面直角坐标系中，在第一象限的矩形ABCO 的边 OA 在 y 轴正半）轴上，OC 在 x 轴正半轴上 点 D 是线段 OC 上一点， 过点 D 作 DE AD 交直线 BC 于点 E，以 A、 D、 E 为顶点作矩形 ADEF （ 1）若点 A 的坐标为（ 0,4 ），点 C 的坐标为（ 7,0 ）当点 D 的坐标为（ 5,0 ）时，抛物线过A、 F

17、、 B 三点，求该抛物线的解析式；若点 D（ k,0 ）是线段 OC（不包括端点）上任意一点，则点F 仍在中所求的抛物线上吗？请说明理由；若点 A 的坐标为（ 0, m），点 C 的坐标为（ n, 0）当点 D 在线段 OC 上运动时，是否也存在一条抛物线，使得点 F 始终落在该抛物线上？若存在，请直接写出抛物线的解析式（用m、 n 表示）；若不存在，请说明理由；（2）在第（ 1）题的条件下，若点D（ k,0 ）是在 x 轴上、且不在线段OC 上的任意一点，其他条件不变， 则点 F 是否还在中所求的抛物线上？如果在，请以点 D（ k,0 ）在 x 轴负半轴上为例画出示意图，并说明理由；如果不在，请举反例说明yyFABABEODCxOCx图 13备用图精品文档考试教学资料施工组织设计方案精品文档考试教学资料施工组织设计方案精品文档考试教学资料施工组织设计方案）