控制系统的频域分析与校正

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1、MATLAB与控制系统仿真实践 控制系统的频域分析与校正控制系统的频域分析与校正主要内容主要内容n原理要点原理要点n14.1控制系统的频域分析控制系统的频域分析n14.1.1频率特性概述频率特性概述n14.1.2频率特性的不同表示方法频率特性的不同表示方法n14.1.3MATLAB频域分析的相关函数频域分析的相关函数n14.1.4MATLAB频域分析实例频域分析实例n14.2基于频域法的控制系统稳定性能析基于频域法的控制系统稳定性能析n14.2.1频域法的稳定性判定和稳定裕度概述频域法的稳定性判定和稳定裕度概述n14.2.2基于频域法的控制系统稳定判定基于频域法的控制系统稳定判定相关相关MAT

2、LAB函数函数n14.2.3MATLAB频域法稳定性判定实例频域法稳定性判定实例n14.3控制系统的频域法校正控制系统的频域法校正n14.3.1 频域法超前校正及实例频域法超前校正及实例n14.3.2 频域法滞后校正及实例频域法滞后校正及实例n14.3.3频域法超前滞后校正及实例频域法超前滞后校正及实例原理要点原理要点n1. 频率特性定义频率特性定义 稳定的线性定常系统对正弦输入信稳定的线性定常系统对正弦输入信号的输出的稳态分量与输入正弦信号的号的输出的稳态分量与输入正弦信号的复数比复数比 。 其中：其中： 为系统的幅频特性。为系统的幅频特性。 为系统的相频特性。为系统的相频特性。 ( )si

3、n( )y tYt ()|() |YAG jX()()Gj n2. 频率特性和传递函数的关系：频率特性和传递函数的关系：n3. 频率特性曲线有三种表示形式，即对频率特性曲线有三种表示形式，即对数坐标图、极坐标图和对数幅相图。数坐标图、极坐标图和对数幅相图。 对数坐标图即对数坐标图即Bode图。由对数幅频图。由对数幅频特性和对数相频特性曲线特性和对数相频特性曲线2张图组成。对张图组成。对数幅频特性幅度的对数值数幅频特性幅度的对数值 ()( )|sjG jG s( ) 20lg ( )()LAdB 与频率的关系曲线；对数相频特性是频与频率的关系曲线；对数相频特性是频率特性的相角与频率的关系曲线。率

4、特性的相角与频率的关系曲线。 极坐标图即极坐标图即Nyquist曲线。系统的频曲线。系统的频率特性表示为：率特性表示为： 频率特性频率特性 是输入信号频率是输入信号频率 的复的复变函数，当频率从连续变化时，变函数，当频率从连续变化时， 端点的极坐标轨迹。端点的极坐标轨迹。( )()( )( )( )jG jAepjq ()G j()G jn 对数幅相图即对数幅相图即Nichols曲线。是将对曲线。是将对数幅频特性和对数相频特性数幅频特性和对数相频特性2张图，在角张图，在角频率频率 为参变量的情况下合成一张图。为参变量的情况下合成一张图。即以相位即以相位 为横坐标，以为横坐标，以 为纵为纵坐标，

5、以坐标，以 为参变量的一种图示法。为参变量的一种图示法。( ) 20lg ( )An4. Nyquist稳定判据稳定判据 Nyquist稳定性定理内容是：如果开稳定性定理内容是：如果开环模型含有环模型含有m个不稳定极点，则单位负个不稳定极点，则单位负反馈下单变量闭环系统稳定的充要条件反馈下单变量闭环系统稳定的充要条件是开环系统的是开环系统的Nyquist图逆时针围绕图逆时针围绕(-1,j0)点点m周。周。n5. 系统相对稳定性的判定（稳定裕度）系统相对稳定性的判定（稳定裕度） 系统的稳定性包括相角稳定裕度和幅系统的稳定性包括相角稳定裕度和幅值稳定裕度。值稳定裕度。 相角稳定裕度为系统极坐标图上

6、相角稳定裕度为系统极坐标图上 模值等于模值等于1的矢量与负实轴的夹角：的矢量与负实轴的夹角：()G j()( 180 )180()cc n相角稳定裕度表示了系统在临界稳定状相角稳定裕度表示了系统在临界稳定状态时，系统所允许的最大相位滞后。态时，系统所允许的最大相位滞后。n幅值稳定裕度是系统极坐标图上幅值稳定裕度是系统极坐标图上 与与负实轴交点（负实轴交点（ ）的模值）的模值 倒数：倒数： ()G jg()gG1()ggKGn在对数坐标图上，采用在对数坐标图上，采用 表示表示 的分的分贝值，有贝值，有 gLgK20lg20lg()gggLKA 幅值稳定裕度表示了系统在临界稳定状态时，幅值稳定裕度

7、表示了系统在临界稳定状态时， 系统增益所允许的最大增大倍数。系统增益所允许的最大增大倍数。n6. 闭环系统频率特性闭环系统频率特性 通常，描述闭环系统频率特性的性通常，描述闭环系统频率特性的性能指标主要有谐振峰值能指标主要有谐振峰值 、谐振频、谐振频率率 、带宽和带宽频率、带宽和带宽频率 。其中：。其中：n 谐振峰值谐振峰值 指系统闭环频率特性幅值指系统闭环频率特性幅值的最大值。的最大值。pMpbpMn谐振频率谐振频率 指系统闭环频率特性幅值出指系统闭环频率特性幅值出现最大值时的频率。现最大值时的频率。n带宽频率带宽频率 指当系统指当系统 的幅频特性的幅频特性下降到下降到 时所对应的频率。时所

8、对应的频率。n系统带宽指频率范围系统带宽指频率范围 。pb()G j2()2Gj0,bn7. 频域法校正方法主要有超前校正、滞频域法校正方法主要有超前校正、滞后校正和滞后后校正和滞后-超前校正等。超前校正等。n利用超前校正装置校正的基本原理即是利用超前校正装置校正的基本原理即是利用其相位超前的特性，以补偿原来系利用其相位超前的特性，以补偿原来系统中元件造成的过大的相位滞后。统中元件造成的过大的相位滞后。n采用无源滞后网络进行串联校正时，主采用无源滞后网络进行串联校正时，主要是利用其高频幅值衰减特性，以降低要是利用其高频幅值衰减特性，以降低系统的开环幅值穿越频率，提高系统的系统的开环幅值穿越频率

9、，提高系统的相位裕度。相位裕度。n滞后超前的基本原理是利用其超前部滞后超前的基本原理是利用其超前部分增大系统的相位裕度，同时利用其滞分增大系统的相位裕度，同时利用其滞后部分来改善系统的稳态性能。后部分来改善系统的稳态性能。14.1控制系统的频域分析控制系统的频域分析n14.1.1频率特性概述频率特性概述频域法是一种工程上广为采用的分析和综频域法是一种工程上广为采用的分析和综合系统的间接方法。它是一种图解分析合系统的间接方法。它是一种图解分析法，所依据的是频率特性数学模型，对法，所依据的是频率特性数学模型，对系统性能如稳定性、快速性和准确性进系统性能如稳定性、快速性和准确性进行分析。频域法因弥补

10、了时域法的不足、行分析。频域法因弥补了时域法的不足、使用方便、适用范围广且数学模型容易使用方便、适用范围广且数学模型容易获得而得到了广泛的应用。获得而得到了广泛的应用。n14.1.2频率特性的不同表示方法频率特性的不同表示方法 频率特性曲线有三种表示形式，即频率特性曲线有三种表示形式，即对数坐标图、极坐标图和对数幅相图。对数坐标图、极坐标图和对数幅相图。n1. 对数坐标图对数坐标图 对数坐标图即对数坐标图即Bode图，由对数幅频图，由对数幅频特性和对数相频特性曲线特性和对数相频特性曲线2张图组成。张图组成。 对数幅频特性幅度的对数值对数幅频特性幅度的对数值 与频率与频率 的关系曲线；对数相频特

11、性是的关系曲线；对数相频特性是频率特性的相角频率特性的相角 与频率与频率 的关系曲的关系曲线。对数幅频特性的纵轴为线。对数幅频特性的纵轴为( )20lg( )()LAdB( ) ( )20lg( )()LAdB 采用线性分度；横坐标为角频率采用线性分度；横坐标为角频率 ，采用对数分度。对数相频特性的纵轴采用对数分度。对数相频特性的纵轴为为 ，单位为度，采用线性分度；横，单位为度，采用线性分度；横坐标为角频率坐标为角频率 ，也采用对数分度。，也采用对数分度。横坐标采用对数分度，扩展了其表示的横坐标采用对数分度，扩展了其表示的频率范围。频率范围。( ) n2. 极坐标图极坐标图 极坐标图即极坐标图

12、即Nyquist曲线。系统的频曲线。系统的频率特性表示为：率特性表示为： 频率特性频率特性 是输入信号频率是输入信号频率 的复变的复变函数，当频率从函数，当频率从 连续变化时，连续变化时， 端点的极坐标轨迹。端点的极坐标轨迹。MATLAB在绘制在绘制( )()( )( )( )jG jAepjq ()G j()G j0 Nyquist曲线时频率是从曲线时频率是从 连续变连续变化的。而在自动控制原理的教材中一般化的。而在自动控制原理的教材中一般只绘制频率从只绘制频率从 部分曲线。可以分部分曲线。可以分析得出，曲线在范围析得出，曲线在范围 与与 内，内，是以横轴为镜像的。是以横轴为镜像的。 00

13、0n3. 对数幅相图对数幅相图 对数幅相图即对数幅相图即Nichols曲线。是将对曲线。是将对数幅频特性和对数相频特性数幅频特性和对数相频特性2张图，在角张图，在角频率频率 为参变量的情况下合成一张图。为参变量的情况下合成一张图。即以相位即以相位 为横坐标，以为横坐标，以 为纵坐标，以为纵坐标，以 为参变量的一种图示法。为参变量的一种图示法。 ( ) 20lg( )An14.1.3MATLAB频域分析的相关函数频域分析的相关函数表表14.1简要给出这些函数用法及功能说明。简要给出这些函数用法及功能说明。bode(G)bode(G,w)bode(G1,r-,G2,gx,)mag,phase,w

14、= bode(G)mag,phase = bode(G,w)绘制系统绘制系统Bode图。系统自动选取频率范围图。系统自动选取频率范围绘制系统绘制系统Bode图。由用户指定选取频率范图。由用户指定选取频率范围围同时绘制多系统同时绘制多系统Bode图。图形属性参数可图。图形属性参数可选选返回系统返回系统Bode图相应的幅值、相位和频率图相应的幅值、相位和频率向量。可使用向量。可使用magdb = 20*log10(mag)将幅值转换为分贝值将幅值转换为分贝值返回系统返回系统Bode图与指定图与指定w相应的幅值、相相应的幅值、相位。可使用位。可使用magdb = 20*log10(mag)将幅值转换

15、为分贝值将幅值转换为分贝值表表14.1频域分析的相关函数用法及功能说明频域分析的相关函数用法及功能说明Nyquist(sys) Nyquist(sys,w) Nyquist(G1,r-,G2,gx,)re,im,w = Nyquist(sys)re,im = Nyquist(sys,w)绘制系统绘制系统Nyquist图。系统自动选取频率范围图。系统自动选取频率范围绘制系统绘制系统Nyquist图。由用户指定选取频率范围图。由用户指定选取频率范围同时绘制多系统同时绘制多系统Nyquist图。图形属性参数可选图。图形属性参数可选返回系统返回系统Nyquist图相应的实部、虚部和频率向量。图相应的实

16、部、虚部和频率向量。返回系统返回系统Nyquist图与指定图与指定w相应的实部、虚部。相应的实部、虚部。nichols(G) nichols(G,w) nichols(G1,r-,G2,gx,)mag,phase,w = nichols(G)mag,phase = nichols(G,w)绘制系统绘制系统Nichols图。系统自动选取频率范围图。系统自动选取频率范围绘制系统绘制系统Nichols图。由用户指定选取频率范围图。由用户指定选取频率范围同时绘制多系统同时绘制多系统Nichols图。图形属性参数可选图。图形属性参数可选返回系统返回系统Nichols图相应的幅值、相位和频率向量。图相应的

17、幅值、相位和频率向量。可使用可使用magdb = 20*log10(mag)将幅值转换为将幅值转换为分贝值分贝值返回系统返回系统Nichols图与指定图与指定w相应的幅值、相位。可相应的幅值、相位。可使用使用magdb = 20*log10(mag)将幅值转换为分将幅值转换为分贝值贝值ngrid ngrid(new)在在Nichols曲线图上绘制等曲线图上绘制等M圆和等圆和等N圆。要注在对圆。要注在对数坐标中，圆的形状会发生变化数坐标中，圆的形状会发生变化绘制网格前清除原图，然后设置绘制网格前清除原图，然后设置hold on。后续。后续Nichols函数可与网格绘制在一起函数可与网格绘制在一起

18、n14.1.4MATLAB频域分析实例频域分析实例例例1：系统的开环传递函数为：系统的开环传递函数为绘制系统的绘制系统的Bode图。图。21000(1)( )(2)(174000)ksG ss sss s=tf(s); G=1000*(s+1)/(s*(s+2)*(s2+17*s+4000) Transfer function: 1000 s + 1000-s4 + 19 s3 + 4034 s2 + 8000 s bode(G) grid-150-100-50050Magnitude (dB)10-1100101102103-270-225-180-135-90-45Phase (deg)B

19、ode DiagramFrequency (rad/sec)图图14.1 例例1系统系统Bode图图-60-50-40-30-20-10Magnitude (dB)100101102-270-225-180-135-90-45Phase (deg)Bode DiagramFrequency (rad/sec)图图14.2例例1系统的系统的Bode图图(指定频率范围指定频率范围)例例2：系统的开环传递函数为：系统的开环传递函数为 绘制系统的绘制系统的Bode图。图。 25( )(2)(21)kG ssssnum=5;den=conv(1 2,1 2 1);w=logspace(-2,3,100)

20、; %指定频率范围指定频率范围mag,phase,w=bode(num,den,w);magdB=20*log10(mag); %进行幅值的单位进行幅值的单位转换转换subplot(2,1,1);semilogx(w,magdB); %绘制对数幅频特性绘制对数幅频特性图图grid;title(系统系统Bode图图);xlabel(Frequency(rad/sec);ylabel(Gain dB);subplot(2,1,2);semilogx(w,phase); %绘制对数绘制对数相频特性图相频特性图grid;xlabel(Frequency(rad/sec);ylabel(Phase de

21、g);10-210-1100101102103-200-1000100系 统 Bode图Frequency(rad/sec)Gain dB10-210-1100101102103-300-200-1000Frequency(rad/sec)Phase deg图图14.3 例例2系统的系统的Bode图图例例3：系统的开环传递函数为：系统的开环传递函数为绘制绘制K取不同值时系统的取不同值时系统的Bode图。图。%K分别取分别取10，50,1000k=10 500 1000;for ii=1:32( )(10500)kKG sss G(ii)=tf(k(ii),1 10 500);endbode(G

22、(1),r:,G(2),b-,G(3)title(系统K/(s2+10s+500)Bode图,K=10,500,1000,fontsize,16);grid-100-80-60-40-20020Magnitude (dB)100101102103-180-135-90-450Phase (deg)系统K/(s2+10s+500)Bode图,K=10,500,1000Frequency (rad/sec)K=500K=1000K=10图图14.4 例例3K分别取分别取10，50,1000的系统的系统Bode图图n例例4：单位负反馈系统的开环传递函数为：单位负反馈系统的开环传递函数为 绘制系统绘制

23、系统Nyquist曲线。曲线。22202010( )()(10)kssG sss snum=20 20 10;den=conv(1 1 0,1 10);Nyquist(num,den)-1-0.500.511.52-20-15-10-505101520Nyquist DiagramReal AxisImaginary Axis图图14.5 例例4系统的系统的Nyquist曲线曲线n 对于图对于图14.5，如果想要看清某部分细节，如果想要看清某部分细节，也可通过设置坐标范围进行局部放大，也可通过设置坐标范围进行局部放大，从而得到更清晰的局部图像，如图从而得到更清晰的局部图像，如图14.6。num

24、=20 20 10;den=conv(1 1 0,1 10);Nyquist(num,den)axis(-2 2 -5 5)-2-1.5-1-0.500.511.52-5-4-3-2-1012345Nyquist DiagramReal AxisImaginary Axis图图14.6 例例4局部放大的系统局部放大的系统Nyquist曲线曲线n同样，还可通过设置同样，还可通过设置 范围得到局部的范围得到局部的Nyquist曲线。如只绘制系统位于曲线。如只绘制系统位于 的的Nyquist曲线，如图曲线，如图14.7。num =20 20 10;den=conv(1 1 0,1 10);w=0.1

25、:0.1:100;re,im=Nyquist(num,den,w);0plot(re,im)axis(-2 2 -5 5);grid;title(系统系统(20s2+20s+10)/(s2+s)(s+10)Nyquist图图(omega0),fontsize,12);-2-1.5-1-0.500.511.52-5-4-3-2-1012345系统(20s2+20s+10)/(s2+s)(s+10)Nyquist图(0)0)图图14.7 例例4系统系统Nyquist曲线曲线( )n例例5：对于传递函数：对于传递函数 观察增加在原点处的极点后，极坐标图观察增加在原点处的极点后，极坐标图的变化趋势。的

26、变化趋势。3( )21kG ss%原系统原系统num=3;den=2 1;Nyquist(num,den)axis(-2 4 -2 2);grid;-2-101234-2-1.5-1-0.500.511.520 dB-20 dB-10 dB-6 dB-4 dB-2 dB20 dB10 dB6 dB4 dB2 dBNyquist DiagramReal AxisImaginary Axis图图14.8 例例5原系统的极坐标图原系统的极坐标图%系统增加系统增加1个极点个极点num=3;den1=2 1 0;Nyquist(num,den1)axis(-6 0 -10 10);-6-5-4-3-2-

27、10-10-8-6-4-20246810Nyquist DiagramReal AxisImaginary Axis-6-5-4-3-2-10-6-4-20246Nyquist DiagramReal AxisImaginary Axis图图14.8 例例5系统增加一个极点的极坐标图系统增加一个极点的极坐标图 图图14.9 例例5系统增加系统增加2个极点的极坐标图个极点的极坐标图 %系统增加系统增加2个极点个极点num=3;den2=2 1 0 0;Nyquist(num,den2)axis(-6 0 -6 6);n例例6：系统的开环传递函数为：系统的开环传递函数为绘制系统的绘制系统的Nich

28、ols曲线。曲线。100( )(8)kGss snum=100;den=1 8 0;w=logspace(-1,2,100);nichols(num,den,w);ngrid;Nichols ChartOpen-Loop Phase (deg)Open-Loop Gain (dB)-360-315-270-225-180-135-90-450-60-40-200204060System: sysGain (dB): -40Phase (deg): -175Frequency (rad/sec): 100System: sysGain (dB): 41.9Phase (deg): -90.7Fr

29、equency (rad/sec): 0.1 6 dB 3 dB 1 dB 0.5 dB 0.25 dB 0 dB -1 dB -3 dB -6 dB -12 dB -20 dB -40 dB -60 dB图图14.10 例例6系统的系统的Nichols曲线曲线 num=100;den=1 8 0;w=logspace(-1,2,100);mag,phase=nichols(num,den,w); %返回返回Nichols曲线参数曲线参数magdB=20*log10(mag);subplot(2,1,1)semilogx(w,magdB); %使用使用Nichols曲曲线参数绘制幅频特性线参数

30、绘制幅频特性title(系统幅频特性曲线系统幅频特性曲线);subplot(2,1,2)semilogx(w,phase); %使用使用Nichols曲曲线参数绘制相频特性线参数绘制相频特性title(系统相频特性曲线系统相频特性曲线);figure(2);bode(num,den,w) %求取系统求取系统Bode图图title(系统系统Bode图图);10-1100101102-50050系 统 幅 频 特 性 曲 线10-1100101102-200-150-100-50系 统 相 频 特 性 曲 线图图14.11 例例6由由Nichols曲线参数绘制对数坐标图曲线参数绘制对数坐标图10-

31、1100101102-50050系 统 幅 频 特 性 曲 线10-1100101102-200-150-100-50系 统 相 频 特 性 曲 线图图14.12 例例6直接求取的系统对数坐标图直接求取的系统对数坐标图14.2基于频域法的控制系统稳基于频域法的控制系统稳定性能分析定性能分析n14.2.1频域法的稳定性判定和稳定裕频域法的稳定性判定和稳定裕度概述度概述 n1. Nyquist稳定判据稳定判据 频域响应的分析方法最早应用就是利用频域响应的分析方法最早应用就是利用开环系统的开环系统的Nyquist图来判定闭环系统的稳图来判定闭环系统的稳定性，其理论基础是定性，其理论基础是Nyquis

32、t稳定性定理。稳定性定理。内容是：如果开环模型含有内容是：如果开环模型含有m个不稳定极点，个不稳定极点，则单位负反馈下单变量闭环系统稳则单位负反馈下单变量闭环系统稳 定的充要条件是开环系统的定的充要条件是开环系统的Nyquist图图逆时针围绕逆时针围绕(-1,j0)点点m周。周。 关于关于Nyquist定理可以分下面定理可以分下面2种情种情况做进一步解释：况做进一步解释： （1）若系统的开环模型）若系统的开环模型 为稳定的，为稳定的，则当且仅当则当且仅当 的的Nyquist图不包围图不包围(-1,j0)点，闭环系统是稳定的。点，闭环系统是稳定的。 ( ) ( )G s H s( ) ( )Gs

33、 H s 如果如果Nyquist图顺时针包围图顺时针包围(-1,j0)点点p次，则闭环系统有次，则闭环系统有p个不稳定极点个不稳定极点 .（2）若系统的开环模型）若系统的开环模型 不稳定，不稳定，且有且有p个不稳定极点，则当且仅当个不稳定极点，则当且仅当 的的 Nyquist图逆时针包围图逆时针包围(-1,j0)点点p次，次，闭环系统是稳定的。若闭环系统是稳定的。若Nyquist图逆时图逆时针包围针包围(-1,j0)点点q次，则闭环系统有次，则闭环系统有qp个不稳定极点。个不稳定极点。( )( )G s H s( )( )G s H sn2. 对数频率稳定判据对数频率稳定判据 当当p=0时，在

34、开环对数幅相特性曲线时，在开环对数幅相特性曲线 的范围内，相频特性曲线的范围内，相频特性曲线 对对 线的正穿（由下至上）次数与负穿线的正穿（由下至上）次数与负穿（由上向下）次数相等，则系统闭环稳定；（由上向下）次数相等，则系统闭环稳定；当时，在开环对数幅相特性曲线当时，在开环对数幅相特性曲线 的的范围内，若相频特性曲线范围内，若相频特性曲线 对线对线 的正的正穿次数与负穿次数之差为穿次数与负穿次数之差为p/2，则系统闭环，则系统闭环稳定。稳定。20lg0G ( ) 20lg0G ( ) n3. 系统相对稳定性的判定（稳定裕度）系统相对稳定性的判定（稳定裕度） 系统的稳定性固然重要，但它不是唯一

35、系统的稳定性固然重要，但它不是唯一刻画系统性能的准则，因为有的系统即使稳刻画系统性能的准则，因为有的系统即使稳定，使其动态性能表现为很强的振荡，也是定，使其动态性能表现为很强的振荡，也是没有用途的。因为这样的系统如果出现小的没有用途的。因为这样的系统如果出现小的变化就可能使系统不稳定。此时还应该考虑变化就可能使系统不稳定。此时还应该考虑对频率响应裕度的定量分析，使系统具有一对频率响应裕度的定量分析，使系统具有一定的稳定裕度。定的稳定裕度。 相角稳定裕度相角稳定裕度 系统极坐标图上系统极坐标图上 模值等于模值等于1的矢量与负的矢量与负 轴的夹角：轴的夹角： 相角稳定裕度表示了系统在临界稳定状态时

36、相角稳定裕度表示了系统在临界稳定状态时 ，系统所允许的最大相位滞后。系统所允许的最大相位滞后。 ()G j( ) ( 180) 180( )cc 幅值稳定裕度幅值稳定裕度 系统极坐标图上系统极坐标图上 与负实轴交点（与负实轴交点（ ）的模值的模值 倒数：倒数：在对数坐标图上，采用在对数坐标图上，采用 表示表示 的分的分贝值，有贝值，有()G jg()gG1()ggKGgLgK20lg20lg ()gggLKA 幅值稳定裕度表示了系统在临界稳定状幅值稳定裕度表示了系统在临界稳定状态时，系统增益所允许的最大增大倍数。态时，系统增益所允许的最大增大倍数。n4. 闭环系统频率特性性能指标闭环系统频率特

37、性性能指标 通常，描述闭环系统频率特性的性能通常，描述闭环系统频率特性的性能指标主要有谐振峰值指标主要有谐振峰值 、谐振频、谐振频率率 、带宽和带宽频率、带宽和带宽频率 。其中：。其中：pMpb谐振峰值谐振峰值 指系统闭环频率特性幅值的指系统闭环频率特性幅值的最大值。最大值。谐振频率谐振频率 指系统闭环频率特性幅值出指系统闭环频率特性幅值出现最大值时的频率。现最大值时的频率。带宽频率带宽频率 指当系统指当系统 的幅频特性的幅频特性 下降到下降到 时所对应的频率。时所对应的频率。系统带宽指频率范围系统带宽指频率范围 。pMpb()G j()G j2()2Gj0,b14.2.2基于频域法的控制系统

38、稳定判定基于频域法的控制系统稳定判定相关相关MATLAB函数函数 除上节给出的函数可用于绘制频率响除上节给出的函数可用于绘制频率响应图形并用于判定系统稳定性之外，应图形并用于判定系统稳定性之外，MATLAB还提供了相关函数直接用于进还提供了相关函数直接用于进一步判定系统的稳定程度，见表一步判定系统的稳定程度，见表14.2。margin(G)Gm,Pm,Wg,Wp = margin(G)Gm,Pm,Wg,Wp = margin(mag,phase,w)绘制系统绘制系统Bode图。带有裕量及相应频率显示图。带有裕量及相应频率显示给出系统相对稳定参数。分别为幅值裕度、相给出系统相对稳定参数。分别为幅

39、值裕度、相角裕度、幅值穿越频率、相角穿越频率角裕度、幅值穿越频率、相角穿越频率给出系统相对稳定参数。由给出系统相对稳定参数。由Bode函数得到的幅函数得到的幅值、相角和频率向量计算。返回参数分别为值、相角和频率向量计算。返回参数分别为幅值裕度、相角裕度、幅值穿越频率、相角幅值裕度、相角裕度、幅值穿越频率、相角穿越频率穿越频率S = allmargin(G)返回相对稳定参数组成的结构体。包含幅值裕返回相对稳定参数组成的结构体。包含幅值裕度、相角裕度及其相应频率，时滞幅值裕度度、相角裕度及其相应频率，时滞幅值裕度和频率，是否稳定的标识符和频率，是否稳定的标识符表表14.2 基于频域法的控制系统稳定

40、判定相关基于频域法的控制系统稳定判定相关MATLAB函数函数 对系统闭环频率特性的求取，对系统闭环频率特性的求取，MATLAB没有提供相应的函数。我们可以根据其没有提供相应的函数。我们可以根据其定义，编写如下的程序来求取：定义，编写如下的程序来求取：，带宽和带宽频率，带宽和带宽频率%用于求取谐振峰值用于求取谐振峰值 ,谐振频率谐振频率 ，带宽和带宽频率，带宽和带宽频率 mag,phase,w=bode(G,w);Mp,k=max(mag);resonantPeak=20*log10(Mp);resonantFreq=w(k);n=1;while 20*log10(mag(n)=-3 n=n+1

41、;endbandwidth=w(n);%求取谐振峰值求取谐振峰值%进行谐振峰值单位转换进行谐振峰值单位转换%求取谐振频率求取谐振频率%求取带宽和带宽频率求取带宽和带宽频率pMpb14.2.3MATLAB频域法稳定性判定实例频域法稳定性判定实例例例7：系统开环传递函数为：系统开环传递函数为绘制其极坐标图，并判定系统稳定性。绘制其极坐标图，并判定系统稳定性。10(5)(1)Gssnum=10;den=conv(1 5,1 -1);G=tf(num,den);Nyquist(G)-2-1.8-1.6-1.4-1.2-1-0.8-0.6-0.4-0.20-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40

42、.60.8Nyquist DiagramReal AxisImaginary AxisPole-Zero MapReal AxisImaginary Axis-2.5-2-1.5-1-0.50-1.5-1-0.500.511.5System: untitled1Pole : -2 + 1iDamping: 0.894Overshoot (%): 0.187Frequency (rad/sec): 2.24System: untitled1Pole : -2 - 1iDamping: 0.894Overshoot (%): 0.187Frequency (rad/sec): 2.24图图14.1

43、3 例例7系统的系统的Nyquist曲线曲线 图图14.14 例例7系统的零极点分布图系统的零极点分布图 例例8：系统开环传递函数为：系统开环传递函数为绘制其极坐标图，并判定系统稳定性。绘制其极坐标图，并判定系统稳定性。25(2)(25)Gsssnum=5;den=conv(1 2,1 2 5);G=tf(num,den);Nyquist(G)-1-0.500.5-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5Nyquist DiagramReal AxisImaginary Axis012345678900.050.10.150.20.250.30.350.40.45

44、Step ResponseTime (sec)Amplitude图图14.15 例例8系统的系统的Nyquist曲线曲线 图图14.16 例例8系统的阶跃响应曲线系统的阶跃响应曲线 例例9：分别判定系统：分别判定系统 和和 的稳定性。如果系统的稳定性。如果系统稳稳定，进一步给出系统相对稳定参数。定，进一步给出系统相对稳定参数。15(2)(5)Gs ss2200(2)(5)Gs ssnum1=5;den1=conv(1 2,1 5 0);G1=tf(num1,den1);margin(G1)figure(2)num2=200;den2=conv(1 2,1 5 0);G2=tf(num2,den

45、2);margin(G2)-150-100-50050Magnitude (dB)10-1100101102-270-225-180-135-90Phase (deg)Bode DiagramGm = 22.9 dB (at 3.16 rad/sec) , Pm = 70.9 deg (at 0.484 rad/sec)Frequency (rad/sec)图图14.17 例例9系统系统 的的Bode图图1G-100-50050Magnitude (dB)10-1100101102-270-225-180-135-90Phase (deg)Bode DiagramGm = -9.12 dB (

46、at 3.16 rad/sec) , Pm = -24.2 deg (at 5.1 rad/sec)Frequency (rad/sec)图图14.18 例例9系统系统 的的Bode图图2G例例10：单位负反馈系统的开环传递函数为：单位负反馈系统的开环传递函数为 绘制闭环系统的绘制闭环系统的Bode图。此外，继续给图。此外，继续给出闭环频率特性性能指标谐振峰值、谐出闭环频率特性性能指标谐振峰值、谐振频率和系统带宽。振频率和系统带宽。1(0.51)(1)Gssss=tf(s);Gk=1/s/(0.5*s+1)/(s+1);G=feedback(Gk,1); %闭环系统传递函数w=logspace

47、(-1,1); %给出从 共50个（默认）频率值 mag,phase,w=bode(G,w); %返回闭环系统bode图参数Mp,k=max(mag); %谐振峰值resonantPeak=20*log10(Mp) %谐振峰值单位转换resonantFreq=w(k) %谐振频率n=1;while 20*log10(mag(n)=-3 n=n+1;endbandwidth=w(n) % 系统带宽bode(G,w),grid; %系统bode图 1110 10运行结果：resonantPeak = 5.2388resonantFreq = 0.7906bandwidth = 1.264910-1

48、100101-270-180-900Phase (deg)Bode DiagramFrequency (rad/sec)-60-40-20020System: GPeak gain (dB): 5.24At frequency (rad/sec): 0.791Magnitude (dB)图14.21 例10系统bode图14.3 控制系统的频域法校正控制系统的频域法校正14.3.1 频域法超前校正及基于频域法超前校正及基于MATLAB的实例的实例图图14.22 超前校正装置无源网络超前校正装置无源网络图图14.22 超前校正装置无源网超前校正装置无源网络络 其中其中T为时间常数为时间常数 1(

49、 )(1)cTsG sTsCRRRRT2121为衰减因子，为衰减因子， 1221RRR。 采用无源超前网络进行串联校正时，整个系统采用无源超前网络进行串联校正时，整个系统的开环增益要下降的开环增益要下降倍，因此需要提高放倍，因此需要提高放器增益加以修正。器增益加以修正。s=tf(s);alfa=5;t=2;Gc=(s+1/(alfa*t)/(s+1/t);bode(Gc,alfa*Gc)%超前校正器的超前校正器的Bode图图grid;figure;pzmap(Gc)-15-10-5051015Magnitude (dB)10-310-210-110010103060Phase (deg)Bod

50、e DiagramFrequency (rad/sec)补 偿 后 的 校 正 器补 偿 前 的 校 正 器Pole-Zero MapReal AxisImaginary Axis-0.5-0.45-0.4-0.35-0.3-0.25-0.2-0.15-0.1-0.050-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81System: GcZero : -0.1Damping: 1Overshoot (%): 0Frequency (rad/sec): 0.1System: GcPole : -0.5Damping: 1Overshoot (%): 0Frequency (rad

51、/sec): 0.5图图14.23 超前校正装置超前校正装置Bode图图 图图14.24 超前校正装置的零极点超前校正装置的零极点图图n理论证明：超前网络的最大超前频率理论证明：超前网络的最大超前频率为为 ，最大超前相位，最大超前相位 ，最，最大超前相位所对应的幅值为大超前相位所对应的幅值为 （校正器经增益补偿）。（校正器经增益补偿）。 利用超前校正装置校正的基本原理即是利用超前校正装置校正的基本原理即是利用其相位超前的特性，以补偿原来系利用其相位超前的特性，以补偿原来系统中元件造成的过大的相位滞后。统中元件造成的过大的相位滞后。1mT1arcsin1m()20 lg()10 lgmmLG j

52、2. 基于基于Bode图的相位超前校正步骤图的相位超前校正步骤n为了获得最大的相位超前量，应使得超前网络为了获得最大的相位超前量，应使得超前网络的最大相位超前发生在校正后系统的幅值穿越的最大相位超前发生在校正后系统的幅值穿越频率处，即频率处，即 。根据这一思想，具体设计。根据这一思想，具体设计步骤如下：步骤如下：n根据要求的稳态误差指标，确定开环增益根据要求的稳态误差指标，确定开环增益K；n计算校正前的系统相位裕度计算校正前的系统相位裕度。利用已确定的。利用已确定的开环增益，绘制校正前的系统开环增益，绘制校正前的系统Bode图，并求图，并求取取值。值。mcn确定需要对系统增加的相位超前量确定需

53、要对系统增加的相位超前量 。 其中表示期望的校正后系统的相位裕度。因为其中表示期望的校正后系统的相位裕度。因为增加超前校正装置后，会使幅值穿越频率向右增加超前校正装置后，会使幅值穿越频率向右方移动，因而减小相位裕度，所以在计算相位方移动，因而减小相位裕度，所以在计算相位超前量时超前量时 ，应额外加，应额外加 。n确定校正器衰减因子确定校正器衰减因子 。由。由 得得 。n确定最大超前频率确定最大超前频率 。在原系统幅值为。在原系统幅值为 的频率的频率 ，即作，即作为校正后系统的幅值穿越频率。为校正后系统的幅值穿越频率。n确定校正网络的参数确定校正网络的参数T。 。 m(51 2)m m5 121

54、1-arcsinm)sin(1)sin(1sinmmmlg10)(lg20)(mmjGcLmmT1n由超前网络参数得到校正器，并提高校由超前网络参数得到校正器，并提高校正器的增益以抵消正器的增益以抵消1/a的衰减。得到经的衰减。得到经补偿后的校正器。补偿后的校正器。n绘制校正后的系统绘制校正后的系统Bode图。验证相位裕图。验证相位裕度是否满足要求，有必要时重复上述步度是否满足要求，有必要时重复上述步骤。骤。3. 频域法超前校正实例频域法超前校正实例n例例11：已知单位负反馈系统的开环传递：已知单位负反馈系统的开环传递函数为函数为 。使用。使用MATLAB设计超前设计超前校正网络，使系统的稳态

55、速度误差系校正网络，使系统的稳态速度误差系数数 ，相位裕度不小于，相位裕度不小于 。n由要求可计算得由要求可计算得 。则满足稳态速。则满足稳态速度误差要求的系统开环传递函数度误差要求的系统开环传递函数为为 。( )(1)KG ss s120vKs5020K 20( )(1)Gss sdelta=3;s=tf(s);G=20/(s*(s+1);margin(G)gm,pm=margin(G)phim1=50;phim=phim1-pm+delta;phim=phim*pi/180;alfa=(1+sin(phim)/(1-sin(phim);a=10*log10(alfa);mag,phase,

56、w=bode(G);adB=20*log10(mag);wm=spline(adB,w,-a);t=1/(wm*sqrt(alfa);Gc=(1+alfa*t*s)/(1+t*s);gmc,pmc=margin(G*Gc)figure;margin(G*Gc)%最大超前相位调节参数最大超前相位调节参数%得到原系统传递函数得到原系统传递函数%原系统原系统Bode图图%原系统的相位裕量和幅值裕量原系统的相位裕量和幅值裕量%期望相位裕度期望相位裕度%需补偿的相位裕度需补偿的相位裕度%相位裕度单位转换相位裕度单位转换%求取校正器参数求取校正器参数%校正器在最大超前相位处的增益校正器在最大超前相位处的增

57、益%返回返回Bode图参数图参数%原系统幅值单位转换原系统幅值单位转换%得到最大超前相位处的频率得到最大超前相位处的频率%求取校正器参数求取校正器参数t%得到补偿后的校正器得到补偿后的校正器%求取校正后的系统稳定裕度参数求取校正后的系统稳定裕度参数%得到校正后的系统得到校正后的系统Bode图图运行结果：运行结果：%校正前的稳定裕度参数校正前的稳定裕度参数gm = Infpm = 12.7580%校正后的稳定裕度参数校正后的稳定裕度参数gmc = Infpmc = 48.9496-50050100Magnitude (dB)10-210-1100101102-180-135-90Phase (d

58、eg)Bode DiagramGm = Inf dB (at Inf rad/sec) , Pm = 12.8 deg (at 4.42 rad/sec)Frequency (rad/sec)图图14.25 校正前原系统校正前原系统Bode图图-100-50050100Magnitude (dB)10-210-1100101102103-180-135-90Phase (deg)Bode DiagramGm = Inf dB (at Inf rad/sec) , Pm = 48.9 deg (at 6.53 rad/sec)Frequency (rad/sec)图图14.26 delta=3时

59、校正后系统的时校正后系统的Bode图图n分析：由结果知，虽然校正后系统性能分析：由结果知，虽然校正后系统性能提高了，但相位裕度仍未达到要求。我提高了，但相位裕度仍未达到要求。我们尝试修改们尝试修改delta值，取为值，取为 ，再次运，再次运行程序。校正后的系统行程序。校正后的系统Bode图如图。此图如图。此时系统相位裕度为时系统相位裕度为 ，达到了设计要，达到了设计要求。求。delta=550.8-100-50050100Magnitude (dB)10-210-1100101102103-180-135-90Phase (deg)Bode DiagramGm = Inf dB (at Inf

60、 rad/sec) , Pm = 50.8 deg (at 6.68 rad/sec)Frequency (rad/sec)图图14.26 delta=5时校正后系统的时校正后系统的Bode图图n可以进一步通过时域响应分析查看系统校正效果。以进一步通过时域响应分析查看系统校正效果。n在前面程序基础上补充如下程序：在前面程序基础上补充如下程序：nfigure;nstep(feedback(G,1),feedback(G*Gc,1),:)ngtext(校正前系统校正前系统);ngtext(校正后系统校正后系统);nfigure;nG2=feedback(G*Gc,1);nnum2,den2=tfd

61、ata(G2,v);nt=0:0.01:3;ny2=step(num2,den2,0,t);nplot(t,t,t,y2,:);gridntitle(斜坡输入和校正后系统的斜坡响应斜坡输入和校正后系统的斜坡响应);02468101200.20.40.60.811.21.41.61.8校 正 前 系 统校 正 后 系 统Step ResponseTime (sec)Amplitude00.511.522.5300.511.522.53斜 坡 输 入 和 校 正 后 系 统 的 斜 坡 响 应图图14.27 校正前后系统阶跃响应曲校正前后系统阶跃响应曲 图图14.28 斜坡输入及校正后系统的斜坡响

62、应斜坡输入及校正后系统的斜坡响应14.3.2 频域法滞后校正及基于频域法滞后校正及基于MATLAB的实例的实例 滞后校正装置及其特性滞后校正装置及其特性图图14.29 滞后校正装置的无源网络实现滞后校正装置的无源网络实现1( )1TsGc sTs2121RRR，其中 12()T R R C， beta=0.1;t=10;Gc=(1+beta*t*s)/(1+t*s);bode(Gc)grid;figure;pzmap(Gc)-20-15-10-50Magnitude (dB)10-310-210-1100101102-60-300Phase (deg)Bode DiagramFrequency

63、 (rad/sec)Pole-Zero MapReal AxisImaginary Axis-1-0.9-0.8-0.7-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.10-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81System: GcZero : -1Damping: 1Overshoot (%): 0Frequency (rad/sec): 1System: GcPole : -0.1Damping: 1Overshoot (%): 0Frequency (rad/sec): 0.1图图14.30 滞后校正装置的滞后校正装置的Bode图图 图图14.31 滞后校正装置的零

64、极点图滞后校正装置的零极点图n滞后校正网络是一个低通滤波器。滞后校正网络是一个低通滤波器。n采用无源滞后网络进行串联校正时，主要是利用其高采用无源滞后网络进行串联校正时，主要是利用其高频幅值衰减特性，以降低系统的开环幅值穿越频率，频幅值衰减特性，以降低系统的开环幅值穿越频率，提高系统的相位裕度。因此，应力求避免最大滞后相提高系统的相位裕度。因此，应力求避免最大滞后相位发生在校正后系统开环幅值穿越频率附近。为了达位发生在校正后系统开环幅值穿越频率附近。为了达到这个目的，选择滞后网络参数时，通常应使网络的到这个目的，选择滞后网络参数时，通常应使网络的转折频率转折频率 （幅值穿越频率）（幅值穿越频率

65、）,一般一般取取 。 1cT110cT 2. 基于基于Bode图的相位滞后校正图的相位滞后校正n基于基于Bode图相位滞后校正的基本原理是利用滞后网络图相位滞后校正的基本原理是利用滞后网络的高频幅值衰减特性，使校正后系统的幅值穿越频率的高频幅值衰减特性，使校正后系统的幅值穿越频率下降，借助于校正前系统在该幅值穿越频率处的相位，下降，借助于校正前系统在该幅值穿越频率处的相位，使系统获得足够的相位裕度。因此，设计滞后网络时，使系统获得足够的相位裕度。因此，设计滞后网络时，应力求避免让最大的相位滞后发生在系统幅值穿越频应力求避免让最大的相位滞后发生在系统幅值穿越频率附近。率附近。n由于滞后网络的高频

66、衰减特性，减小了系统带宽，降由于滞后网络的高频衰减特性，减小了系统带宽，降低了系统的响应速度。因此，当系统响应速度要求不低了系统的响应速度。因此，当系统响应速度要求不高而抑制噪声要求较高时，可考虑采用串联滞后校正。高而抑制噪声要求较高时，可考虑采用串联滞后校正。n此外，当校正前系统已经具备满意的瞬态性能，仅稳此外，当校正前系统已经具备满意的瞬态性能，仅稳态性能不满足指标要求时，也可采用串联滞后校正以态性能不满足指标要求时，也可采用串联滞后校正以提高系统的稳态精度。提高系统的稳态精度。n基于基于Bode图的相位滞后校正设计步骤：图的相位滞后校正设计步骤：n根据稳态误差要求，求开环增益根据稳态误差要求，求开环增益K；n利用已确定的开环增益，画出校正前的利用已确定的开环增益，画出校正前的Bode图，确定校正前系统的相位裕度和图，确定校正前系统的相位裕度和幅值穿越频率幅值穿越频率 ；n确定校正后系统的幅值穿越频率确定校正后系统的幅值穿越频率 ，使，使其相位裕度满足其相位裕度满足 。c-180+ +(5-12)cn为防止由滞后网络造成的相位滞后的不为防止由滞后网络造成的相位滞后的不良影响，滞后网