第1部分结构的动力计算

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1、第第1313章结构的动力计算章结构的动力计算 13131 1 动力计算的特点和动力自由度动力计算的特点和动力自由度 一动荷载及其分类一动荷载及其分类 动荷载动荷载是指其大小、方向和作用位置随是指其大小、方向和作用位置随时间变化的荷载由于荷载随时间变化较快时间变化的荷载由于荷载随时间变化较快，所产生的惯性力不容忽视。因此，考虑惯，所产生的惯性力不容忽视。因此，考虑惯性力的影响是结构动力学的最主要特征。性力的影响是结构动力学的最主要特征。 静荷载只与作用位置有关，而动荷载静荷载只与作用位置有关，而动荷载是坐标和时间的函数。是坐标和时间的函数。 动荷载按其随时间的变化规律进行分类：动荷载按其随时间的

2、变化规律进行分类： 载其他非确定规律的动荷风荷载地震荷载非确定性其他确定规律的动荷载突加荷载冲击荷载非周期非简谐荷载简谐荷载周期确定性动荷载二二结构动力计算的内容和特点结构动力计算的内容和特点1. 1. 动力计算的主要内容动力计算的主要内容第一类问题：反应问题第一类问题：反应问题输入输入（动荷载）（动荷载）结构结构（系统）（系统）输出输出（动力反应）（动力反应）第二类问题：参数（或系统）的识别第二类问题：参数（或系统）的识别 输入输入（动荷载）（动荷载）结构结构（系统）（系统）输出输出（动力反应）（动力反应）第三类问题：荷载识别第三类问题：荷载识别 输入输入（动荷载）（动荷载）结构结构（系统）

3、（系统）输出输出（动力反应）（动力反应）第四类问题：控制问题第四类问题：控制问题 输入输入（动荷载）（动荷载）结构结构（系统）（系统）输出输出（动力反应）（动力反应）控制系统控制系统 （装置、能量）（装置、能量）2 2结构动力计算的目的结构动力计算的目的 研究结构在动荷载作用下的反应规研究结构在动荷载作用下的反应规律，找出动荷载作用下结构的最大动内律，找出动荷载作用下结构的最大动内力和最大动位移，为结构的动力可靠性力和最大动位移，为结构的动力可靠性设计提供依据。设计提供依据。 3 3动力反应的特点动力反应的特点 在动荷载作用下，结构的动力反应在动荷载作用下，结构的动力反应（动内力、动位移等）都

4、随时间变化，（动内力、动位移等）都随时间变化，它的除与动荷载的变化规律有关外，还它的除与动荷载的变化规律有关外，还与结构的固有特性（自振频率、振型和与结构的固有特性（自振频率、振型和阻尼）有关。阻尼）有关。 不同的结构，如果它们具有相同的不同的结构，如果它们具有相同的阻尼、频率和振型，则在相同的荷载下阻尼、频率和振型，则在相同的荷载下具有相同的反应。可见，结构的固有特具有相同的反应。可见，结构的固有特性能确定动荷载下的反应，故称之为性能确定动荷载下的反应，故称之为结结构的动力特性。构的动力特性。强迫振动强迫振动 结构在动荷载作用下产生得振结构在动荷载作用下产生得振动。动。 研究强迫振动，可得到

5、结构的动力研究强迫振动，可得到结构的动力反应。反应。 三自由振动和强迫振动三自由振动和强迫振动自由振动自由振动 结构在没有动荷载作用时，由结构在没有动荷载作用时，由 初速度、初位移所引起的振动。初速度、初位移所引起的振动。 研究结构的自由振动，可得到结构的研究结构的自由振动，可得到结构的自振频率、振型和阻尼参数。自振频率、振型和阻尼参数。 确定体系运动过程中任一时刻全部确定体系运动过程中任一时刻全部质量位置所需的独立几何参数数目，称为质量位置所需的独立几何参数数目，称为体系的体系的自由度自由度。 根据自由度的数目，结构可分为单根据自由度的数目，结构可分为单自由度体系，多自由度体系和无限自由度自

6、由度体系，多自由度体系和无限自由度体系。体系。四动力分析中的自由度四动力分析中的自由度1 1自由度的定义自由度的定义 将连续分布的结构质量按一定将连续分布的结构质量按一定的力学原则集中到若干几何点上，的力学原则集中到若干几何点上，使结构只在这些点上有质量。从而使结构只在这些点上有质量。从而把一个无限自由度问题简化为有限把一个无限自由度问题简化为有限自由度问题。自由度问题。 2.2.实际结构自由度的简化方法实际结构自由度的简化方法 为分析计算方便，往往将具有无限自为分析计算方便，往往将具有无限自由度体系的实际结构简化为有限自由度。由度体系的实际结构简化为有限自由度。常用的简化方法有：常用的简化方

7、法有：（1 1） 集中质量集中质量法法ms平面平面: :计轴向变形计轴向变形: W=2: W=2不计轴向变形不计轴向变形: W=1: W=1( (空间空间: :不计轴向变形不计轴向变形: W=2: W=2) ) 不计轴向变形：不计轴向变形： 1yy1y2W=1W=1（3 3） W=2W=2（3 3） 1yyy321yyW=3W=3（5 5） W=3W=3W=1W=1结论：结论： 结构自由度数目与质点的个数无关结构自由度数目与质点的个数无关结构自由度数目与超静定次数无关结构自由度数目与超静定次数无关思考：思考：考虑轴向变形后各计算简图的动力自考虑轴向变形后各计算简图的动力自由度数是多少？由度数是

8、多少？（2 2）广义坐标法）广义坐标法 假定梁的挠度曲线为假定梁的挠度曲线为 my(x)11)()()(knkkkkkxaxaxy式中式中 )(xkka满足位移边界条件的形状函数满足位移边界条件的形状函数 广义坐标广义坐标 广义坐标的个数为体系的自由度数广义坐标的个数为体系的自由度数（3）有限单元法）有限单元法 综合了集中质量法和广义坐标法的特点。综合了集中质量法和广义坐标法的特点。 将实际结构离散为有限个单元的集合，将实际结构离散为有限个单元的集合，以结点位移作为广义坐标，将无限自由以结点位移作为广义坐标，将无限自由度问题化为有限自由度问题。度问题化为有限自由度问题。 结点位移的数目等于体系

9、的自由度数。结点位移的数目等于体系的自由度数。 本章主要讨论集中质量法。本章主要讨论集中质量法。 m13-213-2 单自由度体系的运动方程单自由度体系的运动方程 实际上，工程中很多问题可化成实际上，工程中很多问题可化成单自由度体系进行动力分析或进行初单自由度体系进行动力分析或进行初步估算。要掌握其动力反应的规律，步估算。要掌握其动力反应的规律，必须首先建立其运动方程。下面介绍必须首先建立其运动方程。下面介绍建立在达朗伯原理基础上的建立在达朗伯原理基础上的“动静动静法法”。 一一.按平衡条件建立运动方程按平衡条件建立运动方程刚度法刚度法 y(t)mFP(t)EILmFP(t)-my(t)-ky

10、(t)(tym )(tky惯性力惯性力 弹性力弹性力 对隔离体列平衡方程对隔离体列平衡方程：)()()(tFtkytymp k k刚度系数刚度系数 33lEIk )()(3)(3tFtylEItymp 1kky(t)y(t)刚度法步骤：刚度法步骤：（1）在质点上沿位移正向加惯性力）在质点上沿位移正向加惯性力;（2）取质点为隔离体并作受力图）取质点为隔离体并作受力图; ;（3）根据达朗伯原理对质量）根据达朗伯原理对质量m列瞬时列瞬时 动力平衡方程，此即体系的运动方程。动力平衡方程，此即体系的运动方程。二二. .按位移法协调建立方程按位移法协调建立方程柔度法柔度法 1 1y(t)LEIFP(t)m

11、-my(t)FP(t)my(t)-my(t)对质量对质量 m m 列位移方程列位移方程：)()()(tymtFtyp )()(1)(tFtytymp EIl33 柔度系数柔度系数 1k)()(3)(3tFtylEItymp 柔度法步骤柔度法步骤： （1 1）在质量上沿位移正方向加惯性力；）在质量上沿位移正方向加惯性力； （2 2）求动荷载和惯性力引起的位移；）求动荷载和惯性力引起的位移； （3 3）令该位移与质量）令该位移与质量 m m 的位移相等，的位移相等， 即得到体系的位移方程（运动方程）。即得到体系的位移方程（运动方程）。 三三. .建立运动方程例题建立运动方程例题 例例1 1 试建立

12、图示刚架试建立图示刚架（a a）的运动方程的运动方程 解：（解：（1 1）刚度法）刚度法 （a a）（b b）EIFP(t)mhEImy(t)F(t)y(t)F1=0 由于横梁刚度无限大，刚架只产生水由于横梁刚度无限大，刚架只产生水平位移。设横梁在某一时刻平位移。设横梁在某一时刻 t t 的水平位移的水平位移为为 y(t), y(t), 向右为正。在柱顶设置附加链杆向右为正。在柱顶设置附加链杆（图（图b b），以），以 y(t) y(t) 作为基本未知量，用位作为基本未知量，用位移法列动平衡方程：移法列动平衡方程：0)(1111pFtyk令令 , 1)(ty 作作 1M图（图图（图c c），求

13、得），求得 31124hEIk12EI/h312EI/h3kk116EI/h26EI/h26EI/h26EI/h2M1图(c) F(t)FF(t)-my(t)F-my(t)(d) 考虑动荷载考虑动荷载 F(t)F(t)和惯性力和惯性力 )(tym 作作 M MP P 图，求得图，求得)()(1tymtFFP （2）柔度法）柔度法 设横梁在任一时刻设横梁在任一时刻 的位移的位移 是由是由动荷载动荷载 和惯性力和惯性力 共同作用产共同作用产生的（图生的（图e），）， t)(ty)(tF)(tym 所以，运动方程为所以，运动方程为：)()(24)(3tFtyhEItym 因此，横梁的位移为因此，横梁

14、的位移为： )()()(tFtymty 作 图（图f）1M-my(t)F(t)y(t)y(t)(e) h/4M1图h/4h/4h/41(f) 求得求得EIh243所以，运动方程为所以，运动方程为)()(24)(3tFtyhEItym 可见，用两种方法求解后运动方程相同。可见，用两种方法求解后运动方程相同。例例2试建立图（试建立图（a）所示刚架的运动方程）所示刚架的运动方程（不计轴向变形）（不计轴向变形）。 F(t)y(t)mlEIEI4l(a) F(t)my(t)-my(t)(b)解：解： 用柔度法求解用柔度法求解 图示结构质量图示结构质量 m只产生水平位移只产生水平位移。 设质量设质量 m

15、在任一在任一时时刻刻t的水平位移为的水平位移为 ，)(ty它是由动荷载它是由动荷载 )(tFll1M1图(c) )()()(tFtymty 质量质量m的位移为的位移为 和惯性力和惯性力)(tym 作用产生的，作用产生的，共同共同向右为正。向右为正。作作 图，图， 1M求得求得 EIl353所以，运动方程成为所以，运动方程成为 )()(53)(3tFtylEItym 例例3试建立图（试建立图（a）所示刚架的运动方程）所示刚架的运动方程 （不计轴向变形）（不计轴向变形）。 解：解： 仍用柔度法求解仍用柔度法求解lEIEImy(t)2l2lF(t)(a)-my(t)my(t)F(t)（b）分析同例分

16、析同例2，质量，质量m的位移为的位移为 )()()(1211tFtymty 作作 图、图、 图图1M2M求得求得 1ll11M1图(c ) l121M2图(d) EIl35311EIl312所以，运动方程为所以，运动方程为)()(35)(33tFEIltymEIlty 由此可见，动静法建立单自由度体由此可见，动静法建立单自由度体系的运动方程通常是以质量的静平衡位置系的运动方程通常是以质量的静平衡位置作为计算动位移的起点，采用刚度法还是作为计算动位移的起点，采用刚度法还是柔度法要视具体问题是求刚度系数方便，柔度法要视具体问题是求刚度系数方便，还是求柔度系数方便来定。对同一体系，还是求柔度系数方便

17、来定。对同一体系，两种方程都是一样的，对于单自由度体两种方程都是一样的，对于单自由度体系系： 。 1k13-313-3 单自由度体系的自由振动单自由度体系的自由振动 （不计阻尼（不计阻尼） 自由振动由初位移或初速度引起的，自由振动由初位移或初速度引起的，在运动中无动荷载作用的振动。在运动中无动荷载作用的振动。 分析自由振动的目的确定结构的动力分析自由振动的目的确定结构的动力特性，自振频率，自振周期。特性，自振频率，自振周期。 一一. .自由振动运动方程自由振动运动方程 单自由度体系的自由单自由度体系的自由振动及相应的弹簧振动及相应的弹簧质量模型如图示。以质量模型如图示。以静平衡位置为坐标原静平

18、衡位置为坐标原点，在点，在 t t 时刻，质量时刻，质量 m m 的位移为的位移为 y(t)y(t)。EILm-my(t)y(t) 取质量取质量 m m 为隔离体，作用在隔离体上的力：为隔离体，作用在隔离体上的力： 弹性力弹性力 ky(t)ky(t)与位移方向相反；与位移方向相反； 惯性力惯性力 )(tym 与加速度与加速度 y 方向相反。方向相反。 动平衡方程：动平衡方程： 0)()(tkytym 刚度法建立平衡方程：刚度法建立平衡方程：（13131 1）ky(t)mky(t)my(t)m柔度法建立位移方程：柔度法建立位移方程： 质量质量 m m 在在 t t 时刻的位移时刻的位移y(t)y

19、(t)是由此时作是由此时作用在质量上的惯性力产生的，位移方程为：用在质量上的惯性力产生的，位移方程为：)()(tymty 整理，整理， 0)(1)(tytym (a) 单自由度体系：单自由度体系： 1k (b) 式（式（13131 1）或（）或（a a）称为单自由度体系）称为单自由度体系自由振动运动方程（微分方程）自由振动运动方程（微分方程）二二. .自由振动运动方程的解自由振动运动方程的解 单自由度体系自由振动微分方程写为：单自由度体系自由振动微分方程写为： 02yy （13132 2）式中式中 mmk12其通解为其通解为 tCtCty cossin)(21当初始条件当初始条件 0)0(yy

20、0)0(vy二阶齐次线性常微分方程二阶齐次线性常微分方程1C2C 0v0y式（式（13133 3）还可写成）还可写成)sin()( tAty（13134 4）式中式中： 22020 vyA001tanvy （13135 5） 不计阻尼时，单自由度体系的自由振不计阻尼时，单自由度体系的自由振动是由初位移和初速度引起的简谐振动。动是由初位移和初速度引起的简谐振动。 tytvty cossin)(00方程的解：方程的解： （13133 3）三三. .结构的自振周期和自振频率结构的自振周期和自振频率 )2()2(sin)2sin()sin()( tytAtAtAty由式（由式（13134 4）y(t)

21、y(t)是周期函数是周期函数 2TT 2自振周期（固有周期）自振周期（固有周期）自振频率（自振频率（固有固有频率）频率） 1. 1. 结构自振周期结构自振周期 和自振频率和自振频率 的各种等的各种等 价计算公式价计算公式 ggWmkmTst 2222stgWgmmk 1 理解这些公式各符号的含义，由其中理解这些公式各符号的含义，由其中一个公式便可得到其他公式。一个公式便可得到其他公式。T 2. 2. 结构自振频率结构自振频率（或自振周期（或自振周期T T）的性质）的性质 自振频率只与结构的质量和刚度有自振频率只与结构的质量和刚度有关，与外部干扰因素无关，它是结构本关，与外部干扰因素无关，它是结

22、构本身固有的特性；改变结构的质量或刚度身固有的特性；改变结构的质量或刚度可改变其固有频率，不管实际结构如何，可改变其固有频率，不管实际结构如何，在同样的干扰力下，固有频率相同的结在同样的干扰力下，固有频率相同的结构的动力反应相同构的动力反应相同 3. 3. 简谐自由振动的特性简谐自由振动的特性 my(t)AmA2位移位移 )sin()( tAty加速度加速度 )sin()(2 tAty 惯性力惯性力 )sin()()(2 tmAtymtI 位移与惯性力作同频同步振动。位移与惯性力作同频同步振动。 4. 4. 算例算例 例例1 1 求图示体系的自振频率和自振周期。求图示体系的自振频率和自振周期。

23、 mmEIEIEILL解解1LLM1图 图示结构体系虽有两个质量，但它们图示结构体系虽有两个质量，但它们沿同一直线（水平方向）运动，故仍为沿同一直线（水平方向）运动，故仍为单自由度体系。如图（单自由度体系。如图（b b）示，作）示，作 图图 1M柔度系数柔度系数 EIl323自振频率自振频率 334332211mlEIEIlmm 自振周期自振周期 EImlT34223 例例2求图示体系的自振频率求图示体系的自振频率 EI2mmABCkl/2l/2l/4解解A2ml/22Bk5ml2/4Ckl 设该体系转动时，转角的幅值为设该体系转动时，转角的幅值为 。当位移达到幅值时，质量当位移达到幅值时，质

24、量 2m 和和 m 上的上的惯性力也同时达到幅值。惯性力也同时达到幅值。 在幅值处列出动平衡方程：在幅值处列出动平衡方程： 0AM 0454522222 lklllmllm 由此求得由此求得 mk3316 例例3图示排架的横梁为刚性杆，质量为图示排架的横梁为刚性杆，质量为m，柱质量不计柱质量不计, ,求其自振频率。求其自振频率。 mhEIEIk13EI/h23EI/h2M1图k13EI/h33EI/h3解解 不考虑轴向变形，故为一单自由度体系。不考虑轴向变形，故为一单自由度体系。作作 图，求出图，求出1M36hEIk 自振频率自振频率 36mhEImk 作业作业 思考题思考题 P.286. 1

25、34. 135习题习题 P.294. 133. 134. 136. 137刚度系数刚度系数单自由度体系的强迫振动单自由度体系的强迫振动（不计阻尼）（不计阻尼） 13134 4强迫振动强迫振动结构在动荷载作用下的振动结构在动荷载作用下的振动 单自由度体系在动荷载下的振动单自由度体系在动荷载下的振动及相应的振动模型如图示及相应的振动模型如图示: : 弹性力弹性力ky惯性力惯性力 my 平衡方程平衡方程 ( )( )( )pmy tky tFtFp(t)my(t)EIl不同的动荷载作用，体系的动力反应不同。不同的动荷载作用，体系的动力反应不同。常见的几种动荷载作用下体系的动力反应：常见的几种动荷载作

26、用下体系的动力反应： 或或 2( )( )( )PFty ty tm（136） 式中式中 结构的自振频率结构的自振频率 式（式（136)为单自由度体系强迫振动方程为单自由度体系强迫振动方程 y(t)ymFP(t)kymyFP(t)mk一一. 简谐荷载简谐荷载 ( )sinPFtFt荷载幅值荷载幅值 F荷载的圆频率荷载的圆频率 1. 运动方程及其解运动方程及其解 2( )( )sinFy ty ttm二阶线性非齐次常微分方程二阶线性非齐次常微分方程 通解：通解： ( )( )*( )y ty tyt 齐次解：齐次解： 12( )cossiny tCtCt设特解：设特解： *( )sinytAt运

27、动方程的通解为：运动方程的通解为： 1222( )cossinsin()Fy tCtCttm由初始条件确定由初始条件确定 后，运动方程的解后，运动方程的解 12,CC特解为特解为*22( )sin()Fyttm代入方程，求得代入方程，求得22()FAm002222cossinsinsiny(t)yttFFttm() m()（137）式（式（13-7）中前两项为初始条件引起的）中前两项为初始条件引起的自由振动自由振动;第三项为荷载（干扰力）引第三项为荷载（干扰力）引起的自由振动，称为起的自由振动，称为伴生自由振动伴生自由振动。实际上，由于阻尼的存在，自由振动实际上，由于阻尼的存在，自由振动部分都

28、很快衰减掉。自由振动消失前部分都很快衰减掉。自由振动消失前的振动阶段称为的振动阶段称为过渡阶段过渡阶段。第四项为。第四项为按荷载频率按荷载频率 进行的振动，此阶段为进行的振动，此阶段为 22sinFy(t)tm( )振动的振动的平稳阶段平稳阶段，称为，称为纯受迫振动纯受迫振动或或稳态振动稳态振动。 2稳态振动分析稳态振动分析 （1）稳态振动解）稳态振动解222sin1Ftm ()sinAt令令2stFFyFmk2211Fmyst1msty荷载幅值作为静荷载作用时结构产荷载幅值作为静荷载作用时结构产生的静位移生的静位移 最大动位移最大动位移max221 ( )1sty tymax ( )sty

29、ty令令（138）动力系数动力系数最大动位移（振幅）最大动位移（振幅）max ( )sty tAy（139）最大动位移最大动位移 与静位移之比与静位移之比max ( )y t动力系数动力系数 是频率比是频率比 的函数的函数 （2）动位移的讨论）动位移的讨论它反映了干扰力它反映了干扰力 对结构的动力作用。对结构的动力作用。 22113211230共振区当当 时，时， 10即动位移与干即动位移与干扰力指向一致；扰力指向一致；当当 时，时， 10即动位移与干扰力指向相反。即动位移与干扰力指向相反。 （a） 时，时， 干扰力产生的动力作用不明显，干扰力产生的动力作用不明显， 因此可当作静荷载处理；因此

30、可当作静荷载处理； 极限情况，即极限情况，即 或或 ， 则则 。意味着结构为刚体或。意味着结构为刚体或荷载不随时间变化，因此不存在荷载不随时间变化，因此不存在振动问题。振动问题。01 01当当 时，时， 为增函数。为增函数。 01（b）当）当 时，时， ，共振，共振 为避开共振，可改变干扰力频率为避开共振，可改变干扰力频率 或改变结构的自振频率或改变结构的自振频率 使使 或或 。 1 1.250.75（c）当）当 时，时， 为减函数为减函数当当 时，时， ， ， 体系处于静止状态。体系处于静止状态。10max0y（3）降低振幅的措施）降低振幅的措施 频率比，频率比，2km01应使频率比减小，增

31、加结应使频率比减小，增加结构的构的 自振频率，增大刚自振频率，增大刚度，减小质量；度，减小质量；1应使频率比增大，减小结应使频率比增大，减小结构的自振频率，减小刚度，构的自振频率，减小刚度，增大质量。增大质量。 3. 动位移幅值（振幅）和动内力幅值的计算动位移幅值（振幅）和动内力幅值的计算 计算步骤计算步骤 （1）计算动力系数；）计算动力系数；（2）计算动荷载幅值作为）计算动荷载幅值作为 静荷载作用时引起的静荷载作用时引起的 位移和内力；位移和内力； （3）将位移和内力分别乘）将位移和内力分别乘 以动力系数得以动力系数得 动位移动位移 幅值和动内力幅值。幅值和动内力幅值。 Fp(t)my(t)

32、EIl例：求简支梁跨中最大位移和最大弯矩例：求简支梁跨中最大位移和最大弯矩. 已知已知4lm547.48 10Im210EGPa35GkN10FkN500minrn FsintG1/21/2111解解 (1) 计算动力系数计算动力系数梁的自振频率：梁的自振频率： 388.488 1048lmNEI14 .571smmk荷载频率荷载频率 1252.360ns动力系数动力系数 2215.881 (2) 动荷载幅值作为静荷载动荷载幅值作为静荷载 作用时的位移和内力作用时的位移和内力 48.488 10styFm104stFlMkNmM 图 1l/4Fyst(3) 振幅和动弯矩幅值振幅和动弯矩幅值 振

33、幅 34.99 10stAym 动弯矩幅值动弯矩幅值 58.84dstFlMMkN m(4) 最大位移和最大弯矩最大位移和最大弯矩 简支梁的最大位移和最大弯矩均在梁跨中点简支梁的最大位移和最大弯矩均在梁跨中点 跨中重量跨中重量G产生的静位移产生的静位移 32.9710GyGm跨中的最大位移跨中的最大位移 1354GMGlkN m跨中重量跨中重量G产生的静弯矩产生的静弯矩 3max7.9610GyyAm跨中的最大弯矩跨中的最大弯矩 max93.8GdMMMkN m4. 动荷载不作用在质点上时的动计算动荷载不作用在质点上时的动计算 振动方程振动方程 1112( )( )siny tmy tFt 1

34、211111( )( )sinmy ty tFt 令令*1211FF (a) (b) y(t)Fsintml/4l/4l/2Fsinty(t)-my(t)则则*111( )( )sinmy ty tFt稳态解稳态解 *222( )sin(1)Fy ttm111112Fyst (c) (d) (e) （1）、振幅）、振幅 *max222*11212111211 ( )(1)stFAy tmFFmFFy 结论结论:仍是位移的动力系数仍是位移的动力系数.思考思考:是否内力的动力系数？是否内力的动力系数？ （2）、动内力幅值）、动内力幅值 ( )sinpFtFt、( )siny tAt2( )siny

35、 tAt 2( )( )sinI tmy tmAt ( )y t( )I t三者三者同时达到幅值。同时达到幅值。( )pFt、作同频同步运动，作同频同步运动， 根据稳态振动的振幅，算出惯性力。根据稳态振动的振幅，算出惯性力。然后，将惯性力幅值和干扰力幅值同时然后，将惯性力幅值和干扰力幅值同时作用在体系上，按静力学计算方法便可作用在体系上，按静力学计算方法便可求得动内力幅值。求得动内力幅值。例：求图示简支梁的振幅，作动弯矩幅值图例：求图示简支梁的振幅，作动弯矩幅值图. 已知已知 ：0.5解解 (a) (b) (1) 计算动力系数计算动力系数 221431(2) 简支梁的振幅简支梁的振幅 3121

36、1768lEImax312( )11576stAy tyFlFEI(c)y(t)Fsintml/4l/4l/2Fm2AAFyst (d) (e) (3) 作动弯矩的幅值图作动弯矩的幅值图惯性力幅值惯性力幅值21148ImAF动弯矩幅值图动弯矩幅值图(f) 将动荷载幅值将动荷载幅值 F 和和惯性力惯性力 幅值幅值 I 作用在梁作用在梁上，按静力学方法作出上，按静力学方法作出弯矩图弯矩图-动弯矩幅值图。动弯矩幅值图。 作业：作业： 295页页13-8, 296 页页13-10, 297页页13-1613l/1612F4811FFl38483Fl192351l/411 结结 论论 对于单自由度体系，

37、当干扰力作用在对于单自由度体系，当干扰力作用在质量上时，位移的动力系数和内力的动力质量上时，位移的动力系数和内力的动力系数是相同的；当干扰力不作用在质量上系数是相同的；当干扰力不作用在质量上时，位移和内力各自的动力系数通常是不时，位移和内力各自的动力系数通常是不同的。对于位移和内力动力系数相同的情同的。对于位移和内力动力系数相同的情况，求结构的最大动力反应时，可将干扰况，求结构的最大动力反应时，可将干扰力幅值当作静荷载作用计算结构的位移和力幅值当作静荷载作用计算结构的位移和内力，然后再乘以动力系数，便可得到稳态内力，然后再乘以动力系数，便可得到稳态振动时结构的最大动位移和最大动内力。对振动时结

38、构的最大动位移和最大动内力。对于位移和内力动力系数不同的情况，则要从于位移和内力动力系数不同的情况，则要从体系的运动方程出发，先求出稳态振动的位体系的运动方程出发，先求出稳态振动的位移幅值，再算出惯性力。最后，按静力计算移幅值，再算出惯性力。最后，按静力计算方法求出结构在干扰力幅值和惯性力幅值共方法求出结构在干扰力幅值和惯性力幅值共同作用下的内力，此即结构的最大动内力。同作用下的内力，此即结构的最大动内力。二二. 一般动荷载一般动荷载 体系在一般动荷载作用下的动力反应，体系在一般动荷载作用下的动力反应，可看成是连续作用的一系列冲量对体系产可看成是连续作用的一系列冲量对体系产生的动力反应之和。生

39、的动力反应之和。Fp(t )Fp(t )0ttFp(t)my(t)EIl1. 瞬时冲量下体系的动力反应瞬时冲量下体系的动力反应 0tFp冲量S=FptttFp(t)（1）t=0 时瞬时冲量作用时瞬时冲量作用 设体系设体系 0t 时静止时静止, 瞬时冲量瞬时冲量 pSFt体系产生的初速度体系产生的初速度 0PFtSmm初位移初位移 00y 体系的动力反应体系的动力反应 00( )cossinsinPFty tytttm（13-10） （2）.时瞬时冲量作用时瞬时冲量作用 t位移位移 pF d(t)sin(t- )ym任一时刻任一时刻 ()tt0dS=Fpdtt-tFpFp(t )的的pF ( )

40、ddysin (t- )mFp(t )dS=Fp()dFp(t )0dtt2. 一般动荷载下体系的动力反应一般动荷载下体系的动力反应微分冲量微分冲量pdSF ( )d微分冲量下体系的动力反应微分冲量下体系的动力反应一般动荷载下体系的动力反应一般动荷载下体系的动力反应01( )( )sin ()tpy tFtdm（13 11)Duhamel积分积分 ,若若0t 时时,00v00y 则则 体系的动力反应体系的动力反应000( )cossin1( )sin()tpvy tyttFtdm（1312）例例 求突加荷载作用下质量求突加荷载作用下质量 m m 的位移。的位移。 初始条件为零，不计阻尼。初始条

41、件为零，不计阻尼。 0t 0t 0,( ),ppF tFtFp(t )FpFp(t)my(t)EIl解解 将将 ()pF t代入式代入式 （1311），得），得 01( )( )sin()tpy tFtdm20sin ()tpFtdm2(1cos)pFtm(1 cos)styt（1313）动力系数动力系数 max( )2sty ty作业：作业： 296页页1312，297页页13130234tyst13135 5阻尼阻尼：体系在振动过程中使其能量耗散的：体系在振动过程中使其能量耗散的 各种因素的统称。各种因素的统称。 产生阻尼的原因：结构变形中材料的内摩产生阻尼的原因：结构变形中材料的内摩擦，

42、支撑及结点等构件联结处摩擦及周围擦，支撑及结点等构件联结处摩擦及周围介质阻力等。介质阻力等。 阻尼力阻尼力：在振动分析中用于替代阻尼作用：在振动分析中用于替代阻尼作用的阻碍振动的力。的阻碍振动的力。 阻尼对振动的影响阻尼对振动的影响 y(t)ycmFP(t)ky(t)cy(t)my(t)k(a)(b)采用阻尼模型：粘滞阻尼力采用阻尼模型：粘滞阻尼力假定阻假定阻尼力的大小与体系振动时的速度成正比，尼力的大小与体系振动时的速度成正比，与速度方向相反，用与速度方向相反，用 表示。表示。 阻尼常数。阻尼常数。 )(tycc具有阻尼的单自由度体系的振动模型如图具有阻尼的单自由度体系的振动模型如图（a）示

43、。）示。 弹性力弹性力 )(tky阻尼力阻尼力 )(tyc惯性力惯性力 )(tym 质量质量 m 的动平衡方程为的动平衡方程为： )()()()(tFtkytyctymP （131414） 一一. .有阻尼的自由振动有阻尼的自由振动 自由振动方程自由振动方程 0)()()(tkytyctym （131515） 令令 阻尼比阻尼比 mc2 则则 0)()(2)(2tytyty （1316） 设设 解为解为 tAety )(特征方程特征方程 0222 21i（131717） 特征根特征根1. 1. 三种运动形态三种运动形态 (1). (小阻尼情况小阻尼情况) 1 21 r 有阻尼频率有阻尼频率 （

44、131919） 方程（方程（131616）的解）的解 )sincos()(21tCtCetyrrt （132020） 由初始条件由初始条件 0)0(yy 0)0(v y 式中 ryvC002或方程的解写为或方程的解写为 )sin()( tAetyrt（1320） 01yC 振幅振幅 220020)(ryvyA 0001tanyvyr 小阻尼情况下的自由振动是按指数规律衰小阻尼情况下的自由振动是按指数规律衰减的简谐运动。减的简谐运动。 相位角相位角（1322）（1321）方程（方程（1316）解）解 tetCCty )()(21 不振动不振动 （3） （超阻尼情况）（超阻尼情况） 1 不振动不振

45、动 （2） （临界阻尼情况）（临界阻尼情况） 1 mCr2 临界阻尼常数临界阻尼常数 （1323）（1324）2.2.小阻尼时自由振动分析小阻尼时自由振动分析 振动方程振动方程 )sin()( tAetyrt频率频率 21 r周期周期 rrT 2 (1)(1)小阻尼的自由振动是一个衰减振动；小阻尼的自由振动是一个衰减振动； ytyKyK+1Ae-ttKtK+1Tr(2)(2)在在 时，阻尼对自振频率的影响时，阻尼对自振频率的影响可忽略；可忽略； 2 . 0 rTTr 钢筋混凝土结构：钢筋混凝土结构： 05. 0 钢结构：钢结构： 02. 0 左右左右 (3)(3)阻尼比的确定阻尼比的确定 rr

46、kkTTttkkeAeAeyy )(1 22ln1 rrkkTyy振幅对数衰减率振幅对数衰减率1ln21 kkyy 还可表示为还可表示为 1ln21 kkyyn （1325）阻尼比阻尼比（1326）（1327）利用上式，通过实验可确定体系的阻尼比。利用上式，通过实验可确定体系的阻尼比。 例：例： 对图示刚架作自由振动实验。设刚架对图示刚架作自由振动实验。设刚架的质量的质量 m m 均集中在横梁处，横梁均集中在横梁处，横梁 。在刚架横梁处加一水平力在刚架横梁处加一水平力 ，测，测得侧移得侧移 。然后突然卸载，刚架。然后突然卸载，刚架产生自由振动，测得周期产生自由振动，测得周期 ，及一，及一个周期

47、后刚架的侧移为个周期后刚架的侧移为 。求刚架。求刚架的阻尼比的阻尼比 和阻尼系数和阻尼系数 。 EIKNFP8 . 9 cmy5 . 00 sTr5 . 1 cmy4 . 01 C解解阻尼比阻尼比 01110.5lnln0.0355220.4yy1224.189sTTr402196 10/111695pFkN mykmkg阻尼系数阻尼系数 msNmC332202二有阻尼的强迫振动二有阻尼的强迫振动 式（式（13131414）有阻尼强迫振动方程中，）有阻尼强迫振动方程中， 不同，结构的动力反应不同。不同，结构的动力反应不同。 ( )pF t1. 1. 简谐荷载简谐荷载 ( )sinpF tFt运

48、动方程及其解运动方程及其解 .( )( )( )sinm y tc y tk y tFt.2( )2( )( )sinFy ty ty ttm或或（13132828） _( )( )( )y ty tyt通解通解齐次解齐次解_12( )(cossin)trry tectct（1 1）（13132929） 22222222222222( )sincos()42()4ytAtBtFAmFBm 设设 特解特解运动方程的全解：运动方程的全解：12( )(cossin)sincostrry tectctAtBt式中式中 由初始条件确定。由于阻尼的由初始条件确定。由于阻尼的作用，含有作用，含有 的第一部分

49、的振动将逐渐的第一部分的振动将逐渐12,c cte（13133030）（13133131）（13133232）（13133333）(2)(2)稳态振动分析稳态振动分析稳态振动方程可写为稳态振动方程可写为( )sin()py tyt振幅振幅222222222222211(1)4(1)4pstFyym（13133535） 1222 ()tan1衰减消失；与动荷载频率衰减消失；与动荷载频率 相同的第二部分相同的第二部分振动不衰减，称为稳态振动（纯受迫振动）。振动不衰减，称为稳态振动（纯受迫振动）。 （13133434）相位角相位角当当 时，时，动力系数动力系数2222221(1)4pstyy（131

50、33636） 阻尼对振幅的影响：阻尼对振幅的影响： pstyy 随随 增大而减小；增大而减小； 当当 时，时， 10当当 时，共振，时，共振，(1)11|2，；与频率比与频率比 动力系数动力系数和阻尼和阻尼有关有关。阻尼在共振区阻尼在共振区内影响显著，内影响显著，不能忽略；在不能忽略；在共振区外，为共振区外，为简化，偏安全简化，偏安全考虑可不计阻考虑可不计阻尼的影响。尼的影响。 (0.751.25) 并不发生在并不发生在 处。处。max1max2121max12通常情况下，通常情况下，很小，很小， 阻尼体系的位移反应比荷载滞后一相位阻尼体系的位移反应比荷载滞后一相位 。 ，弹性力主要与动荷载平

51、衡，弹性力主要与动荷载平衡，0,0位移与荷载同向；位移与荷载同向；，阻尼力主要与动荷载平衡，阻尼力主要与动荷载平衡，1,90 共振时阻尼的作用不可忽视；共振时阻尼的作用不可忽视；，惯性力主要与动荷载平衡，惯性力主要与动荷载平衡，,180 位移与动荷载反位移与动荷载反向。向。（13133737）2. 2. 一般动荷载一般动荷载 ( )pF t运动方程运动方程 .( )( )( )( )pm y tc y tky tF t.2( )( )2( )( )pF ty ty ty tm或或（13133838） 当当 时，运动方程的通解时，运动方程的通解 1_( )( )( )y ty tyt齐次解齐次解

52、 _12( )(cossin)trry tectct特解特解 用用DuhamelDuhamel积分表示积分表示 ()0( )( )sin()tptrrFytetdm()120( )( )( cossin)sin()tpttrrrrFy tectctetdm（13133939） 通解为通解为式中式中 由初始条件由初始条件: :12,c c00(0),(0)yyvv000()0( )(cossin)( )sin()trrrtptrrvyy teyttFetdm总位移为总位移为作业：思考题作业：思考题 P288 13-14 P288 13-14 ，13-1513-15 习题习题 P297 13-14

53、 13-15 P297 13-14 13-15 （13134040） 确定确定13-6 13-6 多自由度体系的自由振动多自由度体系的自由振动 工程中，很多实际结构可简化为单工程中，很多实际结构可简化为单自由度体系进行计算，但要进行更加精自由度体系进行计算，但要进行更加精确地分析，以及对于绝大多数实际结构确地分析，以及对于绝大多数实际结构必须作为多自由度体系进行计算。必须作为多自由度体系进行计算。 多自由度体系自由振动分析的目的多自由度体系自由振动分析的目的是确定体系的动力特性是确定体系的动力特性自振频率和自振频率和振型。振型。 多自由度体系自由振动的求解方法：多自由度体系自由振动的求解方法：

54、刚度法，柔度法。刚度法，柔度法。 一一. . 刚度法刚度法1.1. 两个自由度体系两个自由度体系（1 1）自由振动微分方程）自由振动微分方程惯性力惯性力 ，11111222211222,rk yk yrk yk y （13-4113-41） 弹性力弹性力（2 2）频率方程和自振频率）频率方程和自振频率 设方程的特解：设方程的特解： 1122( )sin()( )sin()y tYty tYt即两质量作简谐振动即两质量作简谐振动代入方程（代入方程（13-4113-41），得位移幅值方程），得位移幅值方程 两质量的动平衡方程两质量的动平衡方程11ym 22ym 002221212221211111

55、ykykymykykym 21111122221 12222()0()0km Yk Yk Ykm Y （13-4213-42） 频率方程频率方程 211112221222()0()kmkDkkm解频率方程得解频率方程得 两个根：两个根： ，规定，规定212, 1212第一频率或基本频率，第一频率或基本频率， 第二频率第二频率 （13-4313-43） （3 3）主振型）主振型 将将 代入式（代入式（13-4213-42），得），得 1211122211111 YkYkm质点质点 的振动方程为的振动方程为 12,m m11112211( )sin()( )sin()y tYty tYt （13-

56、4413-44） 体系按体系按 振动有如下特点：振动有如下特点： 1两质量同频同步两质量同频同步任意时刻，两质量的位移比值，速度比任意时刻，两质量的位移比值，速度比值保持不变且相等值保持不变且相等 11111112211121( )sin()( )sin()y tYtYy tYtY 这说明体系的变形形式不变，此振动这说明体系的变形形式不变，此振动形式称为形式称为主振型主振型，简称，简称振型振型。 为与为与 相对应的振型，称为第一振型相对应的振型，称为第一振型1121YY1或基本振型。或基本振型。 2111111211111121)cos()cos()()(YYtYtYtyty定义：定义：体系上

57、所有质量按相同频率作自由体系上所有质量按相同频率作自由振动时的振动形状称体系的主振型。振动时的振动形状称体系的主振型。 按第一振型自由振动的条件按第一振型自由振动的条件 111111221212(0)(0),(0)(0)yYyYyYYy振型与频率一样是体系本身固有的属性，振型与频率一样是体系本身固有的属性，与外界因素无关。与外界因素无关。 同理，将同理，将 代入式（代入式（13-4213-42），得到），得到 1212122221121 YkYkm （13-4513-45） 即第二振型即第二振型 211121)0()0(YYyy图示两个振型图示两个振型 第一主振型第一主振型12第二主振型第二主

58、振型 2 2n n个自由度体系个自由度体系自由振动微分方程组：自由振动微分方程组： 其矩阵表达式：其矩阵表达式： （13-4713-47） （13-4613-46） 0yKyM 000nnn22n11nnnn2n22211222nn121211111ykykykymykykykymykykykym 22()00KMYKM频率方程频率方程 （13-4813-48） 解频率方程，得解频率方程，得 的的n n个根：个根：且，且， ，从小到大得排列，依，从小到大得排列，依次称为第一频率（或基本频率）、第二频次称为第一频率（或基本频率）、第二频率率 。222212,n12 n 将自振频率代入将自振频率代

59、入 得出得出 对应的主振型向量对应的主振型向量 。这这 n n 个主振型线性无关。个主振型线性无关。 2( )() 0iiKMYi( ) (1,2, )iYin惯性力惯性力 ， 作用下产生的静位作用下产生的静位移。移。二二. .柔度法柔度法1.1. 两个自由度体系两个自由度体系（1 1）自由振动微分方程）自由振动微分方程 质量质量 在任意时刻的位移在任意时刻的位移 为此时为此时12,m m12( ),( )y ty t11ym 11ym 11ym 11ym 11ym 22ym （13-4913-49） （2 2）频率方程和频率）频率方程和频率111112222211 1222221()01()

60、0mYm YmYmY （13-5013-50） 方程的特解同刚度法；设两质量作简谐振动，方程的特解同刚度法；设两质量作简谐振动，代入方程（代入方程（13-4913-49），整理得位移幅值方程），整理得位移幅值方程0 02 2222221112122211111(t)m(t)m(t)y(t)m(t)m(t)yyyyy111122221122221()01()mmDmm （13-5113-51） 频率方程频率方程 解频率方程同样得到解频率方程同样得到 的两个根：的两个根：12, （3 3）主振型）主振型与刚度法求振型相似，得到用柔度法与刚度法求振型相似，得到用柔度法表示的主振型为：表示的主振型为：

61、第一主振型：第一主振型： 1112221111211YmYm （13-5213-52） 2第二主振型：第二主振型： （13135353） 2. n2. n个自由度体系个自由度体系 体系振动时，任一质量体系振动时，任一质量 m mi i 任的位移任的位移 y yi i（i=1,2,i=1,2,n,n）为该时刻作用在体系各质）为该时刻作用在体系各质量上的惯性力量上的惯性力 （i=1,2,i=1,2,n,n）作用）作用下所产生的静位移：下所产生的静位移： )(tymii nnnnnnnnnnnnnymymymtyymymymtyymymymty 22211122222211121122211111)

62、()()( （13135454） 2211121222121mmYY其矩阵表达式其矩阵表达式 0yMy 频率方程频率方程 0IM 式中式中 解频率方程，得解频率方程，得的的n n个根，个根，1 1，2 2，n n，并可得到，并可得到n n个频率：个频率：1 1，2 2 ，n n将频率代入将频率代入 得出得出i i将对应的主振型向量：将对应的主振型向量： ，这，这n n个主振型线性无关。个主振型线性无关。), 2 , 1( ,)(niYi （13135656） （13135555） 21 0)()(iiYIM 三举例三举例 例例1 1 已知图示两层刚架，横梁已知图示两层刚架，横梁为无限刚性。该质

63、量集中在楼为无限刚性。该质量集中在楼层上，分别为层上，分别为m m1 1，m m2 2。层间侧。层间侧移刚度（层间产生单位相对侧移刚度（层间产生单位相对侧移时所需施加得力）分别为移时所需施加得力）分别为k k1 1，k k2 2。求刚架水平振动时自振频。求刚架水平振动时自振频率和主振型。率和主振型。 m1m2k1k2解：解：（1 1）求解构得刚度系数）求解构得刚度系数 2111kkk21221kkk222kkk1k2k21=-k21k111k22=k2k12=-k2（2 2）求自振频率）求自振频率由频率方程由频率方程 0222221121211mkkkmk当当 时，时，mmmkkk2121,有

64、有0)(2(222kmkmk 所以所以 mk618. 01 mk618. 12 （3 3）求主振型）求主振型 两个主振型图：两个主振型图： 第一主振型第一主振型第二主振型第二主振型 第一主振型第一主振型 618. 1112111122111mkkYY 618. 11)1(Y 第二主振型第二主振型 618. 012211122212mkkYY 618. 01)2(Y11.61810.618 例例2 2 求等截面简支梁的自振频率和主振型求等截面简支梁的自振频率和主振型 解：方法一解：方法一 （1 1）求柔度系数）求柔度系数 由由 图图21,MM图图 1M2Mmm12L/3L/3L/3图图 EIl2

65、43432211 EIl486732112 利用图乘法求得利用图乘法求得 1112L/9211212L/9（2 2）求自振频率）求自振频率 由频率方程由频率方程 0112222112211 mmmm31692. 5mlEI 32045.22mlEI 求得求得（3 3）求主振型）求主振型 两个主振型图：两个主振型图：第一主振型第一主振型第二主振型第二主振型111-11112111122111 mmYY11)1(Y1112211122212 mmYY11)2(Y第一主振型第一主振型第二主振型第二主振型 由本例得出结论：由本例得出结论： 当结构本身和质量分布都是对称的，当结构本身和质量分布都是对称的

66、，则其振型或为正对称振型，或为反对称则其振型或为正对称振型，或为反对称振型。振型。解：方法二解：方法二 利用振型的正、反对称特点，取半利用振型的正、反对称特点，取半结构计算体系的自振频率结构计算体系的自振频率 EIl16253 3692. 51mlEIm L/6L/3m1L/31M图图 （1 1）体系按对称振型振动）体系按对称振型振动 半结构为单自由度体系半结构为单自由度体系 (2) (2) 体系按反对称振型振动体系按反对称振型振动 半结构为单自由度体系半结构为单自由度体系 EIl4863 3045.221mlEIm 比较，得出比较，得出 31692. 5mlEI 32045.22mlEI L/3mL/61L/91M图图 作业作业 思考题：思考题：P288 13-17 13-19 P288 13-17 13-19 习题习题: P289 13: P289 1320 1320 1319 1319 132323 13137 7多自由度体系主振型的多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵正交性和主振型矩阵 具有具有n n个自由度的体系，必有个自由度的体系，必有n n个主个主振型。振型。 主振型的