A2第七章第6~12节

《A2第七章第6~12节》由会员分享，可在线阅读，更多相关《A2第七章第6~12节（77页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、 二阶及二阶以上的微分方程统称为二阶及二阶以上的微分方程统称为。二阶微分方程的一般形式：二阶微分方程的一般形式：(1) 可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程；(2) 二阶线性微分方程二阶线性微分方程；(3) 二阶欧拉二阶欧拉（Euler）方程方程。一、一、)()(xfyn )1()( nnyy因为因为所以所以1)1()(Cxdxfyn 同理可得同理可得 2)2( Cxdyn 1)(Cxdxf xd xdxf)( 依次通过依次通过n次积分次积分, , 可得含可得含n个任意常数的通解个任意常数的通解. ., )(xf 21CxC 型的微分方程型的微分方程 例：例：.2xexy xexy2221

2、21 xexy234161 xexy2481241 + C1 ;+ C1 x + C2 ;xCxC2212 + C3 .型型二二、),(yxfy . 变量代换，降阶变量代换，降阶)(xPy 令令代入方程代入方程：),(PxfP 为一阶微分方程为一阶微分方程，),(1CxP 解得通解：解得通解：解此一阶微分方程解此一阶微分方程，.),(21CxdCxy , )(xPy ),(1Cxy 最后得原方程通解：最后得原方程通解：的微分方程的微分方程 1.求解下列方程：求解下列方程：.yyx PPx xxdPPd )(xPy 令令P = C1 x , 即即,1xCy .21221CxCy 通解：通解：,

3、)(xPy 1lnlnlnCxP .23xxyyx 2.)(xPy 令令,23xxPPx )1(1)2(2)2(CdxexePdxxdxx xeln2 .2134122314CxxCxy ：通解通解, )(xPy y,213xxCx )1(1ln22Cdxexx ,122 xPxP例例：0 yy求求的过原点且在原点处的切的过原点且在原点处的切线与直线线与直线 y = 2 x + 1 平行的积分曲线平行的积分曲线。0 yy即求即求, 00 xy满足满足的特解。的特解。)(xPy 令令)1(2xey 为所求积分曲线为所求积分曲线。代入方程：代入方程：.0 PP可分离变量可分离变量，xeCP 1,y

4、 , 20 xy, 21 C,2xey ,22Ceyx , 00 xy, 22 C20 xy, )(xPy PPdxd . ),()1()( nnyxfy)()1(xPyn 令令原方程化为：原方程化为：),(PxfP 为一阶微分方程为一阶微分方程，例：例：.yyx , ),()(1CxxP )(xPy 令令PPx xdxPdP .3231CxCxCy 通解：通解：P = C x , 即即,xCy , )(xPy , )()(xPyn )1(ny逐次积分逐次积分 n 1 次次。,lnlnlnCxP 型型三三、),(yyfy .变量代换，降阶变量代换，降阶Py 令令代入方程：代入方程：),(Pyf

5、dydPP 为一阶微分方程，为一阶微分方程，),(1CyP 其通解：其通解： xdCyyd),(1 ),(1Cy ),(1Cyy .2Cx dxdPy dydPP dxdydydP 的微分方程的微分方程 例例：的通解。的通解。求求0122 yyyPy 令令代入方程：代入方程：, 0122 PydydPP.1121CxCy ,dydPPy 1ln)1ln(2lnCyP 21)1( yCP2)1( yyd11 y12 yydPPdxdC1 21CxC xdyd 习题习题 7 6 (A)2(2, 4), 3(6) 习题习题 7 6 (B)2, 3 未知函数及其各阶导数都是一次的方程，称未知函数及其各

6、阶导数都是一次的方程，称：的连续函数。的连续函数。都是都是其中其中xfPPn,1时，时，当当0)( xf称其为称其为线性微分方程线性微分方程；时，时，当当0)( xf称其为称其为线性微分方程。线性微分方程。为为。二阶二阶线性微分方程线性微分方程：二阶二阶线性微分方程线性微分方程：,0)()( yxQyxPy, )()()(xfyxQyxPy (1)(2)设设 y1, y2 是微分方程是微分方程 (1) 的两个解的两个解，2211yCyCy 也是方程也是方程(1)的解的解，其中其中 C1, C2 为任意常数为任意常数。2211yCyCy 是否就是方程是否就是方程(1)的通解的通解？则则如：如：设

7、设 y1 是方程是方程(1)的解的解，则由定理则由定理1，12112yCyCy 也是也是方程方程(1)的解的解。121)2(yCCy 1yC 但不是但不是方程方程(1)的通解的通解。)2(21CCC 则则 y2 = 2 y1也是其解，也是其解，上的上的是定义在区间是定义在区间设设Ixyxyn)(,),(1 n 个函数个函数，如果存在如果存在 n 个不全为零的常数个不全为零的常数,1nkk使得当使得当 x 在该区间内取值时在该区间内取值时，02211 nnykykyk有有成立，就称这成立，就称这n 个函数在区间个函数在区间 I 内内；否则，否则，称称。 在任何区间在任何区间a, b上都是线性无关

8、的上都是线性无关的。 例：例：1,cos,sin22xx这三个函数在整个数轴上是这三个函数在整个数轴上是线性相关的。线性相关的。,21（常数）（常数）若若Cyy ,21（常数）（常数）若若Cyy 线性相关；线性相关；与与则则21yy线性无关。线性无关。与与则则21yy1,2xx而而设设 y1与与 y2 是方程是方程 (1) 的两个线性无关的特解的两个线性无关的特解，2211yCyCy 则则(C1, C2 为任意常数为任意常数)就是二阶齐次线性微分方程就是二阶齐次线性微分方程 (1) 的通解的通解。例：对例：对,0 yyxxeyey 21,都是方程解都是方程解，xxxeee2 为通解。为通解。x

9、xeCeCy 21常数，常数， 特解，特解，*y设设是二阶非齐次线性微分方程是二阶非齐次线性微分方程(2)的一个的一个y是其所对应的齐次线性微分方程是其所对应的齐次线性微分方程的通解，则的通解，则*yyy 方程方程(2) 的的。(1) 非齐次非齐次(2)通解通解 = 对应齐次对应齐次(1)通解通解(2)特解特解是非齐次线性微分是非齐次线性微分),()()()()(21xfxfxfyxQyxPy 设设的特解，的特解，是是若若)()()(1*1xfyxQyxPyy 的特解，的特解，是是)()()(2*2xfyxQyxPyy 的特解。的特解。是是则则)()()()(21*2*1xfxfyxQyxPy

10、yy 例：例：xexyy23 易证易证的特解，的特解，xyy 的特解，的特解，xeyy23 21yyy则则是是xy *1是是xey22* x 。的特解的特解原方程原方程是是xe2 任意常数任意常数, 则该方程的通解是则该方程的通解是 ( ).321,yyy设线性无关函数设线性无关函数都是二阶非齐次线都是二阶非齐次线性方程性方程)()()(xfyxQyxPy 的特解的特解, 21,CC是是;)(32211yyCyCA ;)()(3212211yCCyCyCB ;)1()(3212211yCCyCyCC .)1()(3212211yCCyCyCD D例例.3231,yyyy 都是对应齐次方程的解都

11、是对应齐次方程的解,二者线性无关二者线性无关 . (反证法可证反证法可证)3322311)()()(yyyCyyCC (89 考研考研 )3322311)()()(yyyCyyCD 解都不是解都不是!例例. 已知微分方程已知微分方程)()()(xfyxqyxpy 个解个解,2321xxeyeyxy 求此方程满足初始条求此方程满足初始条3)0(,1)0( yy的特解的特解 .解解:1312yyyy 与与是对应齐次方程的解是对应齐次方程的解, 且且 xexeyyyyxx21312常数常数因而线性无关因而线性无关, 故原方程通解为故原方程通解为 )()(221xeCxeCyxxx代入初始条件代入初始

12、条件, 3)0(,1)0( yy,2,121 CC得得.22xxeey 故所求特解为故所求特解为有三有三 件件 习题习题 7 7 (B) 2, 5二阶线性微分方程：二阶线性微分方程：)()()(xfyxQyxPy 则则均为常数均为常数若若),()(,)(qxQpxP ：0 yqypy)(xfyqypy ：(1)(2)称为称为二阶常系数线性微分方程。二阶常系数线性微分方程。 求二阶常系数齐次线性微分方程求二阶常系数齐次线性微分方程0 yqypy(1)由由(1)的特点的特点，应属同一类函数，应属同一类函数，与与 yyy ,用指数函数用指数函数xrey （其中其中 p, q 为常数为常数）的通解的通

13、解。 进行尝试进行尝试， 是方程是方程 (1) 的解的解。xrey 设设,xrery 代入方程代入方程：。,2xrery 则则得得： (*) 中中 的系数就是的系数就是 (1) 的系数。的系数。中中yyy, 一元二次方程一元二次方程 (*) 的根的根.2422, 1qppr 0 yqypy微分方程微分方程(1)212, 04rrqp 是两个不相等的实根；是两个不相等的实根；2, 04212prrqp 212, 04rrqp 是两个相等的实根；是两个相等的实根；是一对共轭复根是一对共轭复根，.24222, 1 ipqipr xrey 设设是齐次线性微分方程是齐次线性微分方程(1)的解的解，,21

14、21xrxreyey xrrxrxreeeyy)(212121 且且 常数常数，即即 y1, y2 线性无关。由定理二线性无关。由定理二，(1) 的通解的通解：(a) 当当(b) 当当,2121yeeyxrxr y1, y2 线性相关线性相关，另找另找 y2 ，使与使与 y1 线性无关线性无关。),(12xuyy 设设(1) 的通解的通解：xrxrexCeC1121 )(21rrr ),()(112xuexuyyxr 把把 y2 代入方程代入方程, 得得, 0)( xu,)(xxu 所以可取所以可取,)(112xrexxuyy 则则(c) 当当,)(1xiey ,)(2xiey xixeey

15、1由欧拉公式：由欧拉公式： sincosiei 再由解的叠加原理，再由解的叠加原理，,cos)(2121xeyyx ,sin)(2121xeyyix 也是也是(1)的解的解， 1y 2y常数，常数，且且 21yy (1) 的通解的通解：,2211yCyCy )sin(cosxixex xixeey 2)sin(cosxixex 0 yqypy求求通解的步骤通解的步骤：写出对应的特征方程写出对应的特征方程：(1)(2)(3)求出特征根求出特征根：根据下表写出方程根据下表写出方程 (1) 的通解的通解：(1)21rr xrxreCeCy2121 rrr 21xrexCCy)(21 ) 0(2 ,

16、1 ir)sincos(21xCxCeyx (实数实数)例例1：求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解：05. 1 yyxxeCeCy5251 特征方程特征方程：052 r,52, 1 r096. 2 yyy特征方程特征方程：, 0962 rr, 3 rxexCCy321)( 为通解为通解。为通解为通解。3.052 yyy为通解为通解。为通解为通解。特征方程特征方程：特征方程特征方程：4.,0522 rr,21ir )2, 1( )2sin2cos(21xCxCeyx .0 yy,012 r, ir )1, 0( xCxCysincos21 6)()0(0 x例例2：的特解。的特解。求求6)

17、0(, 2)0(,034 yyyyy特征方程特征方程：xeCy 1xeC32 为通解为通解。,2)0( y212CC xxeCeCy3213 221 CC6321 CC xey 6xe34 为所求特解为所求特解。0342 rr0)3)(1( rr3, 121 rr, 4, 621 CC推广到推广到 n 阶常系数线性微分方程：阶常系数线性微分方程：n 阶常系数线性微分方程的一般形式阶常系数线性微分方程的一般形式：解此一元解此一元 n 次代数方程得次代数方程得 n 个根个根，根据每个根的情况得到对应微分方程通解中一项根据每个根的情况得到对应微分方程通解中一项 yi ( i = 1, 2, n )

18、,.2211nnyCyCyCy 通解通解写出特征方程：写出特征方程： 为为一一对对单单复复根根 ir 2, 1重复根重复根为为，kir 21xreC1)sincos(21xCxCex xrkkexCxCxCC)(12321 xxCxCCekkx cos)(121 sin)(121xxCxCCkk .2211nnyCyCyCy 为为单单实实根根r重重实实根根为为kr解解通通一项一项两项两项项项k项项k2例例1：. 0512104)4( yyyyy0512104234 rrrr特征方程特征方程：, 0)52()1(22 rrr,21,14,32,1irr xexCCy)(21 )2sin2cos(

19、43xCxCex ).2sin2cos(4321xCxCxCCex 例例2：. 03612)4( yyy, 0361224 rr特征方程：特征方程：, 0)6(22 r有二重单复根：有二重单复根：,62, 1ir )(21xCCy )6,0( .6sin)(43xxCC x6cos 习题习题 7 8 (A)1(2, 5, 7, 8), 2(5)习题习题 7 8 (B)1(1, 4), 3, 5一般形式一般形式：（ p, q 为常数为常数 ）对应齐次微分方程对应齐次微分方程：,0 yqypy其特征方程其特征方程：.02 qrpr(1)(*)由非齐次由非齐次(2)的通解结构知的通解结构知：.*yy

20、y *y有关。有关。与与)(*xfy 如如 y*与与 f (x) 属同一形式函数，就能属同一形式函数，就能使方程成立。使方程成立。 f (x)是是 m 次多项式与指数函数的乘积次多项式与指数函数的乘积， 其中其中 Q(x) 是待定的是待定的 x 的多项式的多项式。xxexQexQy )()(* , )()(xQxQex , )()(2)(*2xQxQxQeyx 22QQQex )()(xfxPemx )(xQ ()即为即为 Q(x) 所需满足的条件。所需满足的条件。分三种情况讨论分三种情况讨论： 特征方程特征方程02 qrpr的的根根。，即即02 qp 要使要使 (成立成立，必须必须 Q(x)

21、 与与 Pm(x) 同次同次，,)()(1110mmmmmbxbxbxbxQxQ yqypy QqeQQpexx )()2(xQp )()(2xQqp 代入方程：代入方程：将将xexQy )(* )(xPm () 特征方程特征方程02 qrpr的的。, 0202 pqp 但但，即即)()()2()(xPxQpxQm ()要使要使()成立，必须成立，必须同次，同次，与与)()(xPxQm 次多项式，次多项式，为为即即1)( mxQ),()()(0mmmbxbxxQxxQ 令令() ()特征方程特征方程02 qrpr的的。, 0202 pqp 且且，即即)()(xPxQm 要使要使()成立，必须成

22、立，必须同次，同次，与与)()(xPxQm 次多项式，次多项式，为为即即2)( mxQ),()()(022mmmbxbxxQxxQ 令令型型，对对)()(xPexfmx 为求其特解为求其特解，.)(*xmkexQxy 可可令令 当当 不是特征方程的根时，取不是特征方程的根时，取 当当 是特征方程的单根时，取是特征方程的单根时，取 当当 是特征方程的二重根时，取是特征方程的二重根时，取k = 0;k = 1;k = 2.例例1：求下列各方程的通解：求下列各方程的通解：(1). 2364 xyyy 求出对应齐次微分方程的通解求出对应齐次微分方程的通解 求原方程的特解求原方程的特解:y:*y0642

23、 rr由由,22ir xey2 . )2sin2cos(21xCxC 23)( xxf, 1 m0 不是特征方程的根不是特征方程的根，xexQxy010)(* 令令.10bxb 0 . )2sin2cos(212xCxCeyx ,*10bxby 令令. 2364 xyyy，则则0*by ，0* y代入原方程代入原方程: :23646100 xbbxb 比较系数比较系数: :360 b26410 bb ,32,2110 bb.3221* xy.3221)2sin2cos(212 xxCxCeyx(2).cosh2xyyy 2coshxxeex 222xxeeyyy ),()(21xfxf 步骤：

24、步骤： 求求;02yyyy的通解的通解 求求;22*1yeyyyx的特解的特解 求求;22*2yeyyyx的特解的特解 得原方程通解得原方程通解:.*2*1yyyy 222xxeeyyy ),()(21xfxf 特征方程特征方程：022 rr.221xxeCeCy 对对,21xef 特征方程的根，特征方程的根，m = 0,*1xeay 令令.41*1xey 对对,22xef 特征方程的单根，特征方程的单根，m = 0,*2xexby 令令.61*2xexy xxeCeCy221 1 1 , 2, 121 rr.6141xxexe 例例2. 设设)(x 具有二阶连续导数具有二阶连续导数, 且且,

25、 1)0( 求函数求函数, 使下列方程为全微分方程。使下列方程为全微分方程。0)(2)()( dyxxdxxeyx xQyP )(2)()(xxxex xexxx )()(2)( (1) yxxx的通解的通解求求0)()(2)( 特征方程特征方程0122 rr121 rrxexccy)(21 )(x , 0)0( (2) *)()(2)(yexxxx的特解的特解求求 xaexy 2*令令xeax2 ,)2(*2xeaxaxy xeaxaxay)42(*2 代入原方程，得：代入原方程，得：21 axexy221* *)(yyx xexcc)(21xex221, 1)0(, 0)0( 可求得可求得

26、：1, 021 ccxxexxex221)( 例例3：的在原点处的在原点处求求xexyyy 2相切的积分曲线。相切的积分曲线。与直线与直线xy 即求即求xexyyy 2 特征方程特征方程：0122 rr,12 , 1 rxexCCy)(21 对对 f (x) = xe x ,m = 1,1 特征方程的二重根特征方程的二重根，,)(10*xebxby 令令)()(102bxbxxQ 其中其中, 0)0( y10 xy1 2x)()(102bxbxxQ 其中其中(),23)(120 xbxbxQ 1026)(bxbxQ , 0,6110 bb通解：通解：.61*3xexy xexyyy 2, 0)

27、0( y10 xy ,)(10*xebxby 令令2x.)61(3xexxy 所求曲线：所求曲线：通解：通解：xexCy)21(22 xexxCC)61(321 , 0)0( y01 C, 1)0( y12 Cxexyyy 2, 0)0( y10 xy ，求此微分方程。，求此微分方程。线性微分方程的三个解线性微分方程的三个解是某二阶常系数非齐次是某二阶常系数非齐次已知已知xxxxxxxeexeyexeyexey 23221,解解设所求微分方程为设所求微分方程为)(xfqyypy 由题意知，由题意知，xeyyy 311是对应的齐次方是对应的齐次方程的解，程的解，xxeeyyy 2212也是对应的

28、齐也是对应的齐次方程的解，次方程的解，的两个特解，的两个特解，是是即即0,21 qyypyyy例例4：,)(1xey ,)(1xey 代入齐次方程得：代入齐次方程得：)1(01 qp,2)(22xxeey ,4)(22xxeey 代入齐次方程得：代入齐次方程得：)2(024 qp由由 (1)、(2) 解得：解得：, 2, 1 qp则所求的微分方程为则所求的微分方程为)(2xfyyy 代入此方程得代入此方程得再把再把1y,)21()(xexxf 所以所求的微分方程为所以所求的微分方程为xexyyy)21(2 xey 1xxeey 22xxexey21 例例5.的通解。的通解。求求xeyyy 43

29、)4(04324 rr由由,12, 1 rxxeCeCy 21,xef 是特征方程的单根是特征方程的单根，,*xeby 令令代入方程代入方程，,101 b,101*xexy .1012sin2cos4321xxxexxCxCeCeCy , 0)4)(1(22 rr,24 , 3ir ;2sin2cos43xCxC 1,0 且且则则 m为通解。为通解。 习题习题 7 9 (A)1(3, 6), 3(1, 3)习题习题 7 9 (B)1(4), 5 由欧拉公式及类似前述分析，由欧拉公式及类似前述分析，)2()(xfyqypy 的特解为的特解为：sin)(cos)(*)2()1(xxRxxRexym

30、mxk , ),(maxnlm i 当当不是特征方程的根时不是特征方程的根时，取取 k = 0;当当 i 是特征方程的根时是特征方程的根时，取取 k = 1.02 qrpr特征方程特征方程可设可设例例1：.sin24xeyyx .2sin2cos21xCxCy , )sincos(*xbxaeyx 令令, sin)(cos)(*xabxbaeyx , )sin2cos2(*xaxbeyx 求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解：(1)042 r由由,2ir ,sin2)(xexfx ,0 m,1 ,1 i i 1特征方程的根特征方程的根，.0 k代入方程得代入方程得xbxaxaxbsin4c

31、os4sin2cos2 xsin2 ),sin52cos51(*xxeyx xCxCy2sin2cos21 xbxaxaxbsin4cos4sin2cos2 xsin2 比较系数比较系数：024 ba242 ba ,52,51 ba, )sincos(*xbxaeyx 令令代入方程得代入方程得.sin24xeyyx .2sin2cos21xCxCy 为通解。为通解。).sin2(cos51xxex (2).cos42xyy xyy2cos21214 .2sin2cos21xCxCy 对对,211 f0, 0 且且m,*1ay 令令214 a 对对,2cos212xf , 0 mii2 特征方程

32、的一对单复根，特征方程的一对单复根，),2sin2cos(*2xBxAxy 令令取取 k = 0,取取 k = 1,特征方程的根特征方程的根，;81*1 y，且且2, 0 ,2ir , )()(21xfxf ),2sin2cos(*2xBxAxy 令令,2sin)2(2cos)2(*2xAxBxBAy ,2sin)44(2cos)44(*2xBxAxAxBy ,2cos21x .812sin812sin2cos21 xxxCxC*21yyyy .2sin2cos21xCxCy ;81*1 y, )()(2cos2121cos4212xfxfxxyy 代入方程代入方程xAxB2sin42cos4

33、 ,2sin81*2xxy 214 B04 A ,81,0 BA例例2.,)(二阶导数连续二阶导数连续设设xf且满足方程且满足方程 xtdtftxxxf0)()(sin)(. )(xf求求解解: ,)()(sin)(00 xxtdtfttdtfxxxf则则xxfcos)( )(sin)(xfxxf xtdtf0)()(xfx )(xfx 问题化为解初值问题问题化为解初值问题:xxfxfsin)()( ,0)0( f1)0( f最后求得最后求得xxxxfcos2sin21)( 请同学们完请同学们完成求解过程成求解过程. 习题习题 7 9 (A)2(3, 5), 3(5)习题习题 7 9 (B)1

34、(2, 3)(L.Euler 17071783) 瑞士数学家瑞士数学家 对有些特殊的对有些特殊的，可以通，可以通欧拉方程就是其中一种欧拉方程就是其中一种。形如形如：),(21常数常数为为nppp的方程称为的方程称为。过变量代换化成过变量代换化成，从而求得，从而求得其解。其解。 当当 x 0 时作变换时作变换，xdydy )1(22tdydxxdddxydy 同理，同理，xdtdtdyd ,1tdydx tdydx21 )(1222tdydtdydx xdtdtdydx 221 ( x 0 时类似讨论时类似讨论 ),引进算子：引进算子：,tdydyD 则则tdydyx tdydtdydyx 22

35、2yDyD 2tdydtdydtdydyx2322333 ;)2( )1(yDDD 一般：一般：ykDDDDyxkk)1()2( )1()( ), 2, 1(nk yDyDyD2323 ,222tdydyD ,)1(yDD ,yD 得到以得到以 为自变量的为自变量的线性微分方程线性微分方程，求出方程通解求出方程通解，xtln 回代，即得回代，即得原欧拉方程的通解。原欧拉方程的通解。最后用最后用ynDDDD)1()2( )1( 方程变形为方程变形为ynDDDDp)2()2( )1(1 yDDpn)1(2 yDpn 1 )(tef ypn ykDDDDyxkk)1()2( )1()( 例例1：xx

36、yxyy22 求求的通解的通解.xyyxyx22 为欧拉方程为欧拉方程，,tex 令令且且：yDD)1( ,2)12(2teyDD 特征方程特征方程：,0122 rr,12, 1 ryD y ,2te ;)(21tetCCy ykDDDDyxkk)1()2( )1()( ,ln xt 则则,2tef 1, 0 且且m,2 k取取,)(2tatQ , )()(tPtQm 代入代入,*2tety ttetetCCy221)( ,2)12(2teyDD ,12, 1 r;)(21tetCCy 特征方程的特征方程的，,*2tetay 令令22 a,1 a例例1：xxyxyy22 求求的通解的通解.回代

37、回代：221)(ln)ln(xxxxCCy . )lnln(221xxCCx ttetetCCy221)( ：通解通解,ln xt 例例1：xxyxyy22 求求的通解的通解.例例2：, 1)1(, 2)1()( 二次可微，且二次可微，且设设x0)()(22 dyxxdxxy . )(x 求求:xyQP 由由)(2x )()(22xxxx ,0)(2)(2)(2 xxxxx 为欧拉方程。为欧拉方程。,ln,xtext 令令,022)1( DDD, 0)2(2 DD022 rr由特征方程：由特征方程：tteCeC221 xC1 .122xC , 2, 121 rr是全微分方程，是全微分方程，ykDDDDyxkk)1()2( )1()( .3135)(2xxx 所求所求2211)(xCxCx 为通解。为通解。,2)1( 212CC 3212)(xCCx ,1)1( 2121CC 31,3521 CC例例2：, 1)1(, 2)1()( 二次可微，且二次可微，且设设x0)()(22 dyxxdxxy . )(x 求求是全微分方程，是全微分方程， 习题习题 7 10(A)1(6)习题习题 7 10(B)1(1, 4), 2