1.3.2函数的奇偶性

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1、1.3.2 1.3.2 奇偶性奇偶性xy0观察下图，思考并讨论以下问题：观察下图，思考并讨论以下问题：(1) 这两个函数图象有什么共同特征吗？(2) 相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？f(-3)=9=f(3) f(-2)=4=f(2) f(-1)=1=f(1)f(-3)=3=f(3) f(-2)=2=f(2) f(-1)=1=f(1)f(x)=x2f(x)=|x| 实际上，对于实际上，对于R内任意的一个内任意的一个x,都有都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x),这时我们称函数这时我们称函数y=x2为为偶函数偶函数.1偶函数偶函数 一般地，对于函数一般地，对于函数f(x)的定义域内

2、的任意一个的定义域内的任意一个x，都有都有f(x)=f(x)，那么，那么f(x)就叫做就叫做偶函数偶函数 例如，函数 都是偶函数，它们的图象分别如下图(1)、(2)所示.12)(, 1)(22xxfxxf 观察函数观察函数f(x)=x和和f(x)=1/x的图象的图象(下图下图)，你能发，你能发现现两个函数图象有什么共同特征吗？两个函数图象有什么共同特征吗？f(-3)=-3=-f(3) f(-2)=-2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1) 实际上，对于实际上，对于R内任意的一个内任意的一个x,都有都有f(-x)=-x=-f(x),这时这时我们称函数我们称函数y=x为为奇函数奇函数.f(-3

3、)=-1/3=-f(3) f(-2)=-1/2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1)2奇函数奇函数 一般地，对于函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个的定义域内的任意一个x，都有都有f(x)= f(x)，那么，那么f(x)就叫做就叫做奇奇函数函数 3.奇偶性奇偶性 如果一个函数如果一个函数f(x)f(x)是奇函数或偶函数，那么我是奇函数或偶函数，那么我们就说函数们就说函数f(x)f(x)具有奇偶性具有奇偶性. .注意：注意：（1 1）函数的奇偶性是函数的）函数的奇偶性是函数的整体性质整体性质；（2）由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶）由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个

4、必要条件是，对于定义域内的任意一性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个个x，则，则x也一定是定义域内的一个自变量也一定是定义域内的一个自变量（即（即定义域关于原点对称定义域关于原点对称）（3）如果一个函数的图象是以如果一个函数的图象是以y轴为对称轴轴为对称轴的轴对称图形，则它是偶函数。的轴对称图形，则它是偶函数。（4）如果一个函数的图象是以坐标原点为）如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则它是奇函数。对称中心的中心对称图形，则它是奇函数。【典例分析】【典例分析】 【例【例1】 判断下列函数的奇偶性：判断下列函数的奇偶性：(1) f (x)xx3x5； (2) (2) f

5、 (x)x21； (3) (3) f (x)x1；(4) f (x)x2，x1, 3； (5) f (x)5 ； (6) f (x)0.（注意：既是奇函数又是偶函数的函数是（注意：既是奇函数又是偶函数的函数是f (x)0常函数常函数. 前前提是定义域关于原点对称）提是定义域关于原点对称）.【归纳】【归纳】1.用定义判断函数奇偶性的步骤：用定义判断函数奇偶性的步骤： (1)先求定义域，看是否关于原点对称；先求定义域，看是否关于原点对称； (2)再判断再判断f(-x)=-f(x)或或f(-x)=f(x)是否恒成立是否恒成立.2.对于一个函数来说，它的奇偶性有四种可对于一个函数来说，它的奇偶性有四种

6、可能：奇函数，偶函数，既奇又偶函数，非能：奇函数，偶函数，既奇又偶函数，非奇非偶函数奇非偶函数【活学活用【活学活用1】判断下列函数的奇偶性：判断下列函数的奇偶性：1(1) ( )f xxx (2)122)(2xxxxf3(3) ( )f xx (4) ( )f xx (5) f(x)=x3+2x； (6)2211)(xxxf ？思考：讨论并判断我讨论并判断我们已经学习过们已经学习过的基本初等函的基本初等函数的奇偶性数的奇偶性 （1） 如图如图，给出了奇函数，给出了奇函数yf (x)的局部图的局部图象，求象，求f (4).（2）如图）如图，给出了偶函数，给出了偶函数yf (x)的局部图象，的局部

7、图象，试比较试比较f (1)与与 f (3) 的大小的大小.【例【例2】 （1） （2）【活学活用【活学活用2】 (1)如图如图所示，给出奇函数所示，给出奇函数yf(x)的局部图象，试的局部图象，试作出作出y轴右侧的图象并求出轴右侧的图象并求出f(3)的值；的值；(2)如图如图所示，给出偶函数所示，给出偶函数yf(x)的局部图象，比的局部图象，比较较f(1)与与f(3)的大小的大小并试作出并试作出y轴右侧的图象轴右侧的图象【思考】奇【思考】奇函数函数f(x)的对的对称区间上的称区间上的单调性有什单调性有什么关系么关系？偶？偶函数呢？函数呢？已知函数已知函数f(x)(xR)是奇函数，且当是奇函数

8、，且当x0时，时，f(x)2x1，求函数，求函数f(x)的解析式的解析式 【例【例3】 【活学活用【活学活用3】 已知函数已知函数f(x)是定义在是定义在R上的偶函数，上的偶函数，x0时，时，f(x)x22x，求函数，求函数f(x)在在R上的解析式上的解析式【课堂练习】【课堂练习】1已知已知yf(x)是偶函数，且是偶函数，且f(4)5，那么，那么f(4)f(4)的值为的值为 。2若函数若函数f(x)(xa)(x4)为偶函数，则实为偶函数，则实数数a_. 3.设奇函数设奇函数f(x)的定义域为的定义域为5,5，当，当x0,5时，函数时，函数yf(x)的图象如图所示，则使函的图象如图所示，则使函数值数值y0的的x的取值集合为的取值集合为_4.若函数若函数f(x)（m1）x2+2m x+3是偶函数，则是偶函数，则m= 。 本课小结本课小结1、两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x, 如果都有f(x)=-f(x) f(x)为奇函数为奇函数 如果都有f(x)=f(x) f(x)为偶函数为偶函数2、两个性质： 一个函数为奇函数 它的图象关于原点对称 一个函数为偶函数 它的图象关于y轴对称3.判断函数的奇偶性：先看定义域，后验关判断函数的奇偶性：先看定义域，后验关 系式。系式。【课堂作业】【课堂作业】 课本第课本第36页第页第1题及大册子第题及大册子第24页页