1.3.2函数的奇偶性

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1、1.3.21.3.2函数的奇偶性函数的奇偶性1.创设情景，创设情景，观察图片观察图片:一一 新课引入新课引入(1)已知函数已知函数f(x)=x2,求求f(-2),f(2), f(-1),f(1),及及f(-x) ,并画出它的图象。并画出它的图象。解解:f(-2)=(-2)2=4 f(2)=4f(-1)=(-1)2=1 f(1)=1f(-x)=(-x)2=x2(2)已知已知f(x)=x3,求出求出f(-2),f(2),f(-1),f(1)及及f(-x),并画出它的图象并画出它的图象解解:f(-2)=(-2)3=-8 f (2)=8f(-1)=(-1)3=-1 f(1)=1 f(-x)=(-x)3

2、= -x3思考思考 : 你发现了什么规律你发现了什么规律?f(-2)=f(2)f(-1)=f(1)f(-x)=f(x)f(-2)= - f(2)f(-1)= - f(1)f(-x)= - f(x)-xxf(-x)f(x)-xf(-x)xf(x)xyoxyo( x,y)(-x,y)(-x,-y)(x,y)2 创设情景，观察函数图象创设情景，观察函数图象:xoy-aa(a,f(a)(-a,f(-a) 偶函数的图象关于偶函数的图象关于y轴对称，反过来，如果一个轴对称，反过来，如果一个函数的图象关于函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数轴对称，那么这个函数是偶函数.偶函数定义偶函数定义: : 如

3、果对于如果对于f(x)定义域内的定义域内的任意一个任意一个x,都有都有 f(-x)=f(x),那么函数那么函数f(x)就叫偶函数就叫偶函数.二二 新课新课xoy(a,f(a)(-a,f(-a)-aa 奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数.奇函数定义奇函数定义: : 如果对于如果对于f(x)定义域内的定义域内的任意一个任意一个x,都有都有 f(-x)=-f(x) ,那么函数那么函数f(x)就叫奇函数就叫奇函数.对奇函数、偶函数定义的说明对奇函数、偶函数定义的说明

4、:(1). 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。 a ,b-b,-axo（2）.奇、偶函数定义的逆命题也成立，即：奇、偶函数定义的逆命题也成立，即： 若若f(x)为奇函数为奇函数, 则则f(-x)=f(x)成立。成立。 若若f(x)为偶函数为偶函数, 则则f(-x)= f(x) 成立。成立。（3） 如果一个函数如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数是奇函数或偶函数,那么我们那么我们就说函数就说函数f(x) 具有奇偶性。具有奇偶性。练习练习 说出下列函数的奇偶性说出下列函数的奇偶性: :偶函数偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数f(x)

5、=x4 _ f(x)= x -1 _ f(x)=x _奇函数奇函数f(x)=x -2 _偶函数偶函数 f(x)=x5 _f(x)=x -3 _ 说明：对于形如说明：对于形如 f(x)=x n 的函数，的函数， 若若n为偶数，则它为偶函数。为偶数，则它为偶函数。 若若n为奇数，则它为奇函数。为奇数，则它为奇函数。例例1. 1. 判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性(1) f(x)=x3+2x (2) f(x)=2x4+3x2解解:f(-x)=(-x)3+2(-x)= -x3-2x= -(x3+2x)即即 f(-x)= - f(x)f(x)为奇函数为奇函数 f(-x)=2(-x)4+3(-x)

6、2=2x4+3x2f(x)为偶函数为偶函数定义域为定义域为R解解:定义域为定义域为R即即 f(-x)= f(x)练习练习2. 2. 判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性(2) (2) f(x)=5 f(x)=5 (1) f(x)=x- (1) f(x)=x- 1 1x x(3) f(x)=0(3) f(x)=0说明说明: 函数函数f(x)=0 (定义域关于原点对称），为既奇又偶函数。定义域关于原点对称），为既奇又偶函数。(5). f(x)=x(5). f(x)=x2 2 x x- 1 , 3- 1 , 3(7) f(x)= (8). f(x)= (7) f(x)= (8). f(x)= (

7、4). f(x)=x+1 (4). f(x)=x+1 1(6) ( )(1);1xf xxx(9)3232,0(10)( ),0 xxxf xxxx3xx( )11f xxx f(-x)=1-(-x)2-x1-x2 x- =即即f(-x)= - f(x) f(x) 为奇函数为奇函数.例例2.判断函数判断函数f(x)= 的奇偶性。的奇偶性。|x+2|-21-x2解：解：1-x20 |x+2|2 -1x1 x0且且x-4-1x 1且且x 0定义域为定义域为-1,0) (0,11-x2f(x)=(x+2)-21-x2 x= 先求定义域，看定义域是否关于原点对称先求定义域，看定义域是否关于原点对称;

8、再判断再判断f(x)= -f(x)或或f(-x)=f(x) 是否恒成立。是否恒成立。 说明：用定义判断函数奇偶性的步骤说明：用定义判断函数奇偶性的步骤:4 4奇函数的图象奇函数的图象( (如如y=xy=x3 3 ) )偶函数的图象偶函数的图象( (如如y=xy=x2 2) )yxoaaP/(-a ,f(-a)p(a ,f(a)-ayxoaP/(-a ,f(-a)p(a ,f(a)-a(-a,-f(a)(-a,f(a)5 5 奇偶函数图象的性质奇偶函数图象的性质: : 奇函数的图象关于原点对称奇函数的图象关于原点对称.反过来反过来,如果一个函数如果一个函数的图象关于原点对称的图象关于原点对称,那

9、么这个函数为奇函数那么这个函数为奇函数. 偶函数的图象关于偶函数的图象关于y轴对称轴对称.反过来反过来,如果一个函数的如果一个函数的图象关于图象关于y轴对称轴对称,那么这个函数为偶函数那么这个函数为偶函数.注：奇、偶函数图象的性质可用于：注：奇、偶函数图象的性质可用于： 1) 简化函数图象的画法简化函数图象的画法; 2) 判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性; 3)由图象的对称特点应用奇、偶函数的性质由图象的对称特点应用奇、偶函数的性质.(3)奇函数的图象在其定义域内对称的区间上具有相奇函数的图象在其定义域内对称的区间上具有相同的单调性；偶函数的图象在其定义域内对称的区同的单调性；偶函数的图象在其

10、定义域内对称的区间上具有相反的单调性间上具有相反的单调性.oyx例例3 已知函数已知函数y=f(x)是偶函数，它在是偶函数，它在y轴右边的轴右边的图象如图，画出图象如图，画出y=f(x)在在 y轴左边的图象。轴左边的图象。练习练习 已知函数，已知函数，且且f(-2)=10，则，则f(2)等于等于( ) A -26 B -18 C -10 D 108xxf(x)35bxa注意：奇函数若在注意：奇函数若在x=0处有定义，则一定有处有定义，则一定有f(0)=0.例例4已知定义在已知定义在R上的函数上的函数f(x)对一切对一切x,y满足满足f(x+y)=f(x)+f(y)（1）求证：）求证：f(x)是

11、奇函数；是奇函数；（2）若）若f(-3)=a，试用，试用a表示表示f(12)例例5 (1)已知已知f(x)是奇函数是奇函数, 且当且当x0时时, f(x)=x(x-2)，求当求当x0时，时，f(x)的表达式。的表达式。 (2) 已知已知f(x)是定义在是定义在-1，1上的偶函数上的偶函数,且且在在0，1上为增函数，若上为增函数，若f(1+m)f(2m),求求m的取值范围的取值范围.三课堂小结三课堂小结1.两个定义: 对于f(x)定义域内的任意一个x , 如果都有f(-x)=-f(x) f(x)为奇函数。 如果都有f(-x)= f(x) f(x)为偶函数。2.两个性质:一个函数为奇函数 它的图象关于原点对称。一个函数为偶函数 它的图象关于y 轴对称。 先求定义域，看是否关于原点对称先求定义域，看是否关于原点对称; 再判断再判断f(x)= -f(x)或或f(-x)=f(x) 是否恒成立。是否恒成立。3 判断函数奇偶性的步骤判断函数奇偶性的步骤: