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1、反比例函数【学习目标】1 .理解反比例函数的概念和意义，能根据问题的反比例关系确定函数解析式.2 .能根据解析式画出反比例函数的图象，初步掌握反比例函数的图象和性质.3 .会用待定系数法确定反比例函数解析式，进一步理解反比例函数的图象和性质.4 .会解决一次函数和反比例函数有关的问题.【要点梳理】要点一、反比例函数的定义 k一般地，形如y ( k为常数，k 0)的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于 0的一切实数.kkk要点诠释：(1)在y 中，自变量x是分式的分母，当x 0时，分式一无意义，所以自变量x的取值范围是兀力。，函数y的取值范围是y 0.故函 数
2、图象与x轴、y轴无交点. k(2) y (口)可以写成y=丘口)的形式，自变量 x的指数是1 ,在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数0这一条件.k(3) y (也可以写成 二k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数k ,从而得到反比例函数的解析式 .要点二、确定反比例函数的关系式k确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数y 中，只有一个待x定系数k,因此只需要知道一对 x、y的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值,从而确定其解析式.用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：k(1)设所求的反比例函数为：y ( k 0);x(2)把已知条件(自变量与函数的对
3、应值)代入关系式，得到关于待定系数的方程；(3)解方程求出待定系数 k的值；k(4)把求得的k值代回所设的函数关系式 y k中.要点三、反比例函数的图象和性质反比例函数的图象是双曲线， 它有两个分支，这两个分支分别位于第一、 三象限或第二x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与 标轴.k要点诠释：（1）右点（a, b）在反比仞函数y 一的图象上，则点（a, b）也在此图象 x上，所以反比例函数的图象关于原点对称；（2）在反比例函数 尸二& （ k为常数，k 0）中，由于工工。月少学0 ,所以两个分支都无限接近但永远不能达到x轴和y轴.2、画反比例
4、函数的图象的基本步骤：（1）列表：自变量的取值应以 0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写y值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交；（4）反比例函数图象的分布是由k的符号决定的：当 k一、三象限内，当 k 0时，两支曲线分别位于第二、四象限内. 3、反比例函数的性质（1）如图1,当k 0时，双曲线的两个
5、分支分别位于第一、 值随x值的增大而减小；（2）如图2,当k 0时，双曲线的两个分支分别位于第二、 值随x值的增大而增大；0时，两支曲线分别位于第三象限，在每个象限内，y四象限，在每个象限内，y要点诠释：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数k的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号.要点四：反比仞函数 = -（ t* 0）中的比例系数k的几何意义 x、 k过双曲线y (k 0)上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为|k .xk过双曲线y _( k 0)上任意一点作一坐标轴的垂线，连接
6、该点和原点，所得三角形x的面积为k.2要点诠释：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的【典型例题】类型一、反比例函数定义1、当k为何值时y (k 1)xk2 2是反比例函数？k【思路点拨】 根据反比例函数解析式 y (k 0),也可以写成y kx 1(k 0)的形式，x后一种表达方法中 x的次数为-1 ,由此可知函数是反比例函数，要具备的两个条件为k2 21且k 1 0,二者必须同时满足，缺一不可.【答案与解析】k2 21.解：令,由得，k = ±1,由得，kw1.k 1 0,综上，k = 1,即k = 1时，y (k
7、1)xk2 2是反比例函数.k1【总结升华】 反比例函数解析式的三种形式： y k:丫 kx1；xy k.(k 0).x类型二、确定反比例函数解析式22、正比例函数y=2x与双曲线y k的一个交点坐标为A (2, mD .x(1)求出点A的坐标；(2)求反比例函数关系式.【答案与解析】解：(1)将A点坐标是(2, nj)代入正比例y=2x中，得：m=4,则 A (2, 4);(2)将A (2, 4)代入反比例解析式中，得： 4 -,即k=8,2则反比例函数解析式 y 8.x【总结升华】 此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了待定系数法， 熟练掌握待定系数法是解本题的关键.举一反三：【
8、变式】已知y y1 、2, y1与x成正比例，?与x成反比例，且当x = 1时，y=7;当x = 2 时，y = 8.(1) y与x之间的函数关系式;(2)自变量的取值范围；(3)当x = 4时，y的值.【答案】解：(1) ;yi与x成正比例，设 y1 k1x(k10).y2与x成反比例,设、22 *20) .xk2yyiy2Kx 一xx 1x 2把 与分别代入上式，得y 7y 8k1k27,2月8.7k1 3,k24.4所以y与x的函数解析式为 y 3x 4.x(2)自变量的取值范围是 xw0.、， 一4(3)当 x =4 时，y 3 4 13.4k2的图象相交于 A, B两点，其中点B x
9、类型三、反比例函数的图象和性质3、正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y2的横坐标为-2,当y1y2时，x的取值范围是()A. xv 2 或 x>2B . xv 2 或 0vxv 2C. - 2vxv0 或 0vxv2 D. - 2vxv0 或 x> 2【思路点拨】由正、反比例函数的对称性结合点 B的横坐标，即可得出点 A的横坐标，再根 据两函数图象的上下关系结合交点的横坐标，即可得出结论.【答案】B.【解析】 解：二.正比例和反比例均关于原点O对称，且点B的横坐标为-2,.点A的横坐标为2.观察函数图象，发现：当xv - 2或0vxv2时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，
10、当yiy2时，x的取值范围是 xv-2或0vxv2.【总结升华】本题考查了反比例函数与一次函数交点的问题、反比例函数的性质以及正比例函数的性质，解题的关键是求出点A的横坐标.本题属于基础题，难度不大，根据正、反比例的对称性求出点 A的横坐标，再根据两函数的上下位置关系结合交点坐标即可求出不等式 的解集. 举一反三：【变式】已知四个函数 y=-x+1 , y=2x - 1 , y 2 , y -,其中y随x的增大而减小的 x x有（）个A. 4B .3 C . 2 D . 1【答案】D;提示：解：y= - x+1中k= - 1 < 0,所以y随x的增大而减小，正确；y=2x - 1中k=2
11、>0,所以y随x的增大而增大，故本选项，错误；y2是反比例函数，其增减性必须强调在双曲线的每一支上，故错误；x1y 一是反比例函数，其增减性必须强调在双曲线的每一支上，故错误. x故选D.类型四、反比例函数综合04-)“一 4）两点.（1）求反比例函数和一次函数的关系式;X的取值范围.(2)根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数值的【思路点拨】(1)由点N的坐标为(一1, 4),根据待定系数法可求反比例函数的关系式.从而求出点M的坐标.再根据M N的坐标，用待定系数法可求出一次函数的关系式；(2)结合图象位置和两交点的坐标，可得到使反比例函数大于一次函数的值的X的取值范围.【答案与解析
12、】k解:(1)设反比例函数的关系式为y k.由 N( 1 , 4),得 4 , 1k = 4. 4 反比例函数的关系式为y -.4 点M(2, m )在双曲线y 上, x4m 2.2 点 M(2, 2).设一次函数的关系式为y ax b ,由 M(2, 2)、N(-1, 4),得2a b 2, a b 4.解得2,2.一次函数的关系式为 y 2x 2 .(2)由图象可知，当x v1或0V xv2时，反比例函数的值大于一次函数的值.【总结升华】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标同时满足两个函数的解析式.也考查了待定系数法确定函数解析式以及观察函数图象的能力.
13、举一反三：k【变式】如图所不，已知正比例函数y ax的图象与反比例函数 y 2的图象交于点 A(3,2).(1)试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式.(2)根据图象回答，在第一象限内，当X取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？(3) M(m, n)是反比例函数图象上的一动点，其中 0V m <3,过点M作直线MB X x 轴，交y轴于点B;过点A作直线AC/ y轴交x轴于点C,交直线MBT点D.当四边形 OADM 的面积为6时，请判断线段 BM与DM的大小关系，并说明理由.【答案】kk解：(1)将 A(3, 2)分别代入 y y ax 中，得 2 - , 3a=2.k = 6, a .36 2反比例函数的表达式为y ,正比例函数的表达式为 y -x.x3(2)观察图象，在第一象限内，当0V x<3时，反比例函数的值大于正比例函数的值.(3) BMh DM理由:SX OMB|k|3,Sg形 OBDCSI边形 OADMSa OMBS»A OAC6 3 3 12,即 OC OB= 12.OC= 3,OB= 4,即n = 4.MBMB=MD
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