2018考研数学冲刺模拟卷-答案与解析(数学三)

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1、(D) ab 211 ,b ab -.选4a4A(0,0)【答案】D.B(0,3)。(3,0)D(1,1)-2y(3 2x y) 0 【解析】令x-2x(3 2y x) 0 yx0为1%0即y0,y21,y33%2 z-2 x3 Jz0, xy2 z-2 y4y6 4x 4y4x2021考研数学冲刺模拟卷数学三答案与解析一、选择题：18小题，每题4分，共32分，以下每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. 1 cosx1假设函数f(x)一一,X 0在X 0处连续，那么axb, x 0,1,1，八(A) ab(B) ab(C) ab 042【答案】A

2、.1 2x【解析】 limJ lim 生五 一/ f(x)在 x 0处连续 x 0 ax x o ax 4aA.2二元函数z 2xy(3 x y)的极值点是学习文档仅供参考由AC B2 0知，(1,1)为极值点.选D. 设函数f(x)可导，且f2(x)f(x) 0,那么Af (1) f( 1) B f(1) f ( 1)C| f (1)| |f( 1)|D|f(1) |f( 1)【答案】A.f2(x)f (x) 0,号) 3f3( 1)3f(1) f ( 1),所以选 A。4设函数n1 tan nk ln(11-)收敛，那么k nA1D-2 【答案】C. 【解析】B2C-11tan 一 nk

3、ln(1(113n31 k)-n1o()nk2n21 k -n13n3k2n21o()n1o()n因为原级数收敛，所以1 k1.选 C.5设A 为mxn阶矩阵，且rm n ,那么以下结论正确的选项是aA的任意m阶子式都不等于零bA的任意m个列向量线性无关C方程组AX二b一定有无穷多解D矩阵A经过初等行变换可化为Em：O【答案】C.【解析】对于选项 C, m=r A Jr A玉min m,n =m=r A =m：n所以选项C正确，对于选项A和B, r(A)=m ,由秩的定义可得，存在一个m阶行列式不为零，从而 m阶行列式所在的列向量组线性无关，所以选项A和B不正确对于选项D,矩阵A经过初等行变换

4、和列变换才可化为Em：O ,所以选项D不正确6设 q = 1, 0, 2, C1此2 = 0, 2, 1, C2以1, 2, 3,C3羯=1, 0, 1, 0 T 淇中 ci -1,2,3为任意实数，那么A/，, %,为必线性相关B,口2。,应必线性无关C%,%,%必线性相关D二2,=3,巴必线性无关【答案】D.1011经初等行变换心 j aAT234011000C3 - C1 - C20000-1所以r q 4% 值4 M 4,从而选项a和b均不正确r q a 3 x,Yy -A1-FxxFy yB11-Fxx_|_1-Fyy _C2-FXx_ FY y+ F x, yD1 FXx-FY y

5、+ Fx, y【答案】D.【解析】设A = X x , B = Y y，那么FX x =P X x ,FY y =P Y y , F x, y =P X x,Yx,Y ; y =P AB = P A+ B= 1-P A+B= 1-P A -P B +P AB= 1-Fx x -Fy y +F x, y所以正确答案为D28设总体X服从正态分布N(0, ), X1，Xn是取自总体X的简单随机2心F(1,n 1)2(n 1)XD2-F(1, n 1)S2样本，其均值、方差分别为 X , S2.那么2AXT-F(1, n 1)S22nXCnX-F(1, n 1)S2【答案】c.【解析】CT2-93 N

6、(7：nWnxi0,1(72nX仃2n-1 S2而k-Z2 n-12，且X与S相互独立n-1所以2(7一21_1n 1 -r s2一2nXF 1,n- 1S2所以正确答案为C.二、填空题：914小题，每题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上(9) (sin4 xxx2)dx.4sin xdx,4.3sin xdx 04(10) f (x)1 tan tdt dt 5x tln cos1.那么f (x)dx【解析】交换积分次序:10 f (x)dxdx1dt ot tant , dx1tan tdt ln cos1.0(11)设某产品的需求函数为其中p为价格，那么需求弹性函数为p dQQ

7、 dpppe51(5)(12)设函数f (x, y)具有一阶连续偏导数，且0,yey,- x(1 y)ey, f (0,0) y那么 f(x,y) .【答案】xyey.【解析】fx yey,fy x(1 y)ey,f(x, y)yeydx xyey c(y),故fy xey xyey c(y) xey xyey,因此 c(y) 0,即 c(y) C,再由 f(0,0)0,可得 f(x,y) xyey.13设氏尸为四维非零的正交向量，且A二砂T,那么A的所有特征值为 .【答案】0,0,0,0【解析】设矩阵 A的特征值为2，那么A2的特征值为42由“,尸为四维非零的正交向量 =户& = 0从而A2

8、 =叫/湘二屋6TH尸T=0所以A2的特征值22 = 0 n A的特征值为0= 0所以4阶矩阵A的4个特征值均为0.14 设二维随机变量 X,Y 服从正态分布N *,*;仃2,仃2;0,那么2cov X, XY =.【答案】丁 口2 +/2【解析】X,YN巴,”齐产2;0=E X =从E Y 二巴 D X =2,D Y =2,/Y= 0 XY所以QXY=0 n X与Y相互独立n X2与Y2相互独立，X与Y2相互独立E X2 =D X +E X 2 = 2+/2同理E Y2=仃2+2从而cov X,XY2 =E X2Y2 - E X E XY2=E X2 E Y2 - E X E X E Y22

9、_222 _22=仃+4fl CT + /Z222=22 +/三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.,u tetdt du15此题总分值10分求极限limFt0.u tetdt du【解析】limx 0x tetdt原式=lim x 0lxm016x t3dt00.Jexx.uex udu3x2、ue udu03x2此题总分值udulimx 0.xe x3 2x22x3，令x tu，那么有0x uex udu3x210分计算积分24X2d (1 y x )dxdy,其中D是第一象限中以曲线【解析】x Jy与y轴为边界的无界区域

10、。163xd (1 y21(4 0 12216-1dxdy x )117此题总分值-1【答案】1.4【解析】原式=n klim21n(1n k 1 n12(ln(1 x) x-) nydy00 (110分)dy ylimn1oxln(11 x20 ，18此题总分值10分(0,1)内可导，且f (x)【解析】(1)要证x0x0(0,1)，使(x)又由理,(2)中的x)dx1 -dx)3 xy1k InFdxx )1(1 2y21-2)dy1 yn k ln n2 n2ln(1 x)dx710 ydy-( arctan(、2y) arctan y)b4 ,2设y f (x)是区间0,1上的任一非负

11、连续函数,2 f (x),试证明在(0,1)内，xf (x) x1(0,1)，使 f (%)f (x)dx ;令x0.可以对(0) 0，10分部(x)dx1xf0(x) dx(x)的原函数10xf (x)dx1x xf(t)dt1 0(x 1f (x)在区间f (x)在0,1连续(x)在0,1连续,(x)x (0,1)，使()(%) 0.由(x) xf (x) f (x) f (x) xf (x)x0是唯一的.19此题总分值10分设函数f u在0,1x f (t)dt(x) xf(x)0存在唯一实根.1xf (t)dt,要证(t)dt使用罗尔定理:1x f(t)dt)dx10xf (x)dx

12、0,(x)在0,1连续，在(0,1)可导.根据罗尔定2f(x) 0,知(x)在(0,1)内单调增，故(1)内具有二阶导数，且z f Jx2 y2满11z z ,-rxy2z,假设 f 00, f 01,x2 y2x2y2 x丫 y求函数f u的表达式.【解析】(I)由于题目是验证，只要将二阶偏导数求出来代入题目中给的等式就可以了同理代入22. x yxy2 x22 x yf x2y2y22x y22x y.,x2y222,x y2y22x yf2y11z z-2 2 . x y 2z,倚x2 y2 x2 y2 x yf & y2 f(Jx2 y2) 2 f (Jx2 y2),即 f (u) f

13、 (u) 2f (u).那么对应的特征方程为r2 r 2 0 , r11,r22,故 f(u) Ge2x C2ex.由 f 00,f 01,得 C113，C213,即 f(u)1 2xe3A二%产2, %,% ,非齐20此题总分值11分设%，。2,4,%,均为四维列向量, 次线性方程组 AX二尸的通解为k -1, 2, 0, 3 T+ 2, -3, 1, 5(I)求方程组%,%,% X的通解;(n)求方程组俑，%,%,%,%+ X#的通解.【解析】(I )由AX =的通解为k -1, 2, 0,T 3+2, -3,1,可得 r A =r A| 二3, AT、203 二 0,A2-31q,肛 火

14、, 生r-r20、3,2、-31、5,二一比1 + 2鼠 2 + 34 = 0 =2冈一3%+13+54 =力所以可由 %,a3,a4线性表出， 户可由%,%,%,火线性表出即 用可由线性表出从而 r 纥，% % 二r %, %,%,尸=3所以方程组 %,%,% X -只有唯一解+2X 得 二% +4+11%所以程组 &,%,% X一的唯一解为X =1,1,11 T；可由线性表出。2,13,。4234（ 八一120=03(n)由(I)可得。1可由。243,口4线性表出, 1234经初等行变换从而 %,%,%必,%+6,0T002M3,%,0,0所以 r /%,%+#/ =r。2,4,町=35所

15、以齐次线性方程组的 q,%,%,%,%+ X=0根底解系中有2个线性无关的解向量,非齐次线性房出租q,%,%,%+尸X -#有无穷多解由（I）中的 % +2%+3% =0= aaaaap2q 34+%+5%=f即2、-32跖-3% +% + 5。4 一A =00 %,6,%,%,%+/1 =0611所以线性无关且用%+ X0的根底解系为410由 %,%&4,%+B0 =B-1/ 2 -3可得 /，%,%,%,%+川X 一户的一个特解为刀二150/所以4,%+-X尸的通解为:ki20 +k23k2是任意常数）6x2x321此题总分值 11 分设二次型 f x1,x2,x3, =5x12 + ax

16、22 + 3x32 -2x1 x2 + 6x1 x3的1 0 0、矩阵合同于 010.10 0 0 ）（i）求常数a ；（n）用正交变换法化二次型 f x1, x2, x3为标准形.5 -1 3、【解析】（i）此二次型对应的实对称矩阵 A = -1 a -3、3 -3 3?1 0 0、因为实对称矩阵A与0 1 0合同0 0 0,所以|a| = 0而 A=6 a 5 = 0,解得 a = 55-冗 -13（n） A -Ae = 1 5一3 二2 4北幺一9二03-3 3 一 冗解得矩阵A的特征值为 4=04=4 4= 91， 2， 3当4二0时，解齐次线性方程组 AX =0，5a 二 r35一3

17、经初等行变换3)10-1 12 -1001解得4 =o对应的一个线性无关的特征向量为%二i、2 ，当4 =4时，解解齐次线性方程组 A 4E X = 0IA -4E =-1经初等行变换1-3-0 0(003、10，I解得A2 =4对应的一个线性无关的特征向量为% = 1。当4 =9时，解解齐次线性方程组 A-9E X = 01A-9E =-10 1-1Jj 1,解得2 =9对应的一个线性无关的特征向量为以3二 一133因为矩阵A有三个不同的特征值，所以三个特征值对应的特征向量均正交将，&2, %单位化得 , , ,/116Q26)111不1加0从而正交变换矩阵1 、61.62J6121721

18、、 不 _ 1 一国122在正交变换X = QY ,使得f 4y2十9y3 .22此题总分值11分将三封信随机地投入编号为1 ,2,3,4的四个邮筒.记X为1号邮筒内信的数目，Y为有信的邮筒数目.求：I（X,Y）的联合概率分布；nY的边缘分布；出在X 0条件下，关于Y的条件分布.【解析】IX的所有可能取值为0,1,2,3 ;Y的所有可能取值为1,2,3从而（X,Y）的所有可能取值为0,1，0,2，0,3，1,1，1,21,32,12,22,33,13,23,3P X =0,Y =1P X =0,Y =2P X =0,Y =3C3_ 3C4c4c464C32C3c2 _ 18 _ 9C；C；c4

19、6432P3_ 6 . 3C4c4c464 32P X =1,Y =1 =0P X =1,Y =2P X =1,Y =3c3c3c4c4 c496412c3 只2 _ 18_ 9c4c4c46432P X =2,Y =1 =0P X =2,Y =2c32c3 _ 9c4c；c：64P X =2,Y = 3 二 0所以（X ,Y）的联合概率分布为7一12303/649/323/32109/649/32209/64031/6400nY的所有可能取值为1,2,3由（X,Y）的联合分布律得P Y =1=P X =0,Y=1 +P X =1,Y = 1 +P X =2,Y = 1 +P X = 3,Y

20、= 1= 4 = 164 16P Y =2=P X= 0,Y= 2 + P X = 1,Y = 2 +P X=2,Y = 2 +P X =3,Y =2二 36 二264 16P Y =3=P X = 0,Y = 3 + P X = 1,Y = 3 +P X =2,Y =3 +P X =3,Y =3= 24 = 364 8二 2764所以Y的边缘分布Y123P Y k1/169/163/8出Y的所有可能取值为1,2,3P X 二0 二P X = 0,Y = 1 +P X = 0,Y = 2 +P X = 0,Y = 3从而P Y T X 0P X -0,Y-11P X -09P Y =2 X =

21、0P X-0,Y-2 _ 2P X -03P Y -3 X -0P X =0,Y = 32x围成的区域D内服P X -0- 9所以在X 0条件下，关于Y的条件分布:Y123PY1X(y j | x1)1/92/32/923此题总分值11分(X,Y)在直线y 0, y 1,y x 1,y从二维均匀分布.I求X,Y的边缘概率密度；n求X与Y的协方差cov(X,Y)；出求X Y的方差.【解析】由得f x, y1, x,y DP，其他IJ*xM0 1dy, -1 x1x +1, -1 x 0,=1 x, 0 W x 1；0y1, 1, 0 y1,其他 10,其他.小Jdx,fY(y)f(x,y)dx

22、y1I 0,nE XYxyf x,ydxdy = J； dyfyy1 xydx =112E Xx dx 二：x x +1 dx + J0 x 1 - x_ 1X 1. 一一+ 06 6所以cov(X,Y) =E XY E X E Y =112出-2 P尸 2 _x +1 dx + J0x21- x dx =11I12 12E X2 二x2fx x dxE Y2 =匚y2fY y dy = J0y2dy = 311yfY y dy = Jo ydx=2E X =0从而221D X =E X2 -E2 X 二 6D Y =E Y2 -E2 Y =12所以512D(X+Y)=D X +D Y +2cov X ,Y