《数值计算方法》试题集及答案

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1、数值计算方法复习试题有(2n 1 )次代数精度、填空题:答案:14 154115 40156 152、已知f(1)31f (x)dx1.0,f(2)1.2,f(3) 1.3,则用辛普生(辛卜生)公式计算求得,用三点式求得f (1)1、,则A的LU分解为3、MD 1, f(2) 2, f(3) 1 ,则过这三点的二次插值多项式中x2的系数为拉格朗日插值多项式为11答案：-1L2(x)(x 2)(x 3) 2(x 1)(x 3) (x 1)(x 2),224、近似值x* 0.231关于真值x 0.229有(2 )位有效数字;5、设f(x)可微，求方程x f(x)的牛顿迭代格式是()xn 1 xn

2、答案xn f(xn)1 f (xn)6、对 f(x)x3 x 1,差商 f0,1,2,3 ( 1 ),f0,1,2,3,4 (。)；7、计算方法主要研究( 截断)误差和( 舍入)误差;9、求解一阶常微分方程初值问题8、用二分法求非线性方程 f (x)=0在区间(a, b)内的根时，二分n次后的误差限为y = f (x, y) , y(x)=y0的改进的欧拉公式为h,yn 1 ynf(Xn,yn) f(4 1, Yn 1)、(2)；10、已知f(1) =2, f(2) =3, f(4)=,则二次Newton插值多项式中x2系数为()；11、1两点式高斯型求积公式0 f(x)dx/ 0=(1. 3

3、 1. 3 1f(x)dx -f() f( )22V32v,3)，代数精度为(5 )；12、解线性方程组Ax=b的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A的各阶顺序主子式均 不为零)。346y 10 - 2 313、为了使计算x 1 (x 1) (x 1)的乘除法次数尽量地少，应将该表1y 10 (3 (4 6t)t)t,t达式改写为x 1 一为了减少舍入误差，应将表达式2V2001 71999 改写为J2001 J1999 14、用二分法求方程f(x) x3 x 1 0在区间0,1内的根，进行一步后根的所在区间为，1 ,进行两步后根的所在区间为,。xdx15、计算积分0.5、，取4位有效数字。用梯

4、形公式计算求得的近似值为 ，用辛 卜生公式计算求得的近似值为 一,梯形公式的代数精度为，辛卜生公式的代数精度为f。3x1 5x21Q (1 5x2k)/316、求解方程组0.2x1 4x2 0斯高斯一塞德尔迭代格式为一41)婿1)/20 _ ,该迭1代格式的迭代矩阵的谱半径(M)=12_017、设 f(0) 0, f(1) 16, f (2) 46,则 l1(x) l1(x) x(x 2)一 f(x)的二次牛顿插值多项式为_n2(x) 16x 7x(x 1)_。bnf (x)dxAkf (xk)18、求积公式ak 0的代数精度以(高斯型)求积公式为最高，具19、已知 f (1)=1, f (3

5、)=5, f5(5)=-3,用辛普生求积公式求1f (x)dx=(1220、设 f (1)=1 ,f(2)=2 , f(3)=0 ,用三点式求f (1)()21、如果用二分法求方程0在区间1，2内的根精确到三位小数，需对分(10次。22、S(x)已知3X2(X1)3a(x 1)2 b(x1) c 13是三次样条函数，则a=( 3b=(c=(23、10(X),11(X),ln(X)是以整数点X0,X1,xn为节点的Lagrange插值基函数，则nlk(x)k 0Xklj (Xk)0Xj ),当n4(xkk 03)lk(x)f (X, y)0y n 1yn hf(Xn,yn)24、解初值问题y(x

6、。)Vo的改进欧拉法h _0yn - f(Xn, yn)f ( Xn 1, yn 12)是2 阶方法。25、区间a,b上的三次样条插值函数 S(X)在a,b上具有直到2 阶的连续导数。26、变函数 f (x) 7x 1Mx ( x1 )的形式使计算结果较精27、若用二分法求方程0在区间1,2内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分 10次。28、2x3,3X02axa= 3 , b= -3bxc, 1 X 2是3次样条函数，则29、若用复化梯形公式计算0exdx6,要求误差不超过10 ,利用余项公式估计，至少用477个求积节点。30方程组x1 1.6x20.4x1X22 的 Gauss-Sei

7、del迭代公式kXk 乂231、设32、设矩阵1.6x0.4X1,k0,1,1.6,迭代矩阵为0.64,此迭代法是否收敛收敛33、若 f(x)3x434、数值积分公式35、线性方程组36、设矩阵、单项选择题:，则 1Al2x 1 ,则差商 f 2,4,8,16,3211f (x)dx2f( 1) 8f(0) 93的最小二乘解为分解为A LU ,则U1、Jacobi迭代法解方程组Ax b的必要条件A的各阶顺序主子式不为零C.aii0,i1,2,n2、设则（川为（C ）C. 7（1）的代数精度为2(A)321410033210023、三点的高斯求积公式的代数精度为(B )。A.2B. 5 C.3

8、D .44、求解线卜t方程组取力的LU分解法中，A须满足的条件是(B )。A.对称阵B.正定矩阵C.任意阵 D .各阶顺序主子式均不为零5、舍入误差是(A ) 产生的误差。A.只取有限位数 B.模型准确值与用数值方法求得的准确值C.观察与测量D .数学模型准确值与实际值6、是冗的有(B ) 位有效数字的近似值。A.6B. 5 C . 4 D .77、用1 + x近似表示ex所产生的误差是(C ) 误差。A.模型 B .观测C.截断 D .舍入8、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是(A )。A控制舍入误差B .减小方法误差C.防止计算时溢出D .简化计算x39、用1 + 3近似表示*1

9、 x所产生的误差是(D )误差。A.舍入 B .观测 C .模型 D.截断10、-324. 7500是舍入得到的近似值，它有(C )位有效数字。A . 5 B . 6C. 7 D . 811、设f (-1)=1, f (0)=3, f (2)=4,则抛物插值多项式中x2的系数为(A )A.-0. 5 B .0.5 C.2 D .-212、三点的高斯型求积公式的代数精度为(C )。A. 3B . 4 C.5 D . 213、( D )的3位有效数字是X 102。(A) X 103 (B) X10- 2 (C)(D) X 10-114、用简单迭代法求方程f(x)=0的实根，把方程f(x)=0表示成

10、x= (x),则f(x)=0的根是(B)(A) y= (x)与x轴交点的横坐标(B) y=x与y= (x)交点的横坐标15、16、17、(C) y=x与x轴的交点的横坐标用列主元消去法解线性方程组(A) -4(B) 3 (C) 4拉格朗日插值多项式的余项是(A) f(x,x0,x1,x2,Rn (x)f(x)3x1(D) y=xx14x1x2 4x3 12x2 9x33x2 x3与y= (x)的交点01,第1次消元，选择主元为(B)(C)f(x,x0,x1,x2,Rn(x) f(x)(D)等距二点求导公式f(x1) f(x0)(A)x1Xo(D),牛顿插值多项式的余项是(C ),xn)(x x

11、1)(x x2) - (x xn 1)(x xn),f (n 1)()Pn(x) (-2(n 1)!,xn)(x x0)(x x1)(x x2)(x xn 1)(x xn),f (n 1)()Pn(X) n 1(X)(n 1)!f (x1)( A )。(B)f(X1) f(X0)(C)f(X0) f(X1)(D)f(X1) f(X0)Xox1Xox1x1 Xo18、用牛顿切线法解方程f(x)=0 ,选初始值x0满足(A ),则它的 解数列xnn=0,1,2,一定收敛到方程f(x)=0的根。(A) f (x0)f (x) 0(B)f(x0)f(x) 0(C)f(x0)f(x) 0(D) f (x

12、j f (x) 019、为求方程x3x21=0在区间口内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相 应的迭代公式，迭代公式不收敛的是(A )。(A),，迭代公式:Xk1 x 1(B)1 4，迭代公式：Xk 1 x1 4 xk(C)1x2,迭代公式:xk 121/3(1 Xk)2x31 x2,迭代公式:Xk 1 12 xk(D)X2 xk1y f(x, y)20、求解初值问题y(x ) y欧拉法的局部截断误差是();改进欧拉法的局部截断误差是()；四阶龙格库塔法的局部截断误差是(A )(A)O(h2)(B)O(h3)(C)O(h4)(k 1)21、解方程组Ax b的简单迭代格式x(1)(A) 1,

13、 (2)(B) 1 ,(3)bf(x)dx (b22、在牛顿-柯特斯求积公式：a稳定性不能保证，所以实际应用中，当(D)O(h5)(k)Bx g收敛的充要条件是()。(A) 1, (4)(B) 1na) C(n)f(xi)(n)1 0中，当系数Ci是负值时，公式的)时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。(1) n 8,(2) n 7,(3) n 10,(4) n 6,23、有下列数表x012f(x)-2-12所确定的插值多项式的次数是()。(1)二次；(2)三次；(3)四次；(4)五次24、若用二阶中点公式yn 1yn一一 h h 一hf(xn, ynf(xn,yn)22求解初值问题y 2yly(0

14、) 1 ,试问为保证该公式名对稳定，步长h的取值范围为( 0 h 1, (2)0 h 1, ( 3)0 h 1, (4)0 h 125、取向1.732计算x(而1)4 ,下列方法中哪种最好(A) 28 1673.(B) (4 2圾2；(3xS(x)326、已知2(x 1)3 a(x 2) b_16_16_C (4 273)2 .电 1)4O0x22 x 4是三次样条函数，则 a，b的值为()(A)6, 6;(B)6, 8;(C)8, 6;(D)8, 8。27、由下列数表进行 Newton插值，所确定的插值多项式的最高次数是()X123f(xi)-12。(C)( D)(B)4(A)5;3;28、

15、形如ba f(x)dxAif (Xi)A2f (X2)A3f (X3)的高斯（Gauss）型求积公式的代数精度为(A)9;(B)7C)5;(D)3。29、计算J3的Newton迭代格式为（xk 1(A)xk 32xk30、用二分法求方程次数至少为（）(A)10 ;(B)12xk 1；(B)32x 4x；(C)8100在区间xk(C)Xk ； (D)xk1,2内的实根,要求误差限为10(D)9。31、经典的四阶龙格一库塔公式的局部截断误差为(A)(B)_2O(h )；_5(C) O(h );(D)O(h3)。32、设li（x）是以xkk（k 0,1,L为节点的Lagrange插值基函数，则9kl

16、i(k)k 0(A)(D) 1。33、5个节点白牛顿-柯特斯求积公式，至少具有次代数精度(A)5；(B)4(C)6；(D)334、已知(A)6, 6;S(x)35、已知方程(B)62(x1)3a(x 2)4是三次样条函数，则a,b的值为（8；(C)8，6;(D)8, 8。x3 2x0在x 2附近有根，下列迭代格式中在x02不收敛的是(A) xk 1 V2xk5 ；xk 136、由下列数据(B)2 i (x3 xkxk(D)2x3x01234f(x)1243-55、矩阵A=X1(k1)1 (1142x2k)x2k1)-(18 4Xik 1)x3k1)1 -(22 52x；k 1)2x3k)确定的

17、唯一插值多项式的次数为()(A) 4 ;(B)2;(C)1;(D)3。37、5个节点的Gauss型求积公式的最高代数精度为()(A)8 ;(B)9 ;(C)10;(D)11。三、是非题(认为正确的在后面的括弧中打，否则打 )1、已知观察值(Xi，yi)(i0，3、(X1 X0)(X1 X2)表示在节点X1的二次(拉格朗日)插值基函数。()4、牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。3112 5 3 25具有严格对角占优,四、计算题:4X1 2x2 x3 11X1 4x2 2x3 18 1、用高斯-塞德尔方法解方程组2X1 X2 5X3 22,取x(0)(0,0

18、,0)T，迭代四次(要 求按五位有效数字计算)。，m)，用最小二乘法求n次拟合多项式pn(x)时,Pn(x)的次数n可以任意取。()2X2、用1- 2近似表示cosx产生舍入误差。()(x X0 )( X X2 )k(k)X1(k)X2(k)X3000012341f(x)dx A f(2、求A、B使求积公式11. 11) f(1) Bf(-)”二)的/q 台.冲白22的代数精度尽量高，并求其代数精度；利用此公式求2-dx 1 x(保留四位小数)。19，B1f(x)dx求积公式为119f( 1)f(1)89f(12)1f(-)当f(x) x3时，公式显然精确成立；当f(x)1右=4 。所以代，、

19、,2答案：f(x) 1,x,x是精确成立，即2A 2B2A 1B2数精度为3。1 tdx x2x 3 1111dt 1t 391 311 38191/2 311 2 3970.69286140p3(x),并求 f(2)3、已知xi1345f (xj2654分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求f (x)的三次插值多项式的近似值(保留四位小数)2(x3)(x4)(x 5)6(x1)(x4)(x5)(13)(14)(1 5)(31)(34)(35)5(x1)(x3)(x5)4(x1)(x3)(x4)(41)(43)(45)(51)(53)(54)差商表为xiyi一阶均差二阶均差三阶均差1236245-

20、1-154-10141P3(x)N3(x) 2 2(x 1) (x 1)(x 3) (x 1)(x 3)(x 4)4f(2)P3(2)5.54、取步长h 0.2,用预估-校正法解常微分方程初值问题y 2x 3y y(0) 1(0 x 1)yn 1yn 0.2 (2xn 3yn)答案.解，yn1yn0.1( 2xn3yn)(2xn13yn1)即yn 10.52xn 1.78yn 0.04n012345xn0yn15、已知xi-2-1012f (xi)42135求f(x)的二次拟合曲线P2(x),并求f (0)的近似值答案:解:ixiyi2 xi3 xi4 xixi y2xi yi0-244-81

21、6-8161-121-11-2220100000313111334254816102001510034341正规方程组为10311 2P2（x） x x710145ao 10a2 1510al 310ao 34 a24110311ao -,a1 一色一71014311p2（x）而 7x_3f （0） P2（0）-6、已知sinx区间,的函数表xi yi如用二次插值求sin0.63891的近似值，如何选择节点才能使误差最小并求该近似值。答案：解： 应选三个节点，使误差M3|R2（x）|3| 3（x）|3!尽量小，即应使| 3(x)|尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点0.5,0.

22、607最好，实际计算结果sin0.63891 0.596274,sin 0.63891 0.5962740.6)(0.63891 0.7)1a (0.63891 0.5)(0.63891 9-40.55032 107、构造求解方程e10x 2 。的根的迭代格式xn 1(xn),n0,12，讨论其收敛性，并将根求出来,I xn 1xn I10 4o答案：解：令f(x)10x2,f(0)2f (1) 10 e且 f (x) ex 10f(x) 0 在(0,1)内有唯一实根.将方程f(x) 0变形为x 110(2则当x (0,1)时(x)-(2 ex)| (x)|10，e10故迭代格式1 x_xn

23、1(2 en)6*且满足 |x7 x6 1 0.000 000 95 10 .所以 X10n0123xn127 872424 785877 325n4567xn595 993517 340525 950525 008收敛。取x0 0.5,计算结果列表如下:0.090 525 008Xi 2x2 3x3142x1 5x2 2x3 188、利用矩阵的LU分解法解方程组3x1 X2 5x3 2011 23答案：解:A LU 211424令 Ly b得 y (14, 10, 72)t, Ux y 得 x (1,2,3)T .3x1 2x2 10x3 1510x1 4x2 x3 59、对方程组2x1 1

24、0x2 4x3 8(1)试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明理由;(2)取初值x(0)(0,0,0)T ,利用(1)中建立的迭代公式求解，要求|x(k 1)x(k) |10 3。解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优10x1 4x2 x38152x1 10x2 4x33x1 2x2 10x3故对应的高斯塞德尔迭代法收敛.迭代格式为(k x11)(k x21)(k x31)1101101102x(k3x(k1)1)(k)4x22x2k 1)4x3k) 8)15)Mx(0) (0,0,0)T,经7步迭代可得:x* x(7) (0.999 991 459, 0.999 950 326,

25、1.000 010)T10、已知下列实验数据xif(Xi)试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据。解：当 0x1 时，f (x) ex,则1f (x) e ,且0e dx有一位整数.要求近似值有5位有效数字，只须误差R1(n)(f)*f()R1(n)(f)即可，解得Ri(n) (ex)12n212n210谭10267.30877所以 n 68,因此至少需将0,1 68等份。x1x21211、用列主元素消元法求解方程组x311o12解:1211r1r21112 一。5r 2r3 一151212113回代得12、取节点X00, X1解:151352515857951351515257958512

26、13515513x30. 5, X2P2(x),并估计误差。P2(x)ef(x) e x,f 又7955131,x26, x11,求函数(x 0.5)(x 1)(0 0.5)(0 1)2(x(xf(x)0.50)(x在区间0,1上的二次插值多项式(x0)(x 1)(0.5 0)(0.5 1)0.5)(1 0)(1 0.5)0 510.5)( x 1) 4e x(x 1) 2e 1x(x 0.5)(x) e X,M 3max | f (x) | 1x 0,1故截断误差|R2(x)| |e X H(X)|13!1x(x 0.5)( x 1)|o1 e Xk1.5Xk 1(k0,1,2,)13、用欧

27、拉方法求y(x)t2dt在点x O.5,1.0,1.5, 2.0处的近似值。X解：y(x) 0et20)记 f (x,y)X2,Mh0.5X00,Xi0.5,X21.0, X3 1.5, X42.0x2y ey(0) 0则由欧拉公式可得yny。y(0.5)yiy(i.5)yn0.5,y3hf(Xn,yn)y(i.0)y21.07334, y(2.0)n 0,1,2,30.88940y4 1.12604X ,14、给定方程 f(X) (X 1)e11）分析该方程存在几个根;2）用迭代法求出这些根，精确到5位有效数字;3）说明所用的迭代格式是收敛的解：1）将方程(X 1)eX(1)改写为作函数f1

28、（X）1f2(x) eX的图形(略)（2）有唯一根*X (1,2) 0X03)k123456789xk(x) 1 e x (x) e当 x 1,2时，(x) (2), (1)1,2,且1I (x)| e 1 1所以迭代格式xk 1(xk) (k 0,1,2,)对任意 X0 1,2均收敛。15、用牛顿(切线)法求J3的近似值。取xo=,计算三次，保留五位小数。解：后是f(x) x2 3 0的正根，f(x)2x,牛顿迭代公式为xn3xn 1 一 (n 0,1,2,)22xnn123xnx2 3xn 1 xn -Z 2xn ,即取xo=,列表如下:16、已知f (-1)=2 , f (1)=3 ,

29、f (2)=-4 ,求拉格朗日插值多项式L2(x)及f (1 , 5)的近似值，取五位小数。(x 1)(x 2) c (x 1)(x 2) (x 1)(x 1)L2 (x) 234解：(1 1)( 1 2)(1 1)(1 2)(2 1)(2 1)234-(x1)(x 2)-(x1)(x 2)-(x1)(x 1)323.1f(1.5)L2(1.5)0.04167241 edx17、n=3,用复合梯形公式求0e d的近似值(取四位小数)，并求误差估计1 x _100_1 32 31_exdx T3e0 2(e e ) e1 1.7342解：02 3L Vf (x) ex, f (x) ex, 0

30、x 1 时，| f (x) | e|R| |exT3|12 321080.0250.05至少有两位有效数字。301xi513 1X218、用Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组取X(0)=(0,0,0) T,列表计算三次，保留三位小数。解：Gauss-Seidel迭代格式为:x(k1)1(x3k)5)3x2k 1)；( x(k 1)x3k) 1)x3k 1)，x1(k 1)x2k 1)8)4系数矩阵11 4严格对角占优，故Gauss-Seidel迭代收敛.取x(0)=(0,0,0) T,列表计算如下：kxik)x2k)x3k)123y x y19、用预估一校正法求解y(0) 1 (0

31、x 1), h=0o 2,取两位小数。解：预估一校正公式为yn 1yn1(k1k2)k1 hf(xn,yn)k2 hf(xn h,ynk1)n 0,1,2,n12345xn0,123,4,代入上式得:其中 f (x, y) x y, y01 , h=, nyn（8分）用最小二乘法求形如 y a bx2的经验公式拟合以下数据:x19253038小20、解:AT1192解方程组1252AT AC13121238Ty19.032.3 49.0 73.3其中T 4ATA 339133913529603ATy173.6179980.7C 解得：0.92555770.0501025 所以0.9255577

32、b 0.050102521、（15分）用n 8的复化梯形公式1、一，一 e xdx .（或复化 Simpson公式）计算o时，试用余项估计其误差。用n 8的复化梯形公式（或复化Simpson 公式)计算出该积分的近似值。解:RTfT(8) hf(a)72f(xk)k 11102 e 12 8210.001302 768f(b)span1, x222、（15分）方程x3对应迭彳t格式xn 11xn 1x对应迭代格式3 x-1xVxn1 ； (2)11xn ; (3)x x3 1对应3迭代格式xn1 xn。判断迭代格式在x01.5的收敛性，选一种收敛格式计算 x1.5附近的根,11 2 (0.88

33、24969 0.7788008 0.606530660.5352614 0.47236655 0.41686207) 0.36787947 0.6329434精确到小数点后第三位。21) 3（1.5）0.18 1,故收敛;(x)(2)2x21 x(1.5)0.17 1,故收敛;选择（1）：xo 1.5 x1 1.3572 x2(3)(x) 3x2 ,(1.5)3 1.51 ,故发散。1.3309 X3 1.3259 x4 1.3249 ) )x5 1.32476x6 1.3247223、（8分）已知方程组AX f ,其中24 3024(1)列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法

34、的分量形式。(2)求出Jacobi迭代矩阵的谱半径。娟。1(24 3x2k)4x1(30 3个 x3k)4x3k1)1(24 x2k)4解：Jacobi 迭代法：k 01,2,3,x1(k1)-(24 3x2k)4x2k1)1(30 3x1(k1)x3k)4k0,123,Gauss-Seidel 迭代法:_ 1BjD (L U)034 03403403400.79056924、1、（15分）取步长h0.1 ,求解初值问题dy d y 1dxy（0） 1用改进的欧拉法求y（0）的值；用经典的四阶龙格一库塔法求 y（0.1）的值。y：0)iynhf(Xn,yn) 0.9yn 0.1h(0)yn 1

35、yn - f(Xn, yn) f 仰 1, y：)0.905yn 0.095解：改进的欧拉法：2所以 y(0.i)yi 1；经典的四阶龙格一库塔法：hyn 1 ynk1 2 k2 2k3k46k1f (Xn, Yn)h h. xk2f (Xn -,yn - k1)hhk3f (xn , ynk2)22k4f (Xn h, yn hk3)kk2 k3 k4 0 所以 y(0.1)y1125、数值积分公式形如10Xf(X)dX S(x)Af(0)BfCf (0) Df (1)试确定参数A, B,C, D使公式代数精度尽量高；(2)设f(x) C40,1,推导余项公式R(X)10Xf(X)dX S(

36、X),并估计误差。2 3 . A解：将f(x) 1,X,X ,X分布代入公式得：,B 30,D120山(为)f(Xi)构造 Hermite 插值多项式 H3(x)满足 H3(Xi)f (Xi) i 0,1 其中 x00,x1 1则有:1o xH3( x)dx S(x)f(4)()f(X) H3(X)22X (X 1)R(x)110Xf(X) s(x)dx0f(4)(4!)x3(x1)2 dx(4)1x (x 1) dx4!026、用二步法产()4! 60f(4)()1440yn 10yn求解常微分方程的初值问题h f(Xn,yn) (1)f(Xn1,yn 1)y f (x, y)y(X0)y。

37、时，如何选择参数0, 1,使方法阶数尽可能高，并求局部截断误差主项，此时该方法是几阶的解:Rn,hy(xn 1) yn 1y(xn) hy (xn)0 y(xn)1(y(xn) hy (xn)h2万h22?yy (xn) h-y (xn)3!(xn )(1hy(xn) (1)(y(4) hy (Xn)h22!yh3,、y (xn)3!h3 (4)(xn)y(xn)3!02 Jh(2l)y(Xn)h(1 11)y (xn)1所以2)y (Xn)3 ,1h(6三-)y (%) O(h4)10321主项：12(Xn)该方法是二阶的。27、(10 分)已知数值积分公式为:f(x)dx 畀 f(h)2

38、- _-h f (0) f (h)，试确定积分公式中的参数,使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。解：f(x) 1显然精确成立;f(x)x时,hxdx0202h h 1 1；f(x)2x时,hx2dx0h33MOh2h20 2h1 2 h2f(x)3x时,hx3dx0上0h3112h203h2f(x)4x时,hx4dx0h rc -0 2h4112h204h36 ;所以,其代数精确度为3。28、(8分)已知求Ja(a 0)的迭代公式为:1 , xk 12(xk-) xkx。0 k 0,1,2证明：又一切k 12且序列xk是单调递减的,从而迭代过程收敛。证明:1/xk 1(xk2马Xk

39、故对一切k 1,2,Xkxk 1又xk2(11)程收敛。29、(9分)数值求积公式30 f (x)dx多少解：是。因为f (x)在基点30 P(x)dx30、(6分)写出求方程xn 1(6分)xnsinaxk xk所以Xk 1凯1、2处的插值多项式为a k 0,1,2xk,即序列xk是单调递减有下界，从而迭代过f(2)是否为插值型求积公式为什么其代数精度是P(x)f(2)3f f (2)2。其代数精度为1。4x31、(12 分)以 100,121,144COSX 1在区间0,1的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。1 cos xnn=0,1,2, -对任意白初值x0 0,1,迭代公式都收敛。为

40、插值节点，用插值法计算 *115的近似值，并利用余项估计误差。用Newton插值方法：差分表:,11510+(115-100)(115-100)(115-121)f xf3!1 35100 268115 100 115 121 11515 6 29 0.0016332、（10分）用复化Simpson公式计算积分Si1440.94614588S2122f4fS2115 S2S10.39310-5S2或利用余项:7 2!sin x9 4!3!5!(4)f x2880n4f (4)2880 5n40.533、（10分）用Gauss列主元消去法解方程组:1 sin x7!Xi4x22x3243xiX2

41、5x3342x1 6x2 x3 27dx5的近似值，要求误差限为0.5 10 。10.946086930.946086939!10 5n 2, IS20.0 0000x 2.0000,3.0000,5.000034、（8分）求方程组3 6 x1AT Ax ATb6 14 x2XiX2521 的最小二乘解。81.3333x 202.0000若用Householder变换，贝U:A,b1.73205003.46410 4.618800.366031.520731.366032.520731.732053.464104.61880最小二乘解:1.414212.828430.8165035、（8分）已

42、知常微分方程的初值问题：dy. dx x y, 1 x 1.2y（1） 2用改进的Euler方法计算y（12）的近似值，取步长h 02k1f x0,y00.5k2 fx1,y0hk11.12 0.2 0.50.5238095hy1y0 - k1k22 0.10.50.52380952.1071429236、（6分）构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度：11 xf x dx A0 f - A1f 1取f（x）=1,x ,令公式准确成立，得:AdA111AAi AAd A1Ad2,233,A1f(x)=x 2时，公式左右 =1/4; f(x)=x 3时，公式左=1/5, 公式右=

43、5/24公式的代数精度=2A37、(15分)已知方程组 Ax b ,其中(1)写出该方程组的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式;(2)判断(1)中两种方法的收敛性，如果均收敛，说明哪一种方法收敛更快;解：(1) Jacobi迭代法的分量形式(k 1)(k)(k)x；1 2x22x3x2k 1)2 x(k) x3k) ;k 0,1,2,Lx3k1)3 2x；k)2x2k)Gauss-Seidel迭代法的分量形式(k 1)x1x(k 1) x2(k 1)1 2x2k)2x1(k1)3 2x1(k 1)2x(k) 3x3k) ；k2 x2k 1)0,1,2,L(2) Jac

44、obi迭代法的迭代矩阵为02 2_ 1B D (L U) 10122030,(B) 0 1, Jacobi迭代法收敛Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵为02 2G (D L)1U 0230, 2002(B) 2 1 , Gauss-Seidel 迭代法发散dy c2x ydx38、(10分)对于一阶微分方程初值问题y(0) 1,取步长h 0.2,分别用Euler预报校正法和经典的四阶龙格一库塔法求y(0.2)的近似值。解：Euler预报校正法y：0)1 Vn 0.2(2Xn Vn) 0.4Xn 0.8外yniVn 0.1(2Xn 外 2xm0.16% 0.2x0i 0.82yny(0.2

45、) y1 0.2 0.2 0,82 1 0.86经典的四阶龙格一库塔法0.2yn 1Vn(ki 2k2 2k3 k。6k1 2Xn Vnk22(Xn 0.1) (yn 0.1k1)k3 2(Xn 0.1) (yn 0.1k2)k42(Xn 0.2) (yn 0.2k3)y(0.2) y10.8562(k11.5041; k2 1.5537; k3 1.5487; k4 1.5943)Vn 139、（10分）用二步法Vnh .f （Xn，Vn）f （Xn 1, Vn 1）y f (x, y) y(X0)v。,问：如何选择参数的值,才使该方法的阶数尽可能地高写出此时的局部截断2求解一阶常微分方程初

46、值问题误差主项，并说明该方法是几阶的。解：局部截断误差为Tn 1y(Xn 1) y(Xn)2 f(Xn，y(Xn)f (Xn 1，y(Xn 1).h2y(Xn) hy(Xn) y 2!h2y(Xn) hy (Xn) y(Xn)(Xn)h3 y 3!h3 y3!(Xn)(Xn)h22 y(Xn) hy (Xn)万 h2-)V (Xn)(122!h(1 一 2(Xn)O(h4)O(h4)y(Xn)y(Xn)h _-V (Xn)V (Xn 1)2h2 y(Xn)O(h3),3,3)V(Xn) (37 7_4)V (Xn) O(h )局部截断误差主项为5h3 12y（Xn）,该方法是2阶的。40、（1

47、0分）已知下列函数表:x0123f(x)13927(1)写出相应的三次 Lagrange插值多项式;(2)作均差表，写出相应的三次Newton插值多项式，并十算f (1.5)的近似值。解：(1)L3(x)(x 1)(x 2)(x 3)(0 1)(0 2)(0 3)(x 0)(x 2)(x 3)(1 0)(1 2)(1 3)(x 0)(x 1)(x 3)(2 0)(2 1)(2 3)(x 0)(x 1)(x 2)(3 0)(3 1)(3 2)n 28.2x -x 1313296227 18641、(10分)取步长h0.2,求解初值问题dy dx y(0)3y(x 0),分别用欧拉预报一校正法和经典四阶龙格一库塔法求y(0.2)的近似值。4 3-x3012(2)均差表：34N3(x) 1 2x 2x(x 1) -x(x 1)(x 2) 3f(1.5) N3(1.5) 5解：(1)欧拉预报-校正法：y*yn 0.2(8 3y0)1.6 0.41yn 1yn 0.1(8 3yn 8 3(1.6 0.4yn) 1.12 0.58yny(0.2)Yi2.28(2)经典四阶龙格-库塔法：0.2Yn1Yn*1 2k2 2k3 k,)6k1 8 3%k2 8 3(yn 0.1k1)k3 8 3(yn 0.1k