2019年数学选修2-2模拟题Ⅳ

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1、2019年数学选修2-2模拟题IV单选题(共5道)1、k (k>3, kCN*)棱柱有f (k)个对角面，则(k+1)棱柱的对角面个 数f (k+1)为Af (k) +k-1Bf (k) +k+1Cf (k) +kDf (k) +k-22、用数学归纳法证明不等式一+叶；>： (n>2)时的过程中，由n=k到nw k+1时，不等式的左边()A增加了一项许B增加了两项-+_D增加了一项衣土，又减少了一项占3、已知n为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设 n=k (k>2,且k为 偶数)时等式成立，则还需利用归纳假设再证()An=k+1时等式成立Bn=k+2时等式成立Cn=2

2、k+2时等式成立Dn=2 (k+2)时等式成立4、用数学归纳法证明“ Sn'r+号（n>2且nCN）时，" S2jj +1 fi +2-Ji 2.4的值为（）.A虻CJ3 4D15、函数y=x2cosx的导数为Ay' =2xcosx x2sinxBy' =2xcosx+x2sinxCy' =x2cosx 2xsinxDy' =xcosx x2sinx简答题（共5道）6、设函数/V，'+0-划x ,*界，腐 #0 ,（D若曲线与工轴相切于异于原点的一点，且函数 FO）的极小值为孑，求uR的值；（2）若3,且曰+-%、/7温 j -

3、JLq T 1. ，.7求证：孑J"；求证：/（”在01）上存在极值点.(x)的导函数.(1)求实数m的取值范围；(2)当 m取得最小值时，数列an满足：a1=m+3 an+1=fz (kAjj) - nan+1, n N*.试证： ann+2；8、试比较nn+1与(n+1) n (n N*)的大小.当 n=1 时，有 nn+1(n+1) n (填、=或);当 n=2 时，有 nn+1(n+1) n (填、=或);当 n=3时，有 nn+1(n+1) n (填、=或v); 当 n=4时，有 nn+1(n+1) n (填、=或); 猜想一个一般性的结论，并加以证明.9、求不定积分/x的

4、的.10、对于数列An : A1, A2, A3,，An,若不改变A1,仅改变A2, A3,， An中部分项的符号，得到的新数列an称为数列An的一个生成数列.如仅改 变数列1, 2, 3, 4, 5的第二、三项的符号可以得到一个生成数列1, -2, -3,4, 5.已知数列an为数歹U三)"EX)的生成数列，Sn为数列an的前n项和.(1)写出S3的所有可能值；(2)若生成数列an的通项公式为(3)用数学归纳法证明：对于给定的 nCN*, Sn的所有可能值组成的集合填空题(共5道)11、已知a= 0(ex+2x) dx (e为自然对数的底数)，函数f (x)则 f (a) +f (

5、log2§)=12、设函数 f (x) =/x2x (t-1 ) dt ,贝U f ' (x) =.13、由曲线y,，直线y=-x+)所围成的封闭图形的面积为 . iffMW14、由三条直线x=0, x=2, y=0和曲线y=x3所围成的图形的面积为 15、J：4|x+2|dx= .1-答案：A2-答案：tc解：当n=k时，左边的代数式为、丁+/7+,+5, 当n=k+1时，左边的代 数式为上十T)77，故由n=k至Unwk+1时，不等式的左边增加了两项 +vr + 小；，又减少了一项* 故选：C3-答案：tc解：若已假设n=k (k>2, k为偶数)时命题为真，因为n

6、只能取偶数，所 以还需要证明n=k+2成立.故选：B.4-答案：tc解：不等式中分式的分母是从n+1逐步递增大1到2n结束，所以当n=2时, 分式的分母从3到4结束，所以S2的值为：故选C.3 45-答案：A1-答案：（1）（2） /（刈在陋1）上是存在极值点试题分析：分析题意,可得该三次函数过原点,根据函数与x轴相切,所以有个极值为 0且有一个重根，故可得函数有一个极大值0和一个极小值，有一个重根, 则对，区因式分解会得到完全平方式，即提取x的公因式后，剩下二次式的判 别3 = 0,得到a,b之间的关系式，再根据极小值为 ，则求导求出极小值点，得 到关于a,b的另外一个等式，即可求出a,b的

7、值.（2）对“邛求导，带入5言） 与已知条件 六联立化简即可得到需要的不等式.求出尸'。1, 讨论a的取值范围，证明尸了，七 其中必有两者异号，则根据零点存在定 V. * X理，即可证明，国有极值点.试题解析：（1）rg-Awd-Wj,依据题意得：/煞1*汐，且瞿一- 川.2分八得或S 如图，得二/>=", #+犷-¥,b=4a ，代入M子得，4j7(2)“幻=s'一必+ QYn) . #八立"Q皿MjJ-5“ t斗Pn*当#口 +1Xifl +1($+)/ 314一卜一:；口，Q8分(x +1)+- t -t 1)' I x(j +

8、2)/ = 1-2口，/，.若则/'(0)=1-% >0 ,由知八品”口，所以人工)在%”有零点，从而 八处在(0J)上存在极值点.10分若片号，由知 “广又工'2 + 1即 吧孚色弩ay铲“ 所以广在3f2有零点， 万J + 工Jr(工 J + .),jr| +1从而/在1)上存在极值点.12分若0<。，由知小寻i-。，“1十人1)=-1=巴尹等e，所以,，在有零点，从而/在1)上存 *)*-T)-+-1在极值点.综上知/(刈在也1)上是存在极值点.14分2-答案：解：(1) . (x) =,令 h (x) =x22x+n =(-2)2-4ny当& 0,即

9、命1时，f' (x) >0包成立，f (x)单调递增；当4> 0, 即正1时，f' (x)的符号不确定(或大于0,或小于0), f (x)在定义域内 不单调，当f (x)单调递增时，命1;当m< 1时，f (x)在定义域内不单调.，. 实数m的取值范围为1 , +oo)；(2) ; m> 1, .当 m 取得最小值时 m=1,a1=3+m=4 又 an+1=f'(舄f)-nan+1, nCN*.an+1=an2- nan+1 用数学归纳法证明：(I)当n=1时，a1=4>3=1+2,不等式成立；(II )假设当n=k时，不等式成立，即ak&

10、gt;k+2,那么，ak+1=ak(ak-k) +1> (k+2) (k+2-k) +1>k+3,也就是说,当 n=k+1 时，ak+1> (k+1) +2,根据(I)和(II ),对于所有n>1,有an>n+2.由an+1=an(an n) +1 及，对 k>2,有 ak=ak- 1(ak1 k+1) +1>ak- 1(k- 1+2- k+1) +1=2ak- 1+1-1+ak>2 ( ak- 1+1),由等比数列的通项公3-答案：当 n=1 时，nn+1=1, (n+1) n=2,止匕时，nn+1< (n+1) n,当 n=2 时，nn

11、+1=8, (n+1) n=9,止匕时，nn+1< (n+1) n,当 n=3 时，nn+1=81, (n+1) n=64,此时，nn+1> (n+1) n,当 n=4 时，nn+1=1024, (n+1) n=625,此时，nn+1 > (n+1) n,根据上述结论，我们猜想：当 n3时，nn+1> (n+1) n(nCN*)恒成立.当 n=3时，nn+1=34=81>(n+1)n=43=64即 nn+1> (n+1)n成立.假设当n=k时，kk+1 > (k+1) k成立，即： 后；>1则当n=k+1时,=(k+1)?()k+1 >(k

12、+1)?(马,111/+1 = 扁>1即(k+1) k+2> (k+2) k+1成立，即当n=k+1时也成立,当 n3 时，nn+1> (n+1) n(n C N*)何成立.4-答案：解：设t=1+旧，贝U x= (t-1 ) 2,不定积分/3”乂=/d d(t-1 )2+C=/(2-7LL1dt=2t-2lnt+C=2 (1+&)-2ln (1+白)+CM：/dx的值为：2(1*口)-2ln (1卜)+C解：设 t=i+J7,则 x= (t-1 )2,不定积分/总dx=/；d (t-1 ) 2+C=/ (2-；)dt=2t-2lnt+C=2 (1+J7) -2ln(

13、1+«) +C故1 dx 的值为：2 (1*口)-2ln(1-. ) +C5-答案：(1)由已知，a1= , |an|= 2”(nCN*, n>2), a2=± a3=±1由于同* |-H-H =! pzr - 3 it +1,5=,j /I 壬3A + r月-H,S3可能值为5, r r r &6；n=3k (kCN*)时，Sn二 (±-gg + (士11、 I I 、I I JI 1 、-7-S)+.+(川-E-3!)=(Z+7i+H)-(K*+t而)-(3T1-W £4)=H1-i"】；n=3k+1 (kCN)时，

14、Sn=Sn-1+an= 1-(*+二= 1+5甘 ; n=3k+2(kCN)时，I i 1(1), a = 2>k7”Sn=Sn+1-an+1 = 1-中田+ J1+34/ ;SnT*44/r = 3A + mI 3_(1 +) f n - 3 it+2 7”(3)n=1时，S1=,命题成立.假设n=k2m- I(k>1)时命题成立，即Sk所有可能值集合为：x|x=-,哇N*, me2k-1)2 升t - I由假设，Sk=M+】几±1I.,又 Sk+1=5i±l 2(3一】田(mE N*, me2k-1 ),则当 n=k+1, Sk+1= 土士 土+:土言=Sk

15、土士i2算(2柚1),2k( j- I(怵 N*, 存2k-1),即 Sk+1=或 Sk+1=,4+12fil -1(怵 N*, 存2k-1)即 Sk+1=7T7P(怵N*,存2k). n=k+1时，命题成立.由，nCN*, Sn所有可能值2 m - I集合为x|x="，m N*, me2n-1.(1)由已知，a4，|an|=±(ne, n>2),a2=±, aT，由于;4+H, ?4=L状+=! pn - 3 lit+1+ 4+1,5=,j /I 壬3A + n=3k+1 (k3N)时，Sn=Sn-1+an= 1一*+二41+5严;n=3k+2(k3N)时

16、,&6；n=3k (kCN*)时，Sn二 (±-gg + (士I i 1(1), a = 2>k7”Sn=Sn+1-an+1 = 1-中田+ J1+34/;SnT*44/r = 3A + mI 3_(1 +) f n - 3 it+2 7”I -(3)n=1时，S1=,命题成立.假设n=k2/ft- I(k>1)时命题成立，即Sk所有可能值集合为：x|x=-, m N*, me2k-1心t 一 I由假设，Sk=(n N*, me2k-1),则当 n=k+1, Sk+1=±± ±+士 ±言=Sk±±于+】几

17、±1I.,又 Sk+1=5i±li2x ( J )1 ,2k( I(怵 N*, 存2k-1),即 Sk+1=或 Sk+1=,4+12«i -1(怵 N*, 存2k-1)即 Sk+1=T77p(怵N*,存2k). n=k+1时，命题成立.由，nCN*, Sn所有可能值、)析_集合为x|x="，m N*, me2n-1.1-答案：7解：:( ex+x2) ' =ex+2x,a=(；ryi(bi x , jt>0(ex+2x) dx= (ex+x2)5=-e1+1-e0=e ,又由函数 f (x) = v ，贝Uf (e) =lne=1 ,=广&

18、quot; =小h-=6 ,故 f (a) +f (log2-) =7.故 答案为：7.2-答案：3x-1解：f (x) =/x2x,、/-1尸户 .、，、3 2一,、(t-1 ) dt=f-L1 =7X (2x-1 ) 2- (x-1) 2=FLT；f(x) =3x-1 .2 x -r3-答案:15T-21n2 K解：曲线y1，直线y=-x+4联立，可得交点坐标为(, 2)、(2二)，曲 大I If I2I线yj,直线y=-x+之所围成的封闭图形的面积为s=l=25 1I 1 5J 15a,15(-x+彳-;)dx=(-彳L+7x-lnx ) ll=j-2ln2 .故答案为：于-2ln 2.4-答案：4解：由题意，由三条直线x=0, x=2, y=0和曲线y=x3所围成的图形的面积为S可:工力工*=4.故答案为：4.U14 口5-答案：解：/:|x+2|dx=-f -4-229(tx2+2x) |-23=(x+2) dx+/-23(x+2) dx= (-yx2-2x) |-4-2+