2020年各地中考解析版分类汇编(第1期)直角三角形与勾股定理

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1、直角三角形与勾股定理一、选择题1. （2020 四川达州 3分）如图，在5X5的正方形网格中，从在格点上的点A, B, C, D中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为（）【考点】勾股定理的应用.【分析】从点A, B, C, D中任取三点，找出所有的可能，以及能构成直角三角形的情况数，即可求出所求的概率.【解答】解：二.从点A, B,C, D中任取三点能组成三角形的一共有4种可能，其中UBD,ADC , 小BC是直角三角形，所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为.4故选D.2. （2020 广东广州）如图 2,已知三角形 ABC,AB=10,AC=8,BC=6,DE是AC的垂直平分线

2、， DE交 AB 于 D,连接 CQ CD=（）A、3 B 、4 C 、4.8D、5难易中等考点勾股定理及逆定理，中位线定理，中垂线的性质解析因为AB=10,AC=8,BC=8,由勾股定理的逆定理可得三角形ABC为直角三角形，因为DE为AC边的中垂线，所以 DE与AC垂直，AE=CE=4所以DE为三角形ABC的中位线,一,1 、, ,一 、,所以DE=BC=3,再根据勾股定理求出 CD=5 2参考答案D3. （2020年浙江省台州市） 如图，数轴上点 A, B分别对应1, 2,过点B作PQLAB,以 点B为圆心，AB长为半径画弧，交 PQ于点C,以原点。为圆心，OC长为半径画弧，交 数轴于点M

3、 ,则点M对应的数是（）【分析】 直接利用勾股定理得出 OC的长，进而得出答案.【解答】解：如图所示：连接 OC,由题意可得：OB=2, BC=1 ,则AC=2=姓,故点M对应的数是：诉.故选：B.4. （2020 山东烟台）如图，RtAABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合， B点与0刻 度线的一端重合，/ ABC=40 ,射线CD绕点C转动，与量角器外沿交于点 D,若射线CD将 ABC分割出以BC为边的等腰三角形，则点 D在量角器上对应的度数是（）A. 40 B, 70 C, 70或 80 D. 80或 140【考点】角的计算.【分析】如图，点。是AB中点，连接DO，易知点D在量角器上应的

4、度数 =/ DOB=2 / BCD , 只要求出/BCD的度数即可解决问题.【解答】 解：如图，点O是AB中点，连接DO.点D在量角器上应的度数 =/ DOB=2 / BCD ,当射线CD将 ABC分割出以BC为边的等腰三角形时，Z BCD=40 或 70 ,，点D在量角器上应的度数 =/DOB=2 /BCD=80 或140,故选D.8C5. （2020.山东省威海市，3分）如图，在矩形 ABCD中，AB=4 , BC=6 ,点E为BC的中点，将AABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF,则CF的长为（）3CA.B.125C.D.185矩形的性质;翻折变换（折叠问题）连接BF,根据三

5、角形的面积公式求出BH,得到BF,根据直角三角形的判定得到/BFC=90,根据勾股定理求出答案. 【解答】解：连接BF,. BC=6,点E为BC的中点，.BE=3 ,又 AB=4 ,.AEy小中产5,.BH=则BF=125，24. FE=BE=EC , / BFC=90 ,.CF=J6C24故选：D.2 18二56. （ 2020 江苏连云港）如图1,分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为Si、S2、S3；如图2,分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为S4、S5、S6.其中Si=16 ,S2=45,S5=11,S6=14 ,则S3+S4=(

6、)A. 86C. 54D. 48【分析】分别用AB、BC和AC表示出 S1、S2、S3,然后根据AB2=AC2+BC2即可得出S1、S2、S3的关系.同理,得出 S4、S5、S6的关系.Si【解答】解：如图1,2, S2BC2,S3多B2. AB 2=AC 2+BC2,S1+S2=AC2+BC2=AB 2=S3,如图 2, S4=S5+S6,.S3+S4=16+45+11+14=86 .故选A .3S-mi【点评】本题考查了勾股定理、图二等边三角形的性质.勾股定理：如果直角三角形的两条直角7. （2020 江苏南京）下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是A. 3, 4, 4 B. 3, 4,

7、5 C. 3, 4, 6 D. 3, 4, 7答案：C 考点：构成三角形的条件，勾股定理的应用，钝角三角形的判断。解析：由两边之和大于第三边，可排除 D；由勾股定理：a2 b2 c2,当最长边比斜边c更长时，最大角为钝角,即满足a2 b2 c2,所以，选C。8. （2020 江苏省扬州）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4 , BC=6 .将该矩形纸片剪去 3个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是（）A D沙CA. 6 B. 3 C. 2.5 D. 2【考点】几何问题的最值.【分析】以BC为边作等腰直角三角形4 EBC,延长BE交AD于F,得 ABF是等腰直角 三角形，作EG LCD

8、于G,得 EGC是等腰直角三角形，在矩形ABCD中剪去 ABF , BCE , ECG得到四边形EFDG,此时剩余部分面积的最小【解答】解：如图以BC为边作等腰直角三角形4 EBC,延长BE交AD于F,得 ABF是 等腰直角三角形，作EG，CD于G,得 EGC是等腰直角三角形，在矩形ABCD中剪去 ABF, BCE, ECG得到四边形EFDG ,此时剩余部分面积的最小=4 X6-：X6-、MX3=25 乙乙故选C.9. （2020断江省舟山）如图，矩形 ABCD中，AD=2 , AB=3 ,过点A, C作相距为2的平行线段AE , CF,分别交CD, AB于点E, F,则DE的长是（）【考点】

9、 矩形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理.【分析】过F作FH AE于H，根据矩形的性质得到 AB=CD , AB / CD,推出四边形AECFAE AD是平行四边形，根据平行四边形的性质得到AF=CE ,根据相似三角形的性质得到 年不,Ar r H于是得到AE=AF ,列方程即可得到结论.【解答】解：过F作FH，AE于H ,四边形ABCD是矩形，.AB=CD , AB / CD,. AE / CF,四边形AECF是平行四边形，AF=CE , .DE=BF , .AF=3 - DE, -AE= / FHA= /D=/DAF=90 , / AFH+ / HAF= / DAE+ / FAH=9

10、0 , . / DAE= / AFH , .ADEAAFH ,AE _AD- _ r.AE=AF ,H4+DEZ3-DE,二、填空题1. （2020 湖北黄冈） 将矩形沿直线EF折叠,如图，在矩形ABCD43,点E, F分别在边 CD BC上，且DC=3DE=3a使点AC恰好落在AD边上的点P处，则FP=【考点】定理.【分析】（第13题）矩形的性质、图形的变换（折叠）、30。度角所对的直角边等于斜边的一半、勾股根据折叠的性质，知 EC=EF 2a=2DE;则/ DPE=30 , / DEP=60 ,得出/ PEF=/1CEF=2 (180 -60 )= 60 ,从而/ PFE=30 ,彳#出

11、EF=2EP=4a 再勾股定理，得 出 FP 的长.【解答】解：DC=3DE=3a，DE=a, EC=2a.根据折叠的性质， EC=Ef 2a； / PEF=/ CER / EPF=Z C=90根据矩形的性质，/ D=90 ,在 RtDPE中，EP=2DE=2aDPE=30 , / DEP=60 .1/ PEF=/ CEF=2 (180 -60 )= 60在 RtEPF中，/ PFE=30 .EF=2EP=4a在 RtEPF中，/ EPF=90 , EP= 2a, EF= 4a,根据勾股定理，得FP= EF2 EP： 3a.故答案为：-3a2. （2020 四川 资阳）如图，在等腰直角 ABC

12、中，/ ACB=90 , CO AB于点 O,点D、E分别在边 AC、BC上，且AD=CE ,连结DE交CO于点P,给出 以下结论： DOE是等腰直角三角形；/ CDE= / COE ;若AC=1，则四边形CEOD 的面积为AD 2+BE 2 - 2OP 2=2DP ?PE ,其中所有正确结论的序号是【分析】 正确.由ADO 色 CEO ,推出 DO=OE , / AOD= / COE ,由此即 可判断.正确.由D、C、E、O四点共圆，即可证明. 正确.由Sz ABC=X1 *1 =二7， S四边形DC EO=S A DOC +S CEO=S C DO+S AD O=S AOC =-S AAB

13、 C 即可解决问题正确.由D、C、E、O四点共圆，得OP?PC=DP ?PE,所以2OP 2 + 2DP ?PE=2OP 2+2OP ? PC=2OP ( OP+PC ) =2OP ?OC ,由 OPE s OEC ,得到若二鬻，即可得至1J 2OP 2+2DP ?PE=2OE 2=DE 2=CD 2+CE 2,由此即可证明 UH. UL【解答】解： 正确.如图，- z ACB=90 , AC=BC , CO，ABAO=OB=OC , / A= / B= / ACO= / BCO=45 ,在 ADO和 CEO中，OAOCZA=ZEC0,AD=CE ADO ACEO ,DO=OE , / AOD

14、= / COE ,/ AOC= / DOE=90 DOE是等腰直角三角形.故正确. 正确. Z DCE+ / DOE=180 , D、C、E、O四点共圆，/ CDE= / COE ,故 正确.正确. AC=BC=1 , 1 Saab c=_xi xi = -, S 四边形 dceo=S doc +S a ceo=S acdo +S ado =S aoc JSAAB C- q ,故正确.正确. D、C、E、O四点共圆，OP?PC=DP ?PE ,2OP2 + 2DP ?PE=2OP 2+2OP ?PC=2OP ( OP+PC ) =2OP ?OC , / OEP= / DCO= / OCE=45

15、 , / POE= / COE ,. AOPE s AOEC ,OP OE=OE DC， . OP?OC=OE 2 ,2OP2 + 2DP ?PE=2OE 2=DE 2=CD 2+CE 2 ,CD=BE , CE=AD , AD 2+BE 2=2OP 2+2DP ?PE , AD 2+BE 2 - 2OP 2=2DP ?PE .故正确.3. (2020 广东梅州)如图，在平面直角坐标系中，将 ABO绕点A顺时针旋转到 ABiCi 的位置，点B、O分别落在点Bi、Ci处，点Bi在x轴上，再将 ABiCi绕点Bi顺时针旋转 到AiBiCz的位置，点C2在x轴上，将AiBiC2绕点C2顺时针旋转到

16、A2B2c2的位置，点 A2在x轴上，依次进行下去 .若点A(3,0),B (0,2),则点B 2020的坐标为.2答案：(6048, 2)考点：坐标与图形的变换 一旋转，规律探索，勾股定理。解析：OA= 3 , OB = 2,由勾股定理，得： AB = 5 ,所以，OC2=2+ 5 + E =6,2222所以，B2 （6,2）,同理可得：B4 （12,2）, B6（18,2）,所以，B2020 的横坐标为：1008 6=6048,所以，B2020 （6048,2）4. （2020年浙江省温州市） 七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为东方魔板”，小明利用七巧板（如图1所示）中各板块的边长之间

17、的关系拼成一个凸六边形（如图 2所示）， 则该凸六边形的周长是（32 +16） cm.图1邺【考点】七巧板.【分析】由正方形的性质和勾股定理求出各板块的边长，即可求出凸六边形的周长.【解答】 解：如图所示：图形 1：边长分别是：16, 8匹，8匹；图形2:边长分别是：16, 8尼,80；图形3：边长分别是：8, 4应,4存,图形4：边长是：4/2；图形5:边长分别是：8, 4叵,4/2;图形6：边长分别是：4/2, 8；图形7:边长分别是：8, 8, 8匹;，凸六边形的周长 =8+2 872+8+4/2 4=32+16 （cm）；故答案为：32+16.5. （ 2020.山东省临沂市，3分）如

18、图， 点A, C重合，折痕为FG.若AB=4 ,将一矩形纸片ABCD折叠，使两个顶BC=8 ,则4ABF的面积为 6.【考点】翻折变换（折叠问题）.【分析】根据折叠的性质求出AF=CF ,根据勾股定理得出关于CF的方程，求出CF,求出BF,根据面积公式求出即可.【解答】解：二.将一矩形纸片ABCD 折叠，使两个顶点A, C重合，折痕为FG ,，FG是AC的垂直平分线，AF=CF ,设 AF=FC=x ,在Rt ABF中，有勾股定理得：42+ (8 - x) 2=x2,解得：x=5 ,即 CF=5 , BF=8 5=3 ,AB 2+BF 2=AF 2, ABF的面积为二不4=6故答案为：6.【点

19、评】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理的应用，能得出关 于x的方程是解此题的关键.6. （ 2020 江苏连云港）如图1,将正方形纸片 ABCD对折，使AB与CD重合，折痕为EF.如图2,展开后再折叠一次，使点 C与点E重合，折痕为 GH,点B的对应点为点 M,EM 交 AB 于 N .若 AD=2 ,则 MN=【分析】设正方形的边长为 2a, DH=x,表示出CH,再根据翻折变换的性质表示出DE、EH ,然后利用勾股定理列出方程求出x,再根据相似三角形的判定性质，可得 NE的长，根据线段的和差，可得答案.【解答】解：设 DH=x , CH=2 x,由翻折的性质，DE=1 ,EH=CH

20、=2 -x,在 RtDEH 中，DE2+DH2=EH2,即 12+x2= (2 - x) 2,35解得 x=-d, EH=2 -x=. / MEH= / C=90 , / AEN+ / DEH=90 / ANE+ / AEN=90/ ANE= / DEH ,又/ A=/D, .ANEADEH ,AE=DHEHI 二4I =ENT4nrSA-解得EN=-|,JMN=ME - BC=2 -|=-,故答案为：言.【点评】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数，设出 DH的长，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键，也是本题的难点.三、解答题1.(2020 云 南)如图，菱形 ABCD的

21、对角线 AC与BD交于点O, /ABC : / BAD=1 : 2, BE / AC, CE / BD .(1)求 tan/ DBC 的值；(2)求证：四边形OBEC是矩形.【考点】矩形的判定；菱形的性质；解直角三角形.【专题】计算题；矩形 菱形正方形.【分析】(1)由四边形ABCD是菱形，得到对边平行，且 BD为角平分线，利用两直线平行得到一对同旁内角互补，根据已知角之比求出相应度数，进而求出/BDC度数，即可求出tan/DBC的值；(2)由四边形ABCD是菱形，得到对角线互相垂直，利用两组对边平行的四边形是平行四边形，再利用有一个角为直角的平行四边形是矩形即可得证.【解答】(1)解：.四边

22、形ABCD是菱形， .AD/BC, /DBC=/ABC, / ABC+ / BAD=180 , / ABC : / BAD=1 : 2,/ ABC=60 ,/ BDC=ABC=30贝U tan/DBC=tan30(2)证明：二四边形ABCD是菱形, AC XBD ,即 / BOC=90 , BE / AC , CE / BD , .BE / OC, CE/ OB,四边形OBEC是平行四边形, 则四边形OBEC是矩形.【点评】此题考查了矩形的判定，菱形的性质，以及解直角三角形，熟练掌握判定与性质是 解本题的关键.2. (2020 四川达州 8分)如图，已知AB为半圆O的直径，C为半圆O上一点，连

23、接 AC, BC,过点O作ODLAC于点D,过点A作半圆O的切线交 OD的延长线于点 E,连 接BD并延长交AE于点F.(1)求证：AE?BC=AD ?AB ；百求AF的长.【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；切线的性质；锐角三角函数的定义.【分析】(1)只要证明EADsabc即可解决问题.(2)作DM，AB于M,利用DM / AE ,得邈型，求出DM、BM即可解决问题.AF BA【解答】(1)证明：.AB为半圆O的直径， / 0=90 , . ODXAC ,/ 0AB+ / AOE=90 , / ADE= / 0=90,. AE是切线， OA XAE ,. / E+/AOE=90 ,.

24、 E=/CAB , . EADA ABC ,.AE： AB=AD : BC, .AE?BC=AD ?AB .(2)解：作 DM AB 于 M, 半圆O的直径为10, sinZ BAC=-, 5BC=AB ?sinZ BAC=6 , AC= Vab2 -bc2=8. . OEXAC , .AD=aC=4, OD=BC=3, . sinZ MAD=g,BM=AB AM=34AD 5 .DM= am=a/aD2 -DJ!2=j42 -1. DM / AE ,AF .AF=80U3. （2020 广东梅州） 如图，在平行四边形 ABCD中，以点A为 圆心，AB长为半径画弧交 AD于点F,再分别以点B、

25、F为圆心，大于1 BF长为半径画弧， 两弧交于一点P,连 2接AP并延长交bc于点e ,连接ef .（1） 四边形ABEF是;（选填矩形、菱形、正方形、无法确定）（直接填写结果）（2） AE, BF相交于点O,若四边形ABEF的周长为40, BF=10,则AE的长为ZABC= ,（直接填写结果）考点：角平分线的画法，菱形的判定及其性质，勾股定理。解析：（1）菱形（2）依题意，可知 AE为角平分线，因为 ABEF的周长为40,所以，AF=10,又 FO=5, AO= VafFOr= 573,所以，AE=10V3,AO 3sin ABO 一,所以，/ ABO= 120 , / ABC= 120。

26、AB 24. （2020 上海）如图，在 RtAABC 中，/ ACB=90 , AC=BC=3，点 D 在边 AC 上，且AD=2CD , DEXAB,垂足为点E,联结CE,求：（1）线段BE的长；【考点】解直角三角形；勾股定理.【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出ZA=ZB=45,由勾股定理求出 AB=3jH,求出/ ADE= /A=45。，由三角函数得出 AE=2,即可得出BE的长；（2）过点E作EHXBC,垂足为点 H,由三角函数求出 EH=BH=BE ?cos45=2,得出CH=1 ,ru i在RtACHE中，由三角函数求出 cot / ECB=2* 即可.EH 2【解答】解：（

27、1） . AD=2CD , AC=3, .AD=2 , .在 RtAABC 中，Z ACB=90 , AC=BC=3 ,./A=/B=45。，AB= VAC2tBC=V32f32=3/2 ,/DEXAB ,/ AED=90/ ADE= / A=45.AE=AD ?cos45 =2 BE=AB - AE=3-扬2点,即线段BE的长为26;(2)过点E作EHBC,垂足为点H,如图所示: .在 RtBEH 中，ZEHB=90 , ZB=45 , L J?.EH=BH=BE ?cos45=2V2*y-=2,BC=3 ,.CH=1 ,CH 1在 RtACHE 中，cot/ ECB=-=4;, EH z【点评】本题考查了解直角三角形、勾股定理、等腰直角三角形的性质、三角函数；熟练掌握等腰直角三角形的性质，通过作辅助线求出CH是解决问题(2)的关键.