262用函数观点看一元二次方程同步测控优化训练含答案

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1、26.2用函数观点看一元二次方程一、课前预习(5分钟训练)1二次函数y= x2+4x3的图象交x轴于A、B两点，交y轴于C点，则 ABC的面积为()A. 6B. 4C. 3D. 12 .当a0, A =b4ac。时，二次函数y=ax2+bx+c的值恒为正；当a 0,A = b 4ac 0时，二次函数 y=ax2+bx+c的值恒为负.3 .已知一抛物线与 x轴的交点为A ( 1,.0)、B (m, 0),且过第四象限内的点 C (1, n), 而m+n= 1, mn= 12,则此抛物线关系式是 .二、课中强化(10分钟训练)1 .抛物线 y=ax2+bx+c (awQ和直线 y=kx+d (kw

2、()有两个交点的条件是 ,只 有一个交点的条件是 ,没有交点的条件是 .2 .抛物线 y=ax2+bx+c (a0)与 x 轴交于 A (x1，。)，B (x2, 0), x10的解集为 ,不等式ax2+bx+c0, x24x30)的图象与x轴相交于A(x 1,0), B(x2,0) 两点，且A, B两点间的距离为d,例如，通过研究其中一个函数y=x25x+6及图象(如图26 23),可得出表中第2行的相关数据.y=x2+px+qpqAxix2dy=x2 5x+6-561231y=x2 x21-21412y=x2+x 2-2-23在表内的空格中填上正确的数；(2)根据上述表内d与A的值，猜想它

3、们之间有什么关系？再举一个符合条件的二次函数,验证你的猜想；对于函数y=x2+px+q(p,q为常数，A=p4q0)证明你白猜想.图 262 310 .已知m,n是方程x2- 6x+5=0的两个实数根，且 m3(3 1)=3.答案：C2 .当a0, A =b4ac 0时，二次函数y=ax2+bx+c的值恒为正；当a 0,A = b 4ac 0时，二次函数 y=ax2+bx+c的值恒为负.解析：当a0时，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，若与 x轴无交点，则其值恒 为正；当a0时，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，若与 x轴无交点，则其值恒 为负.答案： m + n = -1

4、, mn = -12.3 .已知一抛物线与 x轴的交点为A ( 1,，0)、B (m, 0),且过第四象限内的点 C (1, n), 而m+n= 1, mn= 12,则此抛物线关系式是 .解析：由题意，得m、n为方程x2+x 12=0的两根,解得 m= 4, n=3 或 m=3 , n=4.又:(1, n)在第四象限，n0; (bk) 24a(c d)=0 ; (bk) 24a(c d)0)与 x 轴交于 A (xi, 0), B (x2, 0), xi0的解集为,不等式 ax2+bx+c0,抛物线在x轴下方的范围是 y0,抛物线上的点在x轴上时y=0 ,对应的x的范围分别为*2或xx1; x

5、1xx2 或 xxi xix: （2）可根据一元二次方程根与系数关系来解2解法一：（1） y=x2mx+m,中 Ai=m2-2m2=- m2.2.抛物线不过原点，0. .- m20. A10.2，抛物线y=x2mx+m与x轴无交点.2 .y=x2+mx- 3 m2经过 A、B 两点.4（2）设 A （x1，0）, B （x2, 0）,则 x10,1. OA= x1, OB=x2.112112又 =,.+,OB OA 3x2 x13即 3 （x+x2）=2x1x2-又: x1、x2是方程 x2+mx 3 m2=0 的两根，x1+x2= -m, x1x2= m2.443m= m 1 m1=0 （不

6、符合题意，舍去），m2=2.2经过A、B两点的抛物线为 y=x2+2x-3.解法二：（1） ;两条抛物线都不过原点,2，廿0.抛物线y=x2mx+四一与y轴交于（0,2）2m0,，抛物线22y=x2 mx+口一不经过A、2B点.抛物线 y= x2+mx 3 m2 与 y 轴交于（0, 一 m2）, m20 ,解得1.又 m 1,得 1.5 .如图 2622,抛物线 y=1(x+1)22,2图 26 2 2(1)设此抛物线与x轴交点为A、B (A在B的左边)，请你利用图象求出 A、B两点 的坐标；(2)有一条直线y=x-1,试利用图象法求出该直线与抛物线的交点坐标；(3) P是抛物线上的一个动点

7、，问是否存在一点P,使S“bp=2?若存在，则有几个这样的点P?并写出它们的坐标.解析：(1)读图易得；(2)画图精确度要高一点；(3)设P点坐标为(a, b),则4ABP中AB边上的高为b,而|b|二1，代入抛物线解析式可求得 P点坐标.解：(1) A ( 3,0) , B (1,0).(2)交点坐标为(1,0)和(一1, 2).(3)设P点坐标为(a, b),则 ABP中，AB边上的高为| b | ,又Sbp=2,从而得|b|=1.把b=1,b= -1分别代入抛物线解析式可求得P点坐标分别为P(- 0 的解为 x4.6 ; ,试用含a的代数式表示点 P的纵坐标;2d.设A,B两点的距离d=

8、 Ji +a2 | xi-x21 ,试用含a的代数式表示解：(1)将 y=ax+5 代入 y=2x2，消去 y 得 2x2ax 5=0,A =( - a)242N 5尸a2+400 , .,.方程有两个不相等的实数根.，不论a取何值，抛物线与直线一定有两个不同的交点.(2)xv x2是方程 2x2ax5=0 的两个根，xi+x2= a ,xix2=-任22点P的纵坐标为yy2axi 5 ax2 5=(xi+x2)+5= 万+5=+5.(3) - xi+x2= ,xix2=-22xi-x2 I =(xi -x2)2(x1 x2)2 - 4xix2 -al+ioJa2402 a2 40d= .i

9、a 2-a4 4ia2 40.27.画出函数y=x24x 3的图象，根据图象回答下列问题：(i)图象与x轴交点的坐标是什么？(2)方程x24x3=0的解是什么.?(3)不等式x2-4x-30, x24x30的解是什么?解：图象如图所示.不等式 x24x30 的解为0.65x y= (x 4) 2+822所以x=4时，y最大=8.(3)当 y=0 时,x=8,x2=0 (舍去).答案：(1) y= - - x2+4x; (2)服药4小时后含药量最大，此时最大含药量为每毫升血 2液中8微克；(3) 8小时.9 .已知二次函数 y=x2+px+q(p,q为常数，A =p 4q0)的图象与x轴相交于A

10、(x 1,0), B(x2,0)两点，且A, B两点间的距离为d,例如，通过研究其中一个函数y=x25x+6及图象(如图26 23),可得出表中第2行的相关数据.图 26 23y=x2+px+qpqAx1x2dy=x2 5x+6-561231y=x2 x2121412y=x2+x 2-2-23(1)在表内的空格中填上正确的数；(2)根据上述表内d与A的值，猜想它们之间有什么关系？再举一个符合条件的二次函数， 验证你的猜想；(3)对于函数y=x2+px+q(p,q为常数，A=p4q0)证明你白猜想.解：(1)第二行 q=0,xi=0； d=;第三行 p=1,A =9, X2=1；22(2)猜想：

11、d = A .例如：y=x2x2 中,p=1,q= 2, A=9;由 x2 x2=0 得 Xi=2, x2= 1,d=3,d2=9, d2= A.(3)证明:令 y=0 ,得 x2+px+q=0，丁 A 0设 x2+px+q=0 的两根为 x1,x2.贝U x+x2= p,x1 x2=q .d2=( | x1 x2 | )2=(xl x2)2=(x 1+x2)24x1x2=( p)24q=p24q=A .10 .已知m,n是方程x26x+5=0的两个实数根，且 mn ,抛物线y=-x2+bx+c的图象经过 点 A(m,0)、B(0,n).(1)求这个抛物线的解析式；(2)设(1)中抛物线与 x

12、轴的另一交点为 C,抛物线的顶点为 D,试求出点C、D的坐标b 4acb2和 BCD的面积；注：抛物线y=ax +bx+c(a w 0)顶点坐标为(,)2a 4a(3)P是线段OC上的一点，过点P作PHx轴，与抛物线交于 H点，若直线BC把 PCH分成面积之比为2 3的两部分，请求出 P点的坐标.解：(1)解方程 x2 6x+5=0 ,得 x=5,x2=1.由 mnm=1,n=5,所以点A、B的坐标分别为 A (1, 0) ,B (0, 5).将 A (1, 0) ,B (0, 5)的坐标分别代入y= x2+bx+c,一 1 + b + C = 0,解这个方程组得,c =5,b - -4,c

13、= 5,所以，抛物线的解析式为y= x2 4x+5.解这个方程得x1= 5,X2=1,(2)由 y= x2 4x+5 ,令 y=0 ,得x24x+5=0,所以C点的坐标为(一5, 0).由顶点坐标公式计算得点D (2, 9).25过D作x轴的垂线交x轴于M,则Sadmc=- X9X(5-2)=27 , 22S 梯形 mdbo =万 应%9+5)=14 , Saboc = - X5 沟=,所以, SBCD=S 梯形 MDBO +SaDMC SABOC=14+ =15 .22(3)设P点的坐标为(a,0),因为线段BC过B、C两点，所以BC所在的直线方程为 y=x+5.那么，PH与直线BC的交点坐标为 E(a,a+5),PH与抛物线y= x24x+5的交点坐标为 H(a, -a2-4a+5).由题意，得 EH=EP 即(- a24a+5) (a+5)= (a+5).22解这个方程，得a=3或a=5 (舍去).2EH= 2 EP,即(a2- 4a+5) (a+5)= 2 (a+5),33解这个方程，得a=2或a=5 (舍去)，P点的坐标为(2 ,0)或(2 ,0),333