06结构位移计算要点

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1、结构力学讲稿第六章结构位移计算#结构力学讲稿第六章结构位移计算第六章结构位移计算§6-1概述#结构力学讲稿第六章结构位移计算#结构力学讲稿第六章结构位移计算1. 位移种类#结构力学讲稿第六章结构位移计算#结构力学讲稿第六章结构位移计算图6.1(1) 线位移，二C、冷、人K； (2)角位移，；：A>：B> ；：K； (3)相对线位移，9=5 = = CD ； 相对角位移，：A 订hAB2. 计算位移的目的(1) 校核结构刚度，尤其是大型结构与高层建筑；(2)施工控制与定位；(3)解超静定结构的需要3. 产生位移的原因荷载，支座移动，温度变化，材料收缩，制造误差等。对于静定结

2、构，只有荷载产生内力，但产生位移的原因有多种。超静定结构，多种原因均产生内 力与位移。4. 位移计算原理变形体虚功原理。1.实功与虚功0虚功:§6-2变形体的虚功原理*丄*1，W F，dW 二 F d ，W = 0 F d 二尹。1 *，WF(实功，恒为正)；W = F 2，外力虚功，内力有M与2Fs，也作功，称为内力虚功，虚功可正可负。虚功就是作功的力与位移没有关系。2. 质点系虚功原理(虚位移原理)虚位移：一个体系发生约束条件许可的任何微小位移。即(1)是可能的位移状态；(2)微小性。质点系虚位移原理：具有理想约束的质点系，在某一位置处于平衡的必要且充分条件是，对于任何虚 位移，

3、作用于质点系上的主动力所作虚总和为0.(1) 理想约束：约束反力在虚位移上的虚功恒为 0称为理想约束。(2) 主动力即作用荷载，不包括约束反力。(3) 虚位移即可能的位移状态，即有可能。刚体：任两点距离保持不变，可认为任两点之间有刚性链杆相连(理想约束)，即刚体是具有理想约束的质点系。刚体体系：若干个刚体用理想约束连接起来的体系。刚体虚位移原理：刚体体系处于平衡状态的必要且充分条件是，对于任意虚位移，所有主动如作虚 功总和为0.(注意，此处包括所有外力，即荷载与约束反力 )3. 变形体虚功原理变形体处于平衡状态的必要且充分条件是，对于任何虚位移，外力所作虚功总和等于内力在其虚变形上所作的虚功总

4、和。即外力虚功=变形虚功，W外=W变F面从物理概念出发说明虚功原理的正确性。受力平衡状态(1) 受力平衡状态，虚位移状态，二者互不相关;W总，体系中所有的力在虚位移上所作虚功总和。所有的力分为，外力与内力，所以,W总=W外+W内, dW总=dW外+dW内(微段dS上)W总八dW总八.dW外'dW内二W外 W内血=0，因为相邻微段上的内力为作用力与反作用力，大小相等，方向相反，作的虚功相互抵消有，w总=w外(3)又，总虚位移=刚体位移(ABCD >A'B'C'D')+变形位移(A'B'C'D' A'CD'

5、;)'W总二W刚 W变，微段dS上有，dW总二dW刚dW变W总、='dW总、='dW刚亠二 | dW变=W® W变W刚=小刚=0，此为刚体虚功原理有，w、= w变4.虚功的计算综上，有，W #=W变，此即变形体虚功原理，虚功方程外力虚功，W外=嘉F/j 7 mm、 gds变形虚功：所有力在虚变形所作的功微段dS上的所有力见上页图，其中荷载 F、m、q等在虚变形上不作功。所以，变形虚功即为内图6.341结构力学讲稿第六章结构位移计算#结构力学讲稿第六章结构位移计算变形虚功，dW变二 FnduFSds M d，W变八 fn du 二二FSds ' m d

6、:5. 虚功原理的应用(1) 给定力状态，另虚设一个位移状态，由虚功方程求解力状态中的未知力，称为虚位移原理。(2) 给定位移状态，另虚设一个力状态，由虚功方程求解位移状态中的未知位移，称为虚力原理 下面就是利用虚力原理推导结构位移计算的一般公式。§6-3位移计算的一般公式单位荷载法#结构力学讲稿第六章结构位移计算图6.443结构力学讲稿第六章结构位移计算结构任一点K，位移到K' K点的位移可分解成沿x、y方向的两个位移分量。下面，求Ky=?为求"xy，虚设单位力状态，如图示。虚功方程，W W变W Fr1CFr2 C2 Fr3C31 ：Ky，W变八百Ndu 亠二 |

7、 艮 dS 亠二 | M d ：于是，有八.Fndu 7 F； dS v Md八FRi Ci，位移计算的一般公式注意：(1) M、Fs、Fn、FRi为虚设单位力状态下的内力与反力；(2)du、dS、为实际位移状#结构力学讲稿第六章结构位移计算#结构力学讲稿第六章结构位移计算态下微段dS的轴向变形、剪切变形与弯曲变形。单位荷载法：根据所求位移施加相应的单位力。(a) W 外=1 =ax= =ax求HE(b) W 外=1(d) W 外=1 ( A+ :B) = -ABA= -A(c) W 外=1 (=a+ =b)=二ab图6.61求杆AB的转角AB，W"AAB 求杆AB与杆BC的相对转角

8、，即夹角 曲勺改变，加一对反向的单位力偶,如图示。位移计算的一般公式为§6-4静定结构荷载作用下的位移计算k 八化 du 八.FsdS 、 M d八ci现仅考虑荷载作用这一个因素，有：kp 二' .Fn dUp 亠iFs pdS 亠-IM d P式中dup、 pdS、d P为微段dS荷载作用下的轴向变形、剪切变形与弯曲变形#结构力学讲稿第六章结构位移计算实际状态下，内力Fnp、Fsp、Mp作用在微段dS上，产生变形如下图示2EI45结构力学讲稿第六章结构位移计算2EI#结构力学讲稿第六章结构位移计算轴向变形-® FAp=Ed；sp,dup = EAds；kF 一(2

9、) 剪切变形，微段dS在剪力Fsp作用下，产生剪应变p，由材料力学知，p二亠，k为截面剪应GA力不均匀分布的修改系数，如何来的可参见教材P99。矩形截面，k=1.2;圆形截面，k=10/9;(3) 弯曲变形，由材料力学中弯曲变形公式，1 = Mp，曲率1 = d P，贝U，dp二业dS。P ElP dSEl将以上结果，代入前面的计算公式中，有-Fn Fnp-kFSFSP- M M P: KP-NPdSPdSEAGAEl轴向变形引起的位移剪切变形引起的位移 弯曲变形引起的位移注意：以上结果仅适用于直杆组成的结构(材料力学公式仅适用于直杆)，对于小曲率杆杆可近似成立。 例6-1图示刚架，求厶Ay.

10、?EI I图6.8计算公式为，八 ZdS归dS，看看轴向变形与剪切变形对位移影响大不大？yEAGAEll 112l kl 112l 1二.0x qx dx 01 qx dx (AB 杆)+ 0 l ql dx o (-1) (-ql) dx (BC 杆)El 2GAEl 2EA= 5qll . qjl . kql!二总/口 . 8丄.4 kEl 8 El EA 2GA 8 El 5 Al25 GAI22EI#结构力学讲稿第六章结构位移计算讨论：设截面为矩形截面宽b'高h, A=bh , 1二脚3, k=1.2 '有'一 Ay5*i ?(h)8 EI 15 l-(-)22

11、5 G l2EI47结构力学讲稿第六章结构位移计算2EI#结构力学讲稿第六章结构位移计算4设，G=0.4E,-'有 g 二 2也1 丄 丄l10y 8 EI750 500N FNPkF s F spds :方ds所以，对于细长杆，轴向变形与剪切变形通常可忽略不计 位移计算公式的简化A l ,MMp , l ,F炸EI ds 亠ieA(1) 梁与刚架，位移主要由弯曲变形引起，轴向变形与剪切变形引起的位移很小，一般可忽略*八Mds，图乘运算(2) 桁架，只有轴力%八fdS八丨EAEA(3) 组合结构：受弯杆(仅考虑弯曲一项)+链杆(只有轴力)W詈均弯杆，图乘厂普丨(链杆)例6-2等截面圆弧

12、曲梁，求“X。设梁的截面高度h<<R，为小曲率杆.B 1图6.92EI#结构力学讲稿第六章结构位移计算2EI#结构力学讲稿第六章结构位移计算小曲率杆，仍可近似用直杆的计算公式。对于梁，只考虑弯矩一项，不计轴向与剪切变形的影响，计算公式为BxBMM PA EIds设下侧受拉为正， M =1 (RRcosR, M P =-F Rs in dS=Rdv氐=严 R(1-cos 日)(-F Rs in 巧 eBx 一 0 EI Rd23(1 - cos： )2FR3( >)实际方向与假设方向相反2EI#结构力学讲稿第六章结构位移计算例6-3桁架，各杆EA相同，求.-：cx桁架，只有轴力

13、，位移计算公式为晋占F1d2）（ 2小(1 2)FdEA§6-5图乘法梁与刚架，：k MMdS，一定条件下，积分运算可由图乘运算来代替。1. 图乘法适用条件对于图乘的杆段，（1）杆轴线为直线；EI=const.M与Mp至少有一个为直线图形。2. 图乘法原理图 6.112EI#结构力学讲稿第六章结构位移计算2EI#结构力学讲稿第六章结构位移计算F面看积分的结果是什么B沁 dS= 1A EIB1EI aWEB1BAxtg : dtg ： a xd -=1 tg ： XcEI1ETyC2EI#结构力学讲稿第六章结构位移计算2EI#结构力学讲稿第六章结构位移计算Bxd = xC，xctg：

14、=yc。Axd为微面积d对0点的静矩，由合力矩定理，有,B M M1所以，有，、.d 7c，积分运算可由图乘运算来代替，分段积分变成分段图乘A EIEI3. 图乘法注意事项（1）适用条件：梁与刚架，直线，EI=C，M与Mp中至少有一个为直线。2EI49结构力学讲稿第六章结构位移计算(2) 图乘结果正负号规疋：'与y在同一侧取正号，反之取负号常见图形的面积与形心图 6.16#结构力学讲稿第六章结构位移计算图 6.16#结构力学讲稿第六章结构位移计算图 6.12图 6.16#结构力学讲稿第六章结构位移计算(3) 复杂图形的分解2 仞 + yyy22o-yy图 6.16#结构力学讲稿第六章结

15、构位移计算图 6.16#结构力学讲稿第六章结构位移计算(5) yc必须在直线图形上取：要避免以下错误图 6.14例6-4刚架，求“cd古C £E1(6)图乘的杆端上EI必须是常数:图 6.15»f衽图图 6.16#结构力学讲稿第六章结构位移计算3"Er。18q12)"貂()例6-5刚架，求. y，并绘出变形曲线。 (1 2、2)51结构力学讲稿第六章结构位移计算 (1 2、2)#结构力学讲稿第六章结构位移计算C El1变形曲线图 6.17 (1 2、2)#结构力学讲稿第六章结构位移计算 (1 2、2)#结构力学讲稿第六章结构位移计算1 iFl 3(2 1

16、 Fl) '!FET(JAy (旦 l) -1 J -旦EI 22 2EI 2 2 2例6-6伸臂梁，EI=C，求厶cy。 (1 2、2)#结构力学讲稿第六章结构位移计算 (1 2、2)#结构力学讲稿第六章结构位移计算Cy ( l q12)丄-(-1 q1 2)-y EI 283384112 3(l -ql 2) l388上()128EIFnFnp Dy _lyEA+图 6.19Ei A1E2I22沖上卄昇井昇订”昇取4昇昇*p1 a (一' 2F)(. 2”2a1 - Fa a2F图 6.18E1A1EIFa)3E2I22-a Fa a a3 (1 2、2)#结构力学讲稿第六

17、章结构位移计算53结构力学讲稿第六章结构位移计算§6-6静定结构温度变化时的位移计算静定结构，除荷载外，其他因素均不产生内力，但可引起位移。但温度变化时，结构会产生变形与位移。下面推导温度变化引起的位移计算的公式。位移计算的一般公式（虚功原理，单位荷载法）为耳八Fzdu 八Fs dS、 Md一' FRiCi如图示，要求.前，首先要分析清楚温度变化引起的微段 dS变形情况1.微段dS的变形实际拉移伏态图 6.20已知材料线膨胀系数为：，设温度截面高度的变化为线性变化，这样截面变形后仍为平面，杆轴线处的温度变化为，h2ti hlt2，当=h2，有上。h h22由图知，温度变化不产

18、生剪切变化，有轴向变形dut与弯曲变形d t。 :Kt 八.FNdUt、.Md tduttdS =: h2tl hlt2 dS，d .二虽坐 曲二：(t2 -ti)dS，此处,.：t=t2-tihhhh于是，有-dS dSKtFN： tdS；_ I M 八:t FNdS 二 吐 M Jhh1. 位移计算公式等截面直杆，h为常数，有% 八:t . Fst .Mds 八:t fnt mhh乍n、'M分别为FN与M图的面积符号规定： 温度变化，如tl , t2, t，升温为正，降温为负;轴力Fn，拉力为正，压力为负；(3) 弯矩M，使t2侧受拉为正，反之为负。I梁与刚架，温度变化产生的轴向变

19、形一般较大，不能忽略。'桁架，M =0,有，鼻八江宜八：恒1八耳耳，叫tlFn 厶1。0 °C，求A点竖向位移桁架，各杆有制造误差l，由制造误差引起的位移，可按下式计算，耳 例6-8图示刚架，施工时温度为20 °C，冬季外侧温度为-10 °C，内侧温度为 :-Ayo已知，l=4m，：=10-5，杆件横截面为矩形，高度h=0.4m。图 6.21t1= -30oC, t2= -20oC, t= -25oC, . t=t2-t1=10oC._ LtLt1LtAy = ' : t 'Fn''M = ： t( -1 4)( l _ l

20、tl -hh2h若令内侧为 t1= -20oC,外侧为 t2= -30oC,则 t= -25oC, t=t2-t1= -10oC.M 二-：tll 二-5mm()，结果相同。hh 2jl20.005m =-5mm()静定结构支座移动时的位移计算图 6.22静定结构，支座移动，产生刚体位移，不产生变形和内力，由:k 八.Fzdu 小.Fs dS ' MdFrU得F Ri Ci例6-9三铰刚架，支座移动，l=12m, h=8m,求 入55结构力学讲稿第六章结构位移计算#结构力学讲稿第六章结构位移计算1“亠 FRi-不-：Bx酗舟（1血1 Y声却id叫怡岀%FS2 尸科jf2图 6.241

21、：By二一一丄 0.04 -丄 0.06 = 0.0075 radg)l2 812§6-8线弹性结构的互等定理互等定理是结构力学中的重要定理，在力法、位移法及有限元分析中有重要应用 线弹性材料：应力-应变关系为线性关系，服从广义虎克定律。线弹性结构：由线弹性材料组成的结构，其荷载 -位移曲线是线性关系。互等定理有4个，最基本的是功的互等定理。1.功的互等定理状态I与状态II互不相关，支座无移动，反力不作功。由变形体虚功原理，W外=W变，有F1 J FN1dU2' Fs1 2dS ' M1d；='dS 八 炸辰 dS 八dSEAGA EIF2 21 八 FN2d

22、u1 'Fs2 1dS ' M2d l 八dSEAGAEI所以，阡弟二 F221，即，W,2 二 W21状态I的外力在状态II的位移上所作的虚外力功二状态II的外力在状态I的位移上所作的外力虚功称为虚功互等定理。2. 位移的互等定理1=1图 6.25是功的互等定理的特例。功的互等定理中，戸冷2 =F2A21，令，Fi = F2=1，有七八21，或，r八ji，结构柔度系数倚,j方向单位力引起的i方向的位移=j方向单位力引起的i方向的位移，位移互等定理 线位移与线位移互等，角位移与角位移互等，线位移与角位移也可以互等。图 6.263. 反力的互等定理也是功的互等定理的特例。Zli=l由功的互等定理，Wl2=W21，有，2112 1，21 = 12，即Y二Yi，结构的刚度系数图 6.2757结构力学讲稿第六章结构位移计算j方向单位位移引起的i方向的反力=i方向单位位移引起的j方向的反力，反力互等定理 反力与反力偶也可以互等。伏帝I伕卿IL4. 位移-反力的互等定理图 6.28W,2F2-221，W21 =0，Wl2=W21， 12-'2，反力-位移互等定理。第六章完#